吕建聚吕建聚概率论与数理统计概率论与数理统计Tel :13952161620E-mail : jjlucumt.edu.cn随机现象随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果，但又有一在一定条件下，并不总是出现相同结果，但又有一定统计规律的现象称为定统计规律的现象称为随机现象。随机现象。抛硬币、掷抛硬币、掷骰骰子是两个简单而最早研究的随机现象。子是两个简单而最早研究的随机现象。某某网站某时点的访问人数，每年春运人数也是随机现象网站某时点的访问人数，每年春运人数也是随机现象按照能否对将来进行预知的标准，自然界的现象分为两大类：按照能否对将来进行预知的标准，自然界的现象分为两大类： 将来可以预知：条件一定则结果一定将来可以预知：条件一定则结果一定将来不可以预知：条件一定、结果不定将来不可以预知：条件一定、结果不定（1）确定现象）确定现象（2）不确定现象）不确定现象概率统计是一门研究随机现象统计规律性的课程概率统计是一门研究随机现象统计规律性的课程通过概率统计的学习和思维训练，可以获得两方面的收益：通过概率统计的学习和思维训练，可以获得两方面的收益：2、提高大家对解决生活中一些复杂问题的、提高大家对解决生活中一些复杂问题的决策能力决策能力1、后续课程的必备知识：、后续课程的必备知识：课程特点与学习方法课程特点与学习方法课程特点与学习方法课程特点与学习方法这门课程学习过程中，大家注意对基本概念、基本原这门课程学习过程中，大家注意对基本概念、基本原理的理解和体会理的理解和体会 , ,多看教材，辅之以多做练习多看教材，辅之以多做练习. .作业作业: : 学号末尾偶数双周交、奇数单周交、（学号末尾偶数双周交、奇数单周交、（周二课堂周二课堂）答疑时间、地点答疑时间、地点 : :周二周二7 7、8 8节，教节，教1-c3001-c300答疑室答疑室教学目标：基本满足考研的需要教学目标：基本满足考研的需要（第13至19周） 特点：先易后难、概念难懂、思维方法独特特点：先易后难、概念难懂、思维方法独特2 2、浙江大学、浙江大学概率统计概率统计及其配套参考资料及其配套参考资料参考书参考书: :3、概率统计及数理统计概率统计及数理统计 陈希孺陈希孺1、 周圣武老师编写本教材的辅导书周圣武老师编写本教材的辅导书二、二、 样本空间样本空间 一一 、随机试验、随机试验 第一节第一节随机事件及其运算三、随机事件三、随机事件 四、事件间的关系及其运算四、事件间的关系及其运算( ( ( (一一一一) ) ) ) 随机试验随机试验随机试验随机试验随机试验应该广义理解，是对随机现象的一次观察、随机试验应该广义理解，是对随机现象的一次观察、（简称试验记作（简称试验记作 E E ）。）。也可以是一次测量、一次统计等等也可以是一次测量、一次统计等等随机试验的典型例子有：随机试验的典型例子有：E E1 1：抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面H H（HeadsHeads）、）、反面反面T T E E2 2 ：同时同时掷三枚硬币，观察正面、反面出现的情况。掷三枚硬币，观察正面、反面出现的情况。E E3 3：记录股票收盘点数。记录股票收盘点数。（TailsTails）出现的情况。出现的情况。E E4 4：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。随机试验（随机试验（随机试验（随机试验（E E E Experimetxperimetxperimetxperimet ）的例子的例子的例子的例子注意注意:随机试验具有特定的观察动机随机试验具有特定的观察动机随机试验应该具有以下几点：随机试验应该具有以下几点：随机试验应该具有以下几点：随机试验应该具有以下几点：（可（可重复性）重复性） (1) (1) 可以在相同情况下重复进行可以在相同情况下重复进行(2) (2) 每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性，每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性，(3) (3) 每次试验前不能确定会出现哪种结果每次试验前不能确定会出现哪种结果 , , 但能事先知道试验的所有可能结果。