精 品 数 学 课 件北 师 大 版2.2函数的表示法问题问题引航引航1.1.函数有哪些表示方法函数有哪些表示方法? ?它它们们各自的各自的优优缺点是什么缺点是什么? ?2.2.分段函数是如何定分段函数是如何定义义的的? ?分段函数作分段函数作为为一一类类特殊特殊的函数有哪些特点的函数有哪些特点? ?1.1.函数的表示方法函数的表示方法表格表格函数函数图像图像函数函数对应关系对应关系解析表达式解析表达式2.2.分段函数分段函数在函数的定在函数的定义义域内域内, ,如果如果对对于自于自变变量量x x的不同取的不同取值值范范围围, ,有着不有着不同的同的对应对应关系关系, ,那么那么这样这样的函数通常叫作分段函数的函数通常叫作分段函数. .1.1.判一判：判一判：( (正确的打正确的打“”, ,错误错误的打的打“”) )(1)(1)用解析法表示函数一定要写出自用解析法表示函数一定要写出自变变量的取量的取值值范范围围.(.() )(2)(2)函数的函数的图图像都是像都是连续连续的、不的、不间间断的断的.(.() )(3)(3)任何一个函数都有三种表示方法任何一个函数都有三种表示方法.(.() )(4)(4)分段函数是一个函数分段函数是一个函数.(.() )2.2.做一做：做一做：( (请请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线线上上) )(1)(1)下面是我国解放后六次人口普下面是我国解放后六次人口普查查数据表数据表这张这张表中表中, ,所表示的函数定所表示的函数定义义域域为为, ,值值域域为为. .年份年份19531953 19641964 19821982 19901990 20002000 20102010总总人口数人口数( (亿亿) )5.95.96.96.910.110.1 11.311.3 12.412.4 13.713.7(2)(2)某某车车行所售行所售电车电车的台数与售价之的台数与售价之间间的关系如的关系如图图所示：所示：用解析法表示用解析法表示为为. .(3)(3)已知函数已知函数 则则f(-2)=_.f(-2)=_.【解析解析】1.(1)1.(1)正确正确. .函数的定义域是函数存在的前提函数的定义域是函数存在的前提, ,在写函在写函数解析式的时候数解析式的时候, ,一定要写出函数的定义域一定要写出函数的定义域. .(2)(2)错误错误. .函数的图像既可以是连续的曲线函数的图像既可以是连续的曲线, ,也可以是直线、折也可以是直线、折线、离散的点等线、离散的点等. .(3)(3)错误错误. .函数可以用三种表示方法中的一种或几种表示函数可以用三种表示方法中的一种或几种表示, ,要视要视具体的题目来定具体的题目来定. .例如例如, ,有些用表格表示的函数就不能用解析法有些用表格表示的函数就不能用解析法表示表示. .(4)(4)正确正确. .分段函数是一个函数分段函数是一个函数, ,分段的原因是因为在定义域的分段的原因是因为在定义域的不同范围内不同范围内, ,对应关系不同对应关系不同. .答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3)(3) (4)(4)2.(1)2.(1)定义域为定义域为1953,1964,1982,1990,2000,2010,1953,1964,1982,1990,2000,2010,值域为值域为5.9,6.9,10.1,11.3,12.4,13.7.5.9,6.9,10.1,11.3,12.4,13.7.答案：答案：1953,1964,1982,1990,2000,20101953,1964,1982,1990,2000,20105.9,6.9,10.1,11.3,12.4,13.75.9,6.9,10.1,11.3,12.4,13.7(2)(2)此题的图像是分散的点此题的图像是分散的点, ,且通过观察图像知且通过观察图像知y y与与x x之间满足之间满足y=3000x,y=3000x,且且x=1,2,x=1,2,10.,10.答案：答案：y=3000x,x1,2,3,y=3000x,x1,2,3,10,10(3)(3)因为因为-20,-20,所以所以f(-2)=(-2)f(-2)=(-2)2 2=4.=4.