第四章 杆件的横截面应力4-1 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 杆件承载能力除与其材料性能杆件承载能力除与其材料性能 , 加载方式和尺寸加载方式和尺寸有关外有关外 , 还与杆件截面的几何形状有关还与杆件截面的几何形状有关 .一、静矩和形心一、静矩和形心微面积微面积dA乘以乘以坐标坐标z称为称为dA对对y轴轴的的静矩静矩: 同样，同样，dA对对z轴轴的的静矩静矩为为:平面图形平面图形A对对两坐标轴两坐标轴的的静矩静矩为为:yzOzdAAy静矩是可加的静矩是可加的, 即即利用计算均质板形心的公式利用计算均质板形心的公式, 可知计算几何图形形心的公式可知计算几何图形形心的公式:C点点是是平面图形平面图形A的的形心形心的的充分必要条件充分必要条件：平面图形平面图形A对过对过C点点任意方向轴的静矩为零。任意方向轴的静矩为零。 SzC=0；SyC=0。 根据根据静矩静矩定义定义和和静矩静矩的可加性，为了简化的可加性，为了简化复杂图形复杂图形的的形心形心计算，可以将复杂图形计算，可以将复杂图形A分为分为Ai ，i=1,2,n，则，则zCyzOACyCA1A2这种方法称为这种方法称为组合法组合法 .例例1：求抛物线求抛物线 z =hy2/b2下方面积的形心。下方面积的形心。解：解：yzbOh例例2：求图示面积的形心。求图示面积的形心。解：解：yz860O501400161616二、惯性矩二、惯性矩 , 惯性积和惯性半径惯性积和惯性半径微面积元微面积元dA乘以乘以坐标坐标z的平方称的平方称dA对对y轴轴的的惯性矩惯性矩 同样，同样， dA对对z轴轴的的惯性矩惯性矩为为 dA对对O点点的的极惯性矩极惯性矩为为平面图形平面图形A对对两坐标轴两坐标轴的的惯性矩惯性矩和对和对O点点的的极惯性矩极惯性矩分别为分别为:惯性半径惯性半径定义为：定义为：yzOzdAAy微面积元微面积元 dA 乘以乘以 yz 称称 dA 对对 yOz 轴系的惯性积：轴系的惯性积： 平面图形平面图形A对坐标轴系的惯性积为对坐标轴系的惯性积为 惯性积反映平面图形对坐标轴系惯性积反映平面图形对坐标轴系的对称性的对称性yzOzdAAy 以上讨论都与转动惯量的计算方法相似。以上讨论都与转动惯量的计算方法相似。例例4-3 求矩形对边轴和形心轴的惯性矩求矩形对边轴和形心轴的惯性矩。解：解：yzCbOyCb/2zCh/2例例5：求圆对形心轴的惯性矩。：求圆对形心轴的惯性矩。解：解：dyzOr三、三、 平行移轴公式平行移轴公式 研究研究平面图形对两组相平行的轴系的惯性矩、惯性积之间平面图形对两组相平行的轴系的惯性矩、惯性积之间的关系。首先根据坐标平移公式的关系。首先根据坐标平移公式yzOz1Ay1baO1dAyzOzCAyCC取取O1点为点为平面图形平面图形的形心，的形心，且且SyC=SzC=0，可得，可得对于惯性积，用同样结果可以得到对于惯性积，用同样结果可以得到针对形心轴系的平行移轴公式针对形心轴系的平行移轴公式以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似。以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似。例：求图形对形心轴和例：求图形对形心轴和y、z轴的惯性矩轴的惯性矩。解：解：yz5aOa5aayCzCC2a四、四、 转轴公式转轴公式 研究将坐标系逆时针旋转研究将坐标系逆时针旋转角时，角时，平面图形平面图形A的的惯性矩惯性矩和和惯性积惯性积在在新新、老老轴系之间的变化规律。轴系之间的变化规律。坐标旋转公式：坐标旋转公式：yzOz1Ay1yzz1y1转轴公式的推导转轴公式的推导平面图形平面图形A对旋转后的对旋转后的y1轴的惯性矩：轴的惯性矩：平面图形平面图形A对旋转后的对旋转后的z1轴的惯性矩：轴的惯性矩：平面图形平面图形A对对新新轴系的轴系的惯性积惯性积：经整理后经整理后由前面的推导，可以得到由前面的推导，可以得到平面图形平面图形A对过对过O点任意方向轴的点任意方向轴的惯性矩惯性矩之最大、最小值之最大、最小值 极值条件：极值条件：惯性主方向：惯性主方向： 惯性主轴：惯性主轴： 平面图形平面图形A对对过过O点点沿惯性主方向的轴称沿惯性主方向的轴称惯性主轴。惯性主轴。 对称轴是惯性主轴，和主轴垂直的轴也是惯性主轴。对称轴是惯性主轴，和主轴垂直的轴也是惯性主轴。主惯性矩：主惯性矩： 是是平面图形平面图形A对对过过O点点惯性主轴惯性主轴的的惯性矩惯性矩；也是；也是平面图形平面图形A对过对过O点各轴惯性矩的极大、极小值。点各轴惯性矩的极大、极小值。 过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴（形心主惯性轴）。过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴（形心主惯性轴）。过图形上的任何一个点，都可以找到一对相互垂直的惯性主过图形上的任何一个点，都可以找到一对相互垂直的惯性主轴。轴。4-2 应力与应变的概念应力与应变的概念 一一. 应力应力即：单位截面积上作用着的内力即：单位截面积上作用着的内力平均应力平均应力一点应力一点应力应力的量纲：应力的量纲：FL-2，单位：单位：MPa=106N/m2。二二. 应变应变4-3 轴力与弯矩所引起的应力轴力与弯矩所引起的应力4-4 扭矩所引起的应力扭矩所引起的应力