但能事先知道试验的所有可能结果。( (结果具有随机性）结果具有随机性）具有上述三个特点的试验称为具有上述三个特点的试验称为随机试验。随机试验。( (结果具有多个性）结果具有多个性）随机现象的认识随机现象的认识所有可能的取值所有可能的取值取取各个值的可能性各个值的可能性为了了解对随机现象认识的任务，分析一下彩票的下注心理为了了解对随机现象认识的任务，分析一下彩票的下注心理摇号可以认为是一个随机试验，摇号可以认为是一个随机试验，首先了解所有可能的号码首先了解所有可能的号码其次是要了解各个号码出现的可能性其次是要了解各个号码出现的可能性样本空间样本空间的元素的元素: :即即 E E 的每个结果，称为的每个结果，称为样本点样本点。S S1 1 : H , T : H , T 认识一个随机现象首先从认识它的认识一个随机现象首先从认识它的所有可能发生的结果所有可能发生的结果开始。开始。E E1 1：抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面H H、反面反面T T出现的情况。出现的情况。S S2 2 : : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTTHHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT E E2 2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。E E：记录某网站每天的访问人数记录某网站每天的访问人数E E：记录一台电视机的使用寿命记录一台电视机的使用寿命随机现象的认识随机现象的认识所有可能的取值所有可能的取值取取各个值的可能性各个值的可能性关注一组可能的值更有实际意义关注一组可能的值更有实际意义试验试验 E E 的样本空间的样本空间 的子集称为的子集称为随机事件随机事件（简称简称事件事件）。）。 用用 A , B , C , DA , B , C , D等表示。等表示。（三）事件定义（三）事件定义（三）事件定义（三）事件定义比如：掷骰子试验、点数是偶数、奇数、大于比如：掷骰子试验、点数是偶数、奇数、大于3 3等都是等都是事件事件事件的表示方法事件的表示方法：语言定性描述或者用集合的符号：语言定性描述或者用集合的符号比如：掷骰子试验中，掷出点数是偶数可表示为：比如：掷骰子试验中，掷出点数是偶数可表示为：A=A=2 2，4 4，6 6 “ “点数为偶数点数为偶数”样本空间是客观的样本空间是客观的事件是人为设定的事件是人为设定的事件事件B B1 1=t|t=t|t 20002000 “灯泡是次品灯泡是次品”事件事件 B B2 2=t|t =t|t 2000 2000 “灯泡是合格品灯泡是合格品”灯泡的寿命试验，寿命大于等于灯泡的寿命试验，寿命大于等于20002000小时为合格小时为合格在试验中在试验中, , 这个事件中的一个样本点出现这个事件中的一个样本点出现, ,则称则称事件发生事件发生。事件的发生事件的发生事件的发生事件的发生再比如：在掷骰子试验中，再比如：在掷骰子试验中，S S1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，S1S11 1，2 2，3 3 S2 S22 2，4 4，6 6S3S34 4，5 5，6 6如果掷出的数字是如果掷出的数字是4 4，则，则S2S2、S3S3发生发生以以:每天观察股票涨跌情况进行分析（样本空间、事件发生）每天观察股票涨跌情况进行分析（样本空间、事件发生）思考题思考题一次随机试验，会不会有多个结果发生？一次随机试验，会不会有多个结果发生？一次随机试验，是不是只有一个事件发生？一次随机试验，是不是只有一个事件发生？1 1）基本事件）基本事件: :E E 中只含有一个样本点的事件，称为中只含有一个样本点的事件，称为E E 的基本事件。的基本事件。