答案：答案：4 4【要点探究要点探究】知知识识点点1 1 函数的三种表示方法函数的三种表示方法1.1.三种表示方法的关注点三种表示方法的关注点(1)(1)解析法：必解析法：必须须注明函数的定注明函数的定义义域域. .(2)(2)图图像法：是否像法：是否连续连续, ,实实心点与空心点清晰心点与空心点清晰. .(3)(3)列表法：列表法：选选取的自取的自变变量要有代表性量要有代表性, ,应应能反映定能反映定义义域的特征域的特征. .2.2.三种表示方法的三种表示方法的优优缺点缺点【微思考微思考】(1)(1)所有的函数都能用三种表示法表示所有的函数都能用三种表示法表示吗吗? ?提示：提示：不一定不一定. .不是所有的函数都能用三种表示方法来表示不是所有的函数都能用三种表示方法来表示, ,即即使能用三种方法来表示的函数使能用三种方法来表示的函数, ,也应根据问题的需要来选择合也应根据问题的需要来选择合适的方法适的方法. .(2)(2)图图像法表达的函数都是像法表达的函数都是连续连续的的吗吗? ?提示：提示：图像法表达的函数也可能是一些孤立的点图像法表达的函数也可能是一些孤立的点, ,关键是看函关键是看函数的定义域是否连续数的定义域是否连续. .【即时练即时练】1.1.已知函数已知函数f(x)f(x)的的图图像如像如图图所示所示, ,则则此函数的定此函数的定义义域是域是, ,值值域是域是. .2.2.已知已知f(x)f(x)与与g(x)g(x)分分别别由下表由下表给给出出那么那么f(g(3)=f(g(3)=. .3.3.一种灯管每个一种灯管每个1010元元, ,买买x1,2,3,4,5x1,2,3,4,5个灯管的个灯管的钱钱数数记为记为y y( (元元),),试试写出以写出以x x为为自自变变量的函数量的函数y y的解析式的解析式, ,并画出并画出这这个函数的个函数的图图像像. .x x1 1 2 2 3 3 4 4f(x)f(x) 4 4 3 3 2 2 1 1x x1 1 2 2 3 3 4 4g(x)g(x) 3 3 4 4 1 1 2 2【解析解析】1.1.观察图像可知观察图像可知, ,函数的定义域为函数的定义域为, ,值域为值域为. .答案：答案：-3,3-3,3-2,2-2,22.2.因为因为g(3)=1,g(3)=1,所以所以f(g(3)=f(1)=4.f(g(3)=f(1)=4.答案：答案：4 43.3.这个函数定义域的集合是这个函数定义域的集合是1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,函数的解析式为函数的解析式为y=y=10x,x1,2,3,4,5.10x,x1,2,3,4,5.它的图像由它的图像由5 5个孤立点个孤立点A(1,10),B(2,20),A(1,10),B(2,20),C(3,30),D(4,40),E(5,50)C(3,30),D(4,40),E(5,50)组成组成, ,如图所示如图所示. .知知识识点点2 2 分段函数分段函数对对分段函数的五点分段函数的五点说说明明(1)(1)一个函数：分段函数在其解析式形式上尽管会有多于一个一个函数：分段函数在其解析式形式上尽管会有多于一个的表达式的表达式, ,但它仍然表示一个函数但它仍然表示一个函数, ,不能理解成几个函数的合并不能理解成几个函数的合并, ,它的它的连续连续与与间间断完全由断完全由对应对应关系来确定关系来确定. .(2)(2)标标准形式：分段函数的准形式：分段函数的标标准形式是准形式是写分段函数写分段函数时时, ,注意其定注意其定义义域的端点域的端点应应不重不漏不重不漏. .(3)(3)定定义义域、域、值值域：分段函数的定域：分段函数的定义义域是各段上自域是各段上自变变量取量取值值的的并集并集, ,值值域也是各段上函数域也是各段上函数值组值组成的集合的并集成的集合的并集. .(4)(4)图图像：分段函数的像：分段函数的图图像由几部分构成像由几部分构成, ,有的可以是光滑的曲有的可以是光滑的曲线线, ,有的也可以是一些孤立的点、有的也可以是一些孤立的点、线线段、射段、射线线、直、直线线等等. .(5)(5)求求值值关关键键：求分段函数的某些函数：求分段函数的某些函数值值的关的关键键是是“分段分段归类归类”, ,即自即自变变量的取量的取值值属于哪一段属于哪一段, ,就用哪一段的解析式就用哪一段的解析式, ,一定要一定要坚坚持持定定义义域域优优先的原先的原则则. .