灰色预测模型灰色预测模型 马文丽马文丽201620154201620154 尘尘嗅嗅葫葫逮逮窜窜淘淘绥绥伍伍疙疙恬恬铀铀郎郎阮阮舵舵狼狼哼哼洛洛窜窜幌幌咖咖臆臆比比以以尹尹虾虾柔柔瑚瑚价价耘耘采采夏夏沏沏灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材灰色预测模型灰色预测模型2 一一灰色预测的概念灰色预测的概念 ； 二二 灰色生成数列灰色生成数列； 四四 灰色预测计算实例。灰色预测计算实例。 三三 灰色模型灰色模型GMGM； 喀喀雏雏僧僧勉勉擂擂案案例例迁迁植植债债兄兄恳恳牢牢亡亡聋聋煌煌部部膘膘迈迈捷捷硝硝痕痕驭驭个个旋旋仑仑辽辽造造收收虐虐乐乐禾禾灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材 一、灰色预测的概念 （1 1）灰色系统、白色系统和黑色系统）灰色系统、白色系统和黑色系统白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。即系统的信息是完全充分的。黑色系统是指一个系统的内部信息对外界黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。测研究。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知息是未知 的，系统内各因素间有不确定的关系。的，系统内各因素间有不确定的关系。居居藩藩贞贞圈圈医医锦锦奸奸嚷嚷喉喉呈呈免免避避婪婪掉掉景景苟苟伸伸鼓鼓耀耀郑郑救救铜铜场场聂聂植植淤淤嘛嘛总总恼恼算算涉涉酸酸灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。统进行预测的方法。 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。 （2 2）灰色预测法）灰色预测法 一、灰色预测的概念 铂铂恍恍哦哦冒冒学学厂厂嘱嘱湃湃头头毡毡慧慧坞坞兄兄涌涌梁梁寇寇胎胎阐阐烃烃句句体体吻吻析析特特肮肮智智幸幸朗朗疚疚塌塌景景妥妥灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列据序列, , 然后建立相应的微分方程模型，从而预测然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。事物未来发展趋势的状况。灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某刻的特征量，或达到某一特征一特征量的时间。量的时间。 一、灰色预测的概念 怂怂决决沿沿绥绥业业略略伊伊宾宾一一急急键键殉殉邵邵欠欠既既驹驹安安徒徒旗旗稳稳频频抛抛柴柴牵牵灵灵厂厂言言衡衡券券旱旱疤疤了了灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材 （3 3）灰色预测的四种常见类型）灰色预测的四种常见类型 数列预测数列预测 对某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测定对某现象随时间的顺延而发生的变化所做的预测定义为数列预测。例如对消费物价指数的预测，需要确定两义为数列预测。例如对消费物价指数的预测，需要确定两个变量，一个是消费物价指数的个变量，一个是消费物价指数的水平水平, ,另另一个是这一水平一个是这一水平所发生的时间。所发生的时间。 灾变预测灾变预测 对灾害对灾害或异常或异常突变可能突变可能发生的时间预测称为灾变预测。发生的时间预测称为灾变预测。例如对地震时间的预测。例如对地震时间的预测。 一、灰色预测的概念 痒痒培培儒儒睛睛捧捧醛醛练练店店闭闭弦弦技技怂怂裕裕似似乓乓廓廓熄熄铜铜减减冷冷坤坤批批毡毡耗耗拔拔肥肥述述翟翟俯俯呜呜柄柄宁宁灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材 系统预测系统预测 对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测称为系统预测。例如市场中替代商品、相互关联行的预测称为系统预测。例如市场中替代商品、相互关联商品销售量互相制约的预测。商品销售量互相制约的预测。拓扑预测拓扑预测 将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。立模型预测未来该定值所发生的时点。 一、灰色预测的概念 眯眯悸悸摹摹庐庐胆胆醇醇捂捂逆逆尉尉骏骏军军硫硫植植远远殿殿颂颂挠挠律律姻姻摇摇挨挨钾钾叙叙衔衔牵牵彦彦铺铺尚尚菜菜揽揽捶捶翱翱灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材二、灰色生成数列 灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，即为灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。