第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理5.1 大数定律大数定律一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式 (P127)切比雪夫不等式的另一种形式：切比雪夫不等式的另一种形式：例例:设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望EX= , 方差方差DX= ,则由则由Chebyshev不等式，有不等式，有二、大数定律二、大数定律1、随机变量序列的依概率收敛定义、随机变量序列的依概率收敛定义 成立。则称成立。则称 依概率收敛于依概率收敛于 ,记为记为 设设 是一随机变量序列，如果存在是一随机变量序列，如果存在一个常数一个常数 , 总有总有 对对2、依概率收敛、依概率收敛 的随机变量序列的性质的随机变量序列的性质3、切比雪夫大数定理、切比雪夫大数定理 设随机变量设随机变量 相互独立，如果相互独立，如果则序列则序列 依概率收敛于依概率收敛于 ,即即注注:本定理说明本定理说明, n个个r.v., 如果它们相互独立如果它们相互独立, 且具且具有有限的相同的数学期望和方差有有限的相同的数学期望和方差, 那么当那么当n很很大时大时, 这这n 个随机变量的算术平均值几乎是一个常数个随机变量的算术平均值几乎是一个常数, 就就是它们的数学期望是它们的数学期望.证：证： 由于由于由切比雪夫不等式得由切比雪夫不等式得4、贝努里大数定理、贝努里大数定理 设设 是是 n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的次数发生的次数, 则对任意则对任意 有有注注: 贝努利定理说明贝努利定理说明, 事件事件A发生的频率发生的频率nA/n依概率收敛依概率收敛 于事件于事件A发生的概率发生的概率p, 这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性, 就是说就是说, 当当n很大时很大时, 事件事件A发生的频率与概率有较大的差别的可发生的频率与概率有较大的差别的可能性很小能性很小.证：证： 引进随机变量引进随机变量第第 次次A发生发生;第第 次次A不发生不发生.由切比雪夫大数定律得由切比雪夫大数定律得贝努里大数定理贝努里大数定理: 设设 是是 n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的次数发生的次数,P(A)=p 则对任意则对任意 有有设随机变量设随机变量 相互独立，如果相互独立，如果5、辛钦大数定理、辛钦大数定理 前面两定理前面两定理(切比雪夫大数定理和贝努里大数定理切比雪夫大数定理和贝努里大数定理)是是通过切比雪夫不等式建立起来的都要求方差的存在性，通过切比雪夫不等式建立起来的都要求方差的存在性，但在独立同分布场合，并不需要此要求但在独立同分布场合，并不需要此要求 设设 是一个独立同分布的随机变量序是一个独立同分布的随机变量序列，列，(证明超出范围证明超出范围, 略略)5.2 中心极限定理中心极限定理 许许多多微小的偶然因素共同作用的结果一般可认许许多多微小的偶然因素共同作用的结果一般可认为服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观为服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观 背景。背景。例如例如,影响产品质量的因素很多，除去产品的原材料构成影响产品质量的因素很多，除去产品的原材料构成以及生产工艺等主要因素外，诸如生产中操作者的情绪以及生产工艺等主要因素外，诸如生产中操作者的情绪波动，测量误差等因素都会对产品的质量产生影响。而波动，测量误差等因素都会对产品的质量产生影响。而这些因素共同作用的结果一般可认为这些因素共同作用的结果一般可认为服从正态分布服从正态分布 设设 是一个独立同分布的随机变是一个独立同分布的随机变量序列量序列且且记记定理定理4（独立同分布的中心极限定理）独立同分布的中心极限定理）则对任一实数则对任一实数 x 有有(证明超出范围证明超出范围,略略)注注: 在定理的条件下在定理的条件下,当当 n充分大时充分大时N(0,1)例例: 一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电压个噪声电压 ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间 (0,10) 上上服从均匀分布，服从均匀分布，求求记记解解: 因为因为易知易知由中心极限定理由中心极限定理所以所以于是于是解解: 令令Y为利润为利润, X为死亡人数为死亡人数,第第 人在一年内死亡人在一年内死亡;第第 人在一年内未死人在一年内未死.例例: 在一家保险公司里有一万人参加保险，每人每年付在一家保险公司里有一万人参加保险，每人每年付12元保险费。在一年内这些人死亡的概率为元保险费。在一年内这些人死亡的概率为0.006,死亡死亡后家属可向保险公司领取后家属可向保险公司领取1000元。元。(1) 保险公司一年的利润不少于保险公司一年的利润不少于6万元的概率；万元的概率；试求：试求：(2) 保险公司亏本的概率；保险公司亏本的概率；Y=12*10000-X*1000(1) 保险公司一年的利润不少于保险公司一年的利润不少于6万元的概率为万元的概率为20而而由中心极限定理知，由中心极限定理知，X近似服从近似服从(2) 保险公司亏本的概率为保险公司亏本的概率为:21定理定理6: 德莫佛德莫佛-拉普拉期中心极限定理拉普拉期中心极限定理(证明超出范围证明超出范围,略略)注注1: 在定理的条件下在定理的条件下,当当 n充分大时充分大时定理定理5:李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理(超出范围超出范围,略略)例例: 一船在某海区航行一船在某海区航行, 已知每遭受一次波浪的已知每遭受一次波浪的冲击冲击, 纵摇角大于纵摇角大于30的概率的概率p=1/3, 若船遭受了若船遭受了90000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有2950030500次纵摇次纵摇角大于角大于30概率是多少概率是多少?将船每遭受一次波浪冲击看成是一次试验将船每遭受一次波浪冲击看成是一次试验,则则90000次波浪次波浪冲击中纵摇角度大于冲击中纵摇角度大于3度的次数度的次数Xb(90000,1/3) 其分布律其分布律解：解：令令X为在为在90000次波浪冲击中纵摇角度大于次波浪冲击中纵摇角度大于3度的次数度的次数直接计算十分麻烦直接计算十分麻烦, 利用德莫佛利用德莫佛-拉普拉斯定理来近似求拉普拉斯定理来近似求解解求满足求满足例例: 某单位设置一电话总机，共有某单位设置一电话总机，共有200台电话分机，设台电话分机，设每个电话分机有每个电话分机有5%的时间要使用外线通话。假定每个的时间要使用外线通话。假定每个分机是否使用外线是相互独立的，问总机至少要装多少分机是否使用外线是相互独立的，问总机至少要装多少外线才能以不低于外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。时可供使用。的最小的的最小的 k .解解: 令令k为需要装的外线总数为需要装的外线总数, X为使用的外线总数为使用的外线总数由中心极限定理由中心极限定理我们将每个分机使用外线看成是一次试验我们将每个分机使用外线看成是一次试验, 则则200台分机台分机使用外线的总数使用外线的总数Xb(200,5%)16所以所以 故总机至少要故总机至少要14条外线，才能以条外线，才能以90%的概率保证每的概率保证每个分机使用外线。个分机使用外线。的最小的的最小的 k .例例:=-100=100