【知识拓展知识拓展】含两个含两个( (或多个或多个) )绝对值的函数式与分段函数的关绝对值的函数式与分段函数的关系系(1)(1)将含绝对值的函数式利用将含绝对值的函数式利用“零点分段法零点分段法”去掉绝对值符号去掉绝对值符号, ,就可以转化成分段函数就可以转化成分段函数. .(2)(2)任何情况下任何情况下, ,只要是函数式中含有绝对值均可以转化为分段只要是函数式中含有绝对值均可以转化为分段函数函数, ,然后借助于分段函数问题的处理方式进行解决然后借助于分段函数问题的处理方式进行解决. .【微思考微思考】(1)(1)分段函数中的分段函数中的“段段”一定是等一定是等长长的的吗吗? ?提示：提示：不一定不一定. .分段函数的分段函数的“段段”可以是等长的可以是等长的, ,也可以是不等也可以是不等长的长的. .(2)(2)画分段函数的画分段函数的图图像像时时, ,每一段的端点每一段的端点处应处应注意什么注意什么问题问题? ?提示：提示：画分段函数的图像时画分段函数的图像时, ,每一段的端点处应注意端点的取每一段的端点处应注意端点的取舍舍, ,属于这一段的端点用实心点表示属于这一段的端点用实心点表示, ,不属于这一段的端点用空不属于这一段的端点用空心圈表示心圈表示. .【即时练即时练】设设x x是任意一个是任意一个实实数数,y,y是不超是不超过过x x的最大整数的最大整数, ,试问试问x x和和y y之之间间是是否是函数关系否是函数关系? ?如果是如果是, ,画出画出这这个函数的个函数的图图像像. .【解析解析】是函数关系是函数关系. .对每一个实数对每一个实数x,x,都可以写成等式：都可以写成等式：x=y+a,x=y+a,其中其中y y是整数是整数,a,a是一个小于是一个小于1 1的非负数的非负数. .这个这个“不超过不超过x x的的最大整数最大整数”所确定的函数记为所确定的函数记为y=x.y=x.其图像如图所示其图像如图所示. .【题题型示范型示范】类类型一型一 函数解析式的求法函数解析式的求法【典例典例1 1】(1)(2014(1)(2014新余高一新余高一检测检测) )已知已知f(x)f(x)是一次函数是一次函数, ,且且f(f(x)=f(f(x)=4x+3,4x+3,则则f(x)=f(x)=. .(2)(2)求下列函数的解析式：求下列函数的解析式：已知已知f(x)=xf(x)=x2 2, ,求求f(2x+1);f(2x+1);已知已知 求求f(x);f(x);设函数设函数f(x)f(x)满足满足 求求f(x)f(x)【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中能否设出中能否设出f(x)f(x)的解析式？的解析式？2.2.题题(2)(2)中的中的f(2x+1)f(2x+1)中的中的2x+12x+1与哪个量的地位相同与哪个量的地位相同? ?中的中的 中的中的 与与 能否建立联系能否建立联系? ?中由中由 可否消去可否消去【探究提示探究提示】1.1.因因f(x)f(x)是一次函数，故可设是一次函数，故可设f(x)=ax+b(a0).f(x)=ax+b(a0).2.2.中中2x+12x+1与与f(x)f(x)中中x x的地位相同；的地位相同；中的中的中可把所有中可把所有x x改为改为 即即 与已知式联立消去与已知式联立消去【自主解答自主解答】(1)(1)待定系数法：可设待定系数法：可设f(x)f(x)axaxb(a0),b(a0),则则f(f(x)f(f(x)f(axf(axb)b)a(axa(axb)b)b ba a2 2x xababb b4x4x3 3，所以所以 解得解得 或或故所求的函数为故所求的函数为f(x)f(x)2x2x1 1或或f(x)f(x)2x2x3.3.答案：答案：2x2x1 1或或2x2x3 3(2)(2)直接法：直接法：f(2xf(2x1)1)(2x(2x1)1)2 24x4x2 24x4x1.1.