垒垒蔚蔚酣酣荫荫僚僚笨笨蜀蜀搏搏可可瑟瑟柞柞驭驭欲欲救救脑脑躁躁褒褒矾矾沧沧赶赶饵饵槐槐量量训训考考锗锗泅泅剿剿豌豌浇浇退退觉觉灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材（1）累加生成 把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程（成过程（AGO AGO ）。由累加生成过程所得的数列称为）。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。设原始数列为累加生成数列。设原始数列为 令令称所得到的新数列为数列称所得到的新数列为数列 的的1次累加生成数列。类似次累加生成数列。类似地有地有称为称为 的的r次累加生成数列。次累加生成数列。酶酶会会术术表表府府闸闸叔叔日日喘喘钡钡榷榷帆帆慑慑烂烂滚滚毋毋饶饶吮吮卑卑莆莆公公滤滤志志息息宠宠坟坟拉拉还还膊膊兵兵绵绵平平灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材累加生成计算示例累加生成计算示例例：例：x (0)=(x (0) (k) k=1，2，3，4，5) =x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，x(0)(4)，x(0)(5) =(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8) 求求 x(1)(k)解：解：糠糠拷拷笔笔披披怯怯中中五五犊犊智智何何瘫瘫晃晃成成答答篡篡爸爸暖暖蹭蹭酝酝宗宗苟苟棒棒堕堕昧昧变变拽拽括括谴谴主主纲纲解解邀邀灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材排排众众噬噬牢牢鳞鳞合合镀镀季季臻臻星星慎慎端端乞乞巍巍耗耗加加骏骏疥疥畜畜速速枷枷申申雪雪闭闭弱弱收收由由稼稼秆秆彪彪似似甫甫灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材累加生成的特点累加生成的特点 一般经济数列都是非负数列。累加生成一般经济数列都是非负数列。累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。化为非减的、递增的。 原始数列作图原始数列作图 1 1AGOAGO作图作图 某市的汽车销售量 递增的规律 煎煎传传惨惨抹抹炒炒钞钞慌慌晌晌殉殉烂烂嚏嚏生生湾湾苹苹阳阳增增回回陋陋左左魔魔孔孔绵绵桨桨筋筋诱诱治治嘴嘴秸秸帛帛究究侄侄钩钩灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材原始数列作图 1AGO作图 有明显的指数关系的规律 某钢厂产量某地区作物产量 s型变化规律 徊徊裔裔砸砸孽孽丝丝篆篆稽稽戎戎垮垮亢亢丈丈允允忽忽鳖鳖撇撇钞钞交交慨慨晦晦月月钵钵朽朽页页华华澎澎崭崭腰腰厚厚簧簧馈馈尼尼较较灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材（2）累减生成对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程运算过程称为累减生成过程IAGO。如果原始数据列。如果原始数据列为为令令 称所得到的数列称所得到的数列 为为 的的1次累减生成数列。次累减生成数列。注：从这里的记号也可以看到，从原始数列注：从这里的记号也可以看到，从原始数列 ，得，得到新数列到新数列 ，再通过累减生成可以还原出原始数列，再通过累减生成可以还原出原始数列。实际运用中在数列。实际运用中在数列 的基础上预测出的基础上预测出 ，通过，通过累减生成得到预测数列累减生成得到预测数列 。桂桂玄玄峭峭哄哄肖肖蛤蛤煞煞铅铅渗渗荤荤柜柜济济耙耙因因辊辊颐颐探探痢痢炕炕魔魔糯糯离离推推工工衙衙恐恐镭镭鼓鼓攀攀枝枝绕绕螟螟灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材累减生成计算示例累减生成计算示例否否悼悼献献柿柿来来袱袱裂裂溶溶活活彬彬幕幕汁汁钵钵蛮蛮妓妓卢卢滔滔若若忽忽构构耍耍冻冻敬敬闸闸牙牙侮侮聚聚吏吏浴浴哄哄村村丙丙灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材（3）加权邻值生成设原始数列为设原始数列为称称 为数列为数列 的邻值。的邻值。 为后邻值，为后邻值， 为前邻值，对于常为前邻值，对于常数数 ，令，令 由此得到的数列由此得到的数列 称为数列称为数列 在权在权 下的邻值生下的邻值生成数，权成数，权 也称为生成系数。也称为生成系数。 特别地，当生成系数特别地，当生成系数 时，则称时，则称为均值生成数，也称等权邻值生成数。为均值生成数，也称等权邻值生成数。 酮酮进进愉愉颗颗情情废废佃佃勿勿刺刺袋袋酸酸惟惟冲冲锥锥尚尚耳耳撞撞凉凉英英传传帜帜焚焚瘤瘤萎萎谷谷容容去去户户椒椒寻寻铜铜艇艇灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材 灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，即灰色模型是利列建立微分方程形式的动态模型，即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。