解析几何中求最值问题的基本方法解析几何中求最值问题的基本方法 函数的思想方法函数的思想方法 判别式法判别式法 利用基本不等式利用基本不等式 数形结合法数形结合法 参数法参数法 建立几何模型建立几何模型& 定义法定义法例例1、椭圆、椭圆 上过点上过点 A（0，1） 引椭圆的任意一条弦引椭圆的任意一条弦 AB.求：弦长求：弦长 的最大值。的最大值。YXOBA（0，1）圆圆设设 B（x，y）为椭圆上的一点。）为椭圆上的一点。例例1、椭圆、椭圆 上过点上过点 A（0，1）引椭圆的任意一条弦）引椭圆的任意一条弦 AB。求：弦长求：弦长 的最大值。的最大值。设设 B（x，y），则），则 。 B（x，y）在椭圆上，）在椭圆上，代入得：代入得：解题思路解题思路: :YXOBA（0，1）把把 代入代入,得出关于得出关于 y 的二次函数，配方后求出的最大值。的二次函数，配方后求出的最大值。 YXOABC例例2 2、直线、直线 x+y-3=0 x+y-3=0 和抛物线和抛物线 y y2 2=4x =4x 交于交于 A A、B B 两点。两点。 在抛物线在抛物线 AOB AOB 上求一点上求一点 C C ， 使使 ABC ABC 的面积最大。的面积最大。DD解方程组解方程组例例2 2、直线、直线 x+y-3=0 x+y-3=0 和和 抛物线抛物线 y y2 2=4x =4x 交于交于 A A、B B 两点。两点。 在抛物线在抛物线 AOB AOB 上求一点上求一点 C C ，使，使 ABC ABC 的面积最大。的面积最大。解：解：直线直线 L L 到直线到直线 AB AB 的距离为最大，的距离为最大，也是点也是点 C C 到直线到直线 AB AB 的距离最大。的距离最大。当当 m=1 m=1 时，时，设设L L：x+y+m=0x+y+m=0与直线与直线ABAB：x+y-3=0x+y-3=0平行平行且为抛物线的且为抛物线的切线切线。点点 C C 为切点。为切点。 YXOBALC把把 m=1 代入得：代入得：例例3 3、直线、直线 L L 过点过点 P P（2 2，1 1），它在两坐标轴上的截），它在两坐标轴上的截 距均为正值，若截距之和最小，求距均为正值，若截距之和最小，求 L L 的方程。的方程。设：点斜式方程设：点斜式方程YXOLBA解：解：例例4、已知：实数、已知：实数 x、y 满足满足 。 求：求： 的最值。的最值。此时，直线与圆相切。此时，直线与圆相切。由由 得得当当 取最小时取最小时,S 取最大值。取最大值。为直线在为直线在y轴上的截距。轴上的截距。圆心（圆心（1、-2）到直线的距离等于）到直线的距离等于YXO.解：解：例例4、已知：实数、已知：实数 x、y 满足满足 。 求：求： 的最值。的最值。解：解：设圆的参数方程设圆的参数方程 0，2）将其代入将其代入 得：得： 0，2）A1YXOA( 1，0)B( 3，0)x-y+1=0PP1例例5、在直线、在直线 x-y+1=0 上找一点上找一点 p ，使，使 p 点到点点到点 A（1，0），）， B（3，0）的距离之和最小。）的距离之和最小。 例例5、在直线、在直线 x-y+1=0 上找一点上找一点 p ，使，使 p 点到点点到点 A（1，0），）， B（3，0）的距离之和最小。）的距离之和最小。 如图，设如图，设 A1（x，y）是点）是点 A 关于直线关于直线 x-y+1=0 的对称点。的对称点。易知：要在直线上找一点易知：要在直线上找一点 p 到点到点 A1，B 的距离之和最小，的距离之和最小， 此点应是直线此点应是直线 A1B 与直与直 线的交点。线的交点。则：则：A1（-1，2）A1( -1，2)YXOA( 1，0)B( 3，0)x-y+1=0PA1( 4，2)YXOA( 1，5)B( 8，3)x-y+1=0PP1 例例6. 在直线在直线 x-y+1=0 上找一点上找一点 p ，使，使 p 点到点点到点 A（1，5）、）、 B（8，3）的距离之差的绝）的距离之差的绝 对值最大。对值最大。 YXOL例例7 、求椭圆、求椭圆 上点上点P到直线到直线 L：y=2x-10 的距离的距离的最大值与最小值。的最大值与最小值。L2L1当直线与圆相切时，斜率取到最值。当直线与圆相切时，斜率取到最值。设：设：圆心：（圆心：（2 2，0 0）半径：半径：解:Y YX XO O 例例 8、 已知方程已知方程: : 求：满足这个方程的实数对（求：满足这个方程的实数对（x x，y y）中，）中， 的最值。的最值。 建立几何模型：建立几何模型：例例9 9、求：使求：使 S S 最小的最小的 x x 与与 y y 的值。的值。可设：四个根号的几何意义分别为点可设：四个根号的几何意义分别为点P P（x x，y y）到点）到点O O（0 0，0 0）、）、A A（1 1、0 0）、）、C C（0 0，1 1）、）、B B（1 1，1 1）四点的距离。）四点的距离。原来的问题化归为：原来的问题化归为：求到正方形四个顶点距离之和最小的点求到正方形四个顶点距离之和最小的点。易知：到易知：到 A A、C C两点距离之和最小的点在线段两点距离之和最小的点在线段 ACAC上。上。到到 O O、B B两点距离之和最小的点在线段两点距离之和最小的点在线段 OBOB上。上。Y YX XO OA AB BC C 分析：分析：由题设的代数结构，联想到平面上由题设的代数结构，联想到平面上两点间的距离两点间的距离。 建立几何模型：建立几何模型： 所求的点就是所求的点就是 AC AC 与与 OB OB 的交点的交点P PP PM提示：提示：例例10、求函数、求函数 的最大值。的最大值。设设 y=xy=x2 2 ( (为抛物线为抛物线) )“抛物线抛物线 y=xy=x2 2 上的动点上的动点M(xM(x，y)y)到两个定点到两个定点A(4A(4，3)3)、B(0B(0，2)2)的距离之差的最大值。的距离之差的最大值。”易知：易知：YXOBAM 建立几何模型：建立几何模型：例例11. 在抛物线在抛物线y2 = 2x上求一点上求一点P, 使使P到焦点到焦点F与到点与到点A ( 3,2 ) 的距离之和最小的距离之和最小. .PQlAXyOFyxMAPFO思考思考:已知点已知点 ，F是椭圆是椭圆 的左焦点，的左焦点， 一动点一动点M在椭圆上移动，则在椭圆上移动，则 |AM| + 2 | MF | 的的 最小值为最小值为_.10用用代数方法代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段。讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 对于解析几何中的极值问题的解决对于解析几何中的极值问题的解决首先应注意首先应注意函数方法（参数法）函数方法（参数法）的运用，的运用，将所求对象表示成某个变量的函数，将所求对象表示成某个变量的函数，利用代数方法来解决。利用代数方法来解决。 作为几何中的最值问题，往往利用作为几何中的最值问题，往往利用 平面几何知识或图形意义，采取平面几何知识或图形意义，采取 数形结合或不等式数形结合或不等式的方法求解，的方法求解， 可以避开代数形式的复杂运算。可以避开代数形式的复杂运算。 反过来，通过建立坐标系，反过来，通过建立坐标系，构造图形构造图形 也可使某些不易处理的代数极值问题也可使某些不易处理的代数极值问题得到解决。得到解决。小小 结结注意！注意！