方法一方法一( (配凑法配凑法) )：由于由于把把 看成新的自变量看成新的自变量x x，则，则f(x)f(x)x x2 21 1，因为因为 1 1，所以，所以f(x)f(x)x x2 21(x1)1(x1)方法二方法二( (换元法换元法) )：设设 因为只有因为只有x0x0，t t才有意义，所以才有意义，所以t1t1，此时此时 所以所以x x(t(t1)1)2 2，于是于是f(t)f(t)(t(t1)1)2 22(t2(t1)1)t t2 21(t1)1(t1)将将t t用用x x代换，有代换，有f(x)f(x)x x2 21(x1)1(x1)解方程组法：因为对任意解方程组法：因为对任意xRxR且且x0x0都有都有成立，所以对于成立，所以对于 R R且且 0 0，有有两式组成方程组两式组成方程组2 2得：得：【方法技巧方法技巧】求函数解析式的四种常用方法求函数解析式的四种常用方法(1)(1)直接法直接法( (代入法代入法) )：知道：知道f(x)f(x)的解析式，求的解析式，求f(g(x)f(g(x)的解析式，的解析式，直接将直接将g(x)g(x)代入即可代入即可. .(2)(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程( (或方程组或方程组) )，通过解方程，通过解方程( (组组) )求出待定系数，进而求出函数解析式求出待定系数，进而求出函数解析式. .(3)(3)换元法换元法( (有时可用有时可用“配凑法配凑法”) )：已知函数：已知函数f(g(x)f(g(x)的解析式的解析式求求f(x)f(x)的解析式可用换元法的解析式可用换元法( (或或“配凑法配凑法”),),即令即令g(x)=tg(x)=t，反，反解出解出x x，然后代入，然后代入f(g(x)f(g(x)中求出中求出f(t),f(t),从而求出从而求出f(x).f(x).(4)(4)解方程组法或消元法：在已知式子中，含有关于两个不同解方程组法或消元法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫作解方程组法或消元法析式，这种方法叫作解方程组法或消元法. .【变式训练变式训练】(1)(1)已知函数已知函数 则则f(x)=_.f(x)=_.(2)(2)已知已知f(x)f(x)是一次函数，且是一次函数，且2f(1)+3f(2)=3,2f(-1)-f(0)=-1,2f(1)+3f(2)=3,2f(-1)-f(0)=-1,求求f(x)f(x)的解析式的解析式. .(3)(3)若函数若函数f(x)f(x)满足满足3f(-x)+2f(x)=4x-5,3f(-x)+2f(x)=4x-5,求求f(x).f(x).【解析解析】(1)(1)令令 则则x=(t+1)x=(t+1)2 2,t-1,t-1,则则f(t)=4(t+1)f(t)=4(t+1)2 2=4t=4t2 2+8t+4,+8t+4,即即f(x)=4xf(x)=4x2 2+8x+4(x-1).+8x+4(x-1).答案：答案：4x4x2 2+8x+4(x-1)+8x+4(x-1)(2)(2)设设f(x)=ax+b(a0),f(x)=ax+b(a0),由由2f(1)+3f(2)=3,2f(1)+3f(2)=3,2f(-1)-f(0)=-1,2f(-1)-f(0)=-1,得得 解得解得故故(3)(3)因为因为3f(-x)+2f(x)=4x-5,3f(-x)+2f(x)=4x-5,所以所以3f(x)+2f(-x)=-4x-53f(x)+2f(-x)=-4x-5，组成方程组组成方程组3-3-2,2,得：得：f(x)=-4x-1.f(x)=-4x-1.【误区警示误区警示】本题本题(1)(1)易出现不标注定义域的错误，在换元求易出现不标注定义域的错误，在换元求值域的过程中要注意确定新元的范围值域的过程中要注意确定新元的范围. .【补偿训练补偿训练】设设f(x)f(x)是是R R上的函数上的函数, ,且且满满足足f(0)=1,f(0)=1,并且并且对对任意任意实实数数x,y,x,y,有有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求求f(x)f(x)的解析式的解析式. .【解题指南解题指南】本题主要考查特值法的应用本题主要考查特值法的应用, ,即即x x与与y y取特殊情况取特殊情况的值的值, ,然后求出然后求出f(x)f(x)的解析式的解析式. .