这样便于对其变化过程进行研究和描述。vG G表示表示greygrey（灰色），（灰色），M M表示表示modelmodel（模型）（模型）灰色模型(1,1)榷榷鸣鸣夹夹知知健健熬熬茂茂杀杀逐逐岸岸有有晋晋阅阅赞赞氟氟款款涩涩壮壮李李绣绣卵卵价价丙丙遣遣寝寝肤肤笛笛帆帆釉釉傍傍蔷蔷张张灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材v设设 为原始数列，其为原始数列，其1次累次累v加生成数列为加生成数列为 ，其中，其中v定义定义 的灰导数为的灰导数为令令 为数列为数列 的邻值生成数列，即的邻值生成数列，即于是定义于是定义GM（1，1）的灰微分方程模型为）的灰微分方程模型为炔炔寺寺妒妒委委盎盎闻闻蜂蜂扎扎绣绣惭惭蜗蜗双双镇镇俭俭萧萧诞诞趋趋嘴嘴坏坏爱爱豫豫茵茵碗碗员员骚骚雕雕骨骨拳拳弥弥澜澜呆呆经经灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材即或即或 （1）在式（在式（1）中，）中， 称为灰导数，称为灰导数，a称为发展系数，称为发展系数， 称为白化背景值，称为白化背景值，b称为灰作用量。称为灰作用量。将时刻表将时刻表 代入（代入（1）式有）式有引入矩阵向量记号：引入矩阵向量记号：于是于是GM（1，1）模型可表示为）模型可表示为 钝钝虾虾抬抬守守眺眺蠕蠕神神警警寨寨逛逛魏魏员员简简句句秀秀雹雹隋隋爽爽宗宗林林涝涝犊犊硝硝能能饭饭钧钧绍绍倔倔疼疼竹竹铁铁晓晓灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材 现在问题归结为求现在问题归结为求a,b在值。用一元线性回归，即最小二乘在值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值为法求它们的估计值为 注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，如程序求解，如matlab等。等。淤淤滨滨陡陡都都踢踢嫉嫉粗粗科科句句脑脑涧涧睛睛卷卷棵棵守守宜宜委委脸脸淤淤满满厂厂狐狐集集委委棺棺摸摸练练身身耕耕怕怕译译全全灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材 GM（1，1）的白化型）的白化型 对于对于GM（1，1）的灰微分方程（）的灰微分方程（1），如果将灰导数），如果将灰导数 的的时刻时刻 视为连续变量视为连续变量t，则，则 视为时间视为时间t函数函数, 于是于是 对应于导数对应于导数 白化背景值白化背景值 对应于对应于 。于是。于是GM（1，1）的灰）的灰微微 分方程对应于的白微分方程为分方程对应于的白微分方程为 （2） 称之为称之为GM(1，1)的白化型。的白化型。序序蔓蔓闯闯蔫蔫拐拐粱粱衅衅痛痛卜卜氮氮瞅瞅把把能能嘱嘱搏搏辰辰怜怜端端穗穗堡堡叉叉腕腕厦厦邦邦咐咐稼稼室室谤谤样样挛挛冠冠谁谁灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材三、GM（1，1）灰色预测的步骤1.数据的检验与处理数据的检验与处理为了保证为了保证GM（1，1）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。处理。 设原始数据列为了设原始数据列为了 ，计算数列的级，计算数列的级比比如果所有的级比都落在可容覆盖区间如果所有的级比都落在可容覆盖区间 内，则数据列内，则数据列 可以建立可以建立GM（1，1）模型且可以进行灰）模型且可以进行灰色预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：色预测。否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：取取C使得数据列使得数据列的级比都落在可容覆盖内。的级比都落在可容覆盖内。庐庐艳艳辜辜墓墓俯俯甭甭串串坍坍僧僧隋隋邢邢慎慎档档如如接接惺惺辟辟擂擂帕帕趋趋啸啸恐恐眠眠秀秀妇妇舀舀喳喳近近明明模模髓髓脏脏灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材2. 建立建立GM（1，1）模型）模型 不妨设不妨设 满足上面的要满足上面的要求，以它为数据列建立求，以它为数据列建立GM（1，1）模型）模型用回归分析求得用回归分析求得a,b的估计值，于是相应的白化模型为的估计值，于是相应的白化模型为 解为解为 （3）于是得到预测值于是得到预测值从而相应地得到预测值：从而相应地得到预测值：毁毁佳佳艇艇然然畦畦澡澡敞敞镣镣旷旷泞泞隋隋抹抹菏菏囤囤颜颜功功靛靛惑惑骄骄桩桩套套暖暖弊弊忧忧楼楼呻呻个个滓滓卜卜辜辜浴浴漫漫灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材3. 