2 2 2 2、随机事件中几种具有特殊意义的事件、随机事件中几种具有特殊意义的事件、随机事件中几种具有特殊意义的事件、随机事件中几种具有特殊意义的事件: : : :为六个基本事件。为六个基本事件。例如：在掷骰子试验中例如：在掷骰子试验中2 2） 必然事件必然事件: :3 3）不可能事件不可能事件: :在在每次试验中均不会发生每次试验中均不会发生. .由于样本空间由于样本空间包含所有的样本点，包含所有的样本点，每次试验中它总是每次试验中它总是发生的，发生的，样本空间称为必然事件。样本空间称为必然事件。记为记为即为即为空集空集其中不包含任何样本点。其中不包含任何样本点。例如例如 E E4 4 中中 点数点数为为必然事件。必然事件。为为不可能事件。不可能事件。 点数点数1.21.21.21.2事件间的关系及事件的运算事件间的关系及事件的运算事件间的关系及事件的运算事件间的关系及事件的运算事件是一个集合，事件是一个集合， 因而事件间的关系和运算因而事件间的关系和运算, ,自然自然按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。下面给出这些关系和运算，及在概率论中的提法，下面给出这些关系和运算，及在概率论中的提法，从从“事件发生事件发生”的角度来理解他们在概率论中的含义。的角度来理解他们在概率论中的含义。1 1 1 1、事件的包含与相等、事件的包含与相等、事件的包含与相等、事件的包含与相等记为记为. . 若事件若事件A A 发生发生则则事件事件B 肯定肯定发生发生定义定义：则则称称 B B包含了包含了A A 。（A A的每一个样本点都是的每一个样本点都是 B B 的样本点）的样本点）或或即即定义定义：若：若且且则则称称 A A与与 B B 相等相等记记为为 A = B .A = B .如在编号如在编号1 1到到1010的袋子中摸球的袋子中摸球有有2 2 2 2、事件的和、事件的和、事件的和、事件的和（和运算）（和运算）（和运算）（和运算）或或定义定义事件事件例如例如称为称为A A 与与 B B的的和事件和事件当且仅当当且仅当 A A、B B中至少有一个发生时中至少有一个发生时2 2 2 2、事件的和、事件的和、事件的和、事件的和（和运算）（和运算）（和运算）（和运算）类似，由类似，由“事件事件”中中至少有一个发生所至少有一个发生所构成的事件，称为构成的事件，称为的的和，记为和，记为例如例如A A1 1=开关开关 K K1 1 合上合上 A A2 2=开关开关 K K2 2 合上合上 A A3 3=开关开关 K K3 3 合上合上 B=B=灯亮灯亮 三个开关至少有一个合上。三个开关至少有一个合上。3 3 3 3、事件的积、事件的积、事件的积、事件的积（积运算（积运算（积运算（积运算 ）当且仅当事件当且仅当事件A A 与事件与事件B B 同时同时发生时发生时且且或或定义定义记为记为例例 电路图电路图 B B表示灯亮表示灯亮A A1 1=开关开关 K K1 1 合上合上 A A2 2=开关开关 K K2 2 合上合上 称为事件称为事件A A与与B B的积。的积。发生发生例如：例如：例如：例如： 设以设以设以设以表示毕业班某一位学生的表示毕业班某一位学生的各门课程的学习成绩为合格。各门课程的学习成绩为合格。以以 B B 表示学生可以拿到毕业证书。表示学生可以拿到毕业证书。则则( (表示门门课程都合格了表示门门课程都合格了) )。类似，由类似，由“事件事件” ” 中同时发生所构成的中同时发生所构成的事件，称为事件，称为的积，记为的积，记为或或4 4 4 4、事件的差、事件的差、事件的差、事件的差（差事件）（差事件） 当且仅当当且仅当“事件事件A A 发生且事件发生且事件B B 不发生不发生且且定义定义例如例如称为事件称为事件A A 与与 B B 的差事件。的差事件。时，事件时，事件AB发生发生6 6 6 6、对立事件对立事件对立事件对立事件则称则称 A A 与与 B B为为对立事件对立事件( (互逆互逆) ) 且且即：事件即：事件A A、 B B 必有且仅有一个发生。必有且仅有一个发生。定义定义事件事件 A A、 B B 满足满足记为记为可见：若可见：若 E E 只有两个互不相容的结果，那么这两个只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构成对立事件。