3.5 厄密算符本征函数的正交性一、属于动量算符不同本征值得两个本征函数 和 相互正交： 引入函数的标积：那么(1),(2)两式可以简化记为：当 动量算符是厄密算符，量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征值是实数。以上正交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一个特例 二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本征函数相互正交。证：又 厄密的本征值为实数 1式右乘 ，积分：简记： 2式左乘 ：简记： 根据厄密算符的定义简记：联立4、5即：简记：(6)式移项： 简写：而 ，必有 简写：或表示为：其中kronk 符号 假设 的本征值不分立，而是构成延续谱。那么本征函数 可以归化为 函数：例如动量算符本征函数2.正交归一本征函数一例：无限深势阱 能量本征函数 是体系属于的能量算符 的本征值 的本征函数， 对不同的 值能级 )正交： 其中：证： 积化和差 3. 是 的本征值 的本征函数 的正交性三、正交归一函数的例子厄密算符本征函数相互正交1线性谐振子2.角动量算符 的本征函数，本征值 3.角动量平方算符 的本征函数，属于本征值 ：2一维势阱20缔合Legendre函数正交性：而球谐函数：4.氢原子波函数，算符：n不同: 三个量子数均不同：四、简并态函数的正交性 当 的本征值 是 度简并：普通而言 不正交，但可用 个常数将 个函数重新组合成 个新函数： 总可以选择 而使正交归一条件成立： 普通地，思索到力学完选集中其它算符对简并态重新分类，可组合消除简并。 如 对 简并，但对 那么不简并，归一化为 。