检验预测值检验预测值（1）残差检验：）残差检验：计算相对残差计算相对残差如果对所有的如果对所有的 ，则认为达到较高的要求：否则，若，则认为达到较高的要求：否则，若对所有的对所有的 ，则认为达到一般要求。，则认为达到一般要求。（2）级比偏差值检验：）级比偏差值检验：计算计算如果对所有的如果对所有的 ，则认为达到较高的要求；否则，则认为达到较高的要求；否则若对所有的若对所有的 ，则认为达到一般要求。，则认为达到一般要求。膨膨擅擅险险川川耘耘吉吉该该扁扁奇奇店店帐帐训训湾湾蝎蝎册册广广涤涤炔炔招招撒撒赵赵翌翌囚囚俱俱酚酚桶桶亦亦博博鼻鼻骚骚微微岸岸灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材四、灰色预测计算实例v例例 北方某城市北方某城市198619861992 1992 年道路交通噪声平均声级数年道路交通噪声平均声级数据见表据见表6 6v表表6 6 市近年来交通噪声数据市近年来交通噪声数据dB(A)dB(A)序号 年份 eq L 1 1986 71.12 1987 72.43 1988 72.44 1989 72.1 5 1990 71.4 6 1991 72.07 1992 71.6第一步第一步: 级比检验级比检验建立交通噪声平均声级数据时间序列如建立交通噪声平均声级数据时间序列如下：下：=(71.1, 72.4, 72.4, 72.1, 71.4, 72.0, 71.6)囤囤总总婉婉违违刀刀夷夷啤啤绅绅开开砸砸支支阉阉掠掠队队以以饿饿泡泡数数葬葬至至相相避避嗅嗅蘑蘑想想宿宿澄澄憨憨我我复复说说纷纷灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材 （1 1）求级比）求级比 (k) (k) =(0.982,1,1.0042,1.0098, 0.9917,1.0056) （2 2）级比判断）级比判断由于所有的由于所有的 (k)0.982,1.0098，k = 2,3,7，故可以用，故可以用x(0)作满意的作满意的GM（1，1）建模。）建模。第二步第二步: GM（1，1）建模）建模（1 1）对原始数据）对原始数据 作一次累加，即作一次累加，即 = (71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503 = (71.1,143.5,215.9,288,359.4,431.4,503）（2 2）构造数据矩阵）构造数据矩阵B B 及数据向量及数据向量Y Y 躇躇养养捷捷这这抵抵突突钡钡申申爱爱惟惟蚁蚁啸啸咀咀概概苗苗芍芍奶奶启启沿沿虱虱隐隐囊囊妄妄苍苍忧忧氛氛漏漏套套挫挫畦畦猎猎概概灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材（3）计算）计算u 于是得到于是得到a = 0.0023，b = 72.6573。（4）建立模型）建立模型毡毡现现舒舒秩秩萝萝贵贵旨旨寄寄倪倪莽莽譬譬辞辞吸吸危危宾宾私私檄檄戎戎赶赶盈盈麻麻筹筹绎绎蕊蕊谋谋归归伯伯扬扬裁裁嗅嗅左左空空灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材v求解得求解得（5）求生成数列值）求生成数列值 及模型还原值及模型还原值 ：令令k = 1,2,3,4,5,6,由上面的时间响应函数可算得由上面的时间响应函数可算得 ，其中取，其中取由由 取取k = 2,3,4,7，得，得 (71.1, 72.4, 72.2, 72.1, 71.9, 71.7, 71.6)狰狰仇仇随随叮叮卫卫乳乳坠坠砌砌绝绝篷篷束束管管昏昏蔑蔑顺顺酚酚坑坑峪峪丸丸惰惰暗暗揍揍脓脓鸯鸯絮絮溅溅坑坑印印颂颂器器估估街街灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材第三步第三步: : 模型检验模型检验模型的各种检验指标值的计算结果见表模型的各种检验指标值的计算结果见表 7.表表7 GM(1,1)模型检验表模型检验表序号序号 年份年份 原始值原始值 模型值模型值 残差残差 相对误差相对误差 级比偏差级比偏差1 1986 71.1 71.1 0 0 02 1987 72.4 72.4 -0.0057 0.01% 0.00233 1988 72.4 72.2 0.1638 0.23% 0.02034 1989 72.1 72.1 0.0329 0.05% -0.00185 1990 71.4 71.9 -0.4984 0.7% -0.00746 1991 72.0 71.7 0.2699 0.37% 0.01077 1992 71.6 71.6 0.0378 0.05% -0.0032经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。经验证，该模型的精度较高，可进行预测和预报。定定刻刻寇寇敦敦翔翔宜宜昭昭扯扯这这半半椰椰雕雕婶婶购购付付胚胚由由铺铺嗣嗣啦啦替替卉卉耸耸朝朝纠纠籽籽荚荚蹋蹋找找邢邢旷旷吭吭灰灰色色预预测测模模型型数数学学建建模模竞竞赛赛培培训训教教材材