结果构成对立事件。5 5 5 5、互不相容事件互不相容事件互不相容事件互不相容事件表示表示 ：事件：事件A A 与事件与事件B B 不能不能同时同时发生发生定义定义若若则称则称A A 与与 B B 相容相容注：注：基本事件是两两互不相容的基本事件是两两互不相容的( (互斥互斥) ) 。如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。否则，称为不相容否则，称为不相容表示毕业班某一位学生的表示毕业班某一位学生的以以 C C 表示学生拿不到毕业证书。表示学生拿不到毕业证书。则则( (表示门门课程都合格了表示门门课程都合格了) )。例如：例如：例如：例如： 设以设以设以设以表示至少有一门课程不及格。表示至少有一门课程不及格。以以 B B 表示该学生可以拿到毕业证书。表示该学生可以拿到毕业证书。各各课的学习为成绩课的学习为成绩合格。合格。事件运算规律事件运算规律事件运算规律事件运算规律1. 1. 交换律交换律2. 2. 结合律结合律3. 3. 分配律分配律4. 4. 德摩根律德摩根律即即 A、B 中中至少至少有一个发生的对立面，有一个发生的对立面， 就是两个就是两个都不都不发生。发生。 A A、B B 两个两个同时同时发生的对立面，发生的对立面，就是两个就是两个至少至少有一个不发生。有一个不发生。例例例例1.1.1.1.设设A A, ,B B, ,C C 表示三个事件表示三个事件, , 试表示下列事件试表示下列事件(1) (1) A A 发生发生, , B B 与与C C 不发生不发生(2) (2) A A 与与B B 发生发生, , C C 不发生不发生(3) (3) A A, , B B 与与C C 都发生都发生(4) (4) A A, , B B 与与C C 至少有一个发生至少有一个发生(5) (5) A A, , B B 与与C C 全不发生全不发生(6) (6) A A, , B B 与与C C 至少有两个发生至少有两个发生还有没有其他表示方法还有没有其他表示方法?例例例例2 2 2 2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道管道 1 1，2 2，3 3 组成。组成。 每个水源都可以供应城市的用水。每个水源都可以供应城市的用水。设设事件事件 A Ak k 表示第表示第 k k 号管道正常工作，号管道正常工作，k=k=1 1，2 2，3 3。B B 表示表示“城市能正常供水城市能正常供水”，B B表示表示“城市断水城市断水”。 城市城市甲甲乙乙1 12 23 3解解试用试用表示表示例例例例3 3 3 3 从一批从一批从一批从一批 100100100100件的产品中每次取出一个（取后不件的产品中每次取出一个（取后不件的产品中每次取出一个（取后不件的产品中每次取出一个（取后不放回），放回）， 假设假设100100件产品中有件产品中有5 5件是次品，件是次品，用用事件事件A AK K 表示表示 第第 k k 次取到次品（次取到次品（k=k=1,2,3),1,2,3),试用试用表示下列事件。表示下列事件。1 1、三次全取到次品。、三次全取到次品。2 2、只有第一次取到次品、只有第一次取到次品3 3、三次中至少有一次取到次品、三次中至少有一次取到次品4 4、三次中恰有两次取到次品、三次中恰有两次取到次品5 5、三次中至多有一次取到次品、三次中至多有一次取到次品或或A 甲种产品滞销甲种产品滞销 ，乙种产品畅销，乙种产品畅销B 甲乙两种产品均畅销甲乙两种产品均畅销C 甲种产品畅销甲种产品畅销D 甲重产品滞销或乙种产品畅销甲重产品滞销或乙种产品畅销 本节知识要点本节知识要点本节知识要点本节知识要点1 1、随机现象的认识、随机现象的认识2 2、基本概念：样本空间、事件、事件发生、基本概念：样本空间、事件、事件发生3 3、事件的关系运算（集合的语言和概率的语言、事件的关系运算（集合的语言和概率的语言, ,文氏图）文氏图）作业：作业： p5 2, 4， 6 注意注意:互逆事件和对立事件的区别互逆事件和对立事件的区别