【解析解析】方法一：设方法一：设x=y,x=y,由由f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),得得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).f(0)=f(x)-x(2x-x+1).因为因为f(0)=1,f(0)=1,所以所以f(x)-x(2x-x+1)=1,f(x)-x(2x-x+1)=1,即即f(x)=xf(x)=x2 2+x+1.+x+1.方法二方法二：令：令x=0,x=0,得得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即即f(-y)=1-y(-y+1).f(-y)=1-y(-y+1).又令又令-y=x,-y=x,代入上式代入上式, ,得得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),所以所以f(x)=xf(x)=x2 2+x+1.+x+1.类类型二型二 函数的函数的图图像及其画法像及其画法【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014延安高一延安高一检测检测) )某学生离家去学校某学生离家去学校, ,由于怕由于怕迟迟到到, ,所所以一开始就跑步以一开始就跑步, ,等跑累了再走余下的路程等跑累了再走余下的路程, ,在下在下图图中中纵轴纵轴表示表示离学校的距离离学校的距离, ,横横轴轴表示出表示出发发后的后的时间时间, ,则则下下图图中中较较符合此学生符合此学生走法的是走法的是( () )(2)(2)画出下列函数的图像画出下列函数的图像. .y=1y=1x(xZ);x(xZ);y=2xy=2x2 24x4x3(0x3);3(0x1).y= (x1).【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中一开始跑步与跑累了后再走余下的路中一开始跑步与跑累了后再走余下的路程程, ,哪一段对应的图像较陡峭哪一段对应的图像较陡峭? ?2.2.题题(2)(2)中的各个函数属于基本初等函数的哪一个中的各个函数属于基本初等函数的哪一个? ?画图像时各画图像时各需要几个点需要几个点? ?【探究提示探究提示】1.1.第一段跑步时对应的图像较陡峭第一段跑步时对应的图像较陡峭. .2.2.中的函数是一次函数中的函数是一次函数, ,但因定义域但因定义域xZ,xZ,故是一群孤立的点故是一群孤立的点. .一般需要画出一般需要画出4 45 5个点个点;中的函数是二次函数的一段中的函数是二次函数的一段, ,一般需一般需要确定顶点坐标及与要确定顶点坐标及与x x轴轴(y(y轴轴) )的交点坐标或个别特殊点的交点坐标或个别特殊点;中中的函数为反比例函数的一段的函数为反比例函数的一段, ,一般需要确定一般需要确定2 23 3个点个点. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选D.D.由于纵轴表示离学校的距离由于纵轴表示离学校的距离, ,所以距离应所以距离应该越来越小该越来越小, ,排除排除A,C,A,C,又一开始跑步又一开始跑步, ,速度快速度快, ,所以所以D D符合符合. .(2)(2)因为因为xZ,xZ,从而从而yZ,yZ,所以函数所以函数y=1-x(xZ)y=1-x(xZ)的图像是由一的图像是由一些点组成些点组成, ,这些点都在直线这些点都在直线y=1-xy=1-x上上, ,图像如图图像如图(1)(1)所示所示. .因为因为0x3,0x3,所以这个函数的图像是抛物线所以这个函数的图像是抛物线y=2xy=2x2 2-4x-3-4x-3介于介于0x30x1,x1,所以函数图像是反比例图像的一部分所以函数图像是反比例图像的一部分, ,函数的图像函数的图像如图如图(3)(3)所示所示. .【延伸探究延伸探究】若将本例若将本例(2)(2)中的函数定义域改为中的函数定义域改为0,+)0,+)，中的函数定义域改为中的函数定义域改为( (, ,1)(0,1)1)(0,1)，试分别作出其函，试分别作出其函数图像数图像. .【解析解析】作出作出y y2x2x2 24x4x3,x3,x0,+0,+)的图像如图所示：的图像如图所示： 作出作出 x(x(, ,1)(0,1)1)(0,1)的图像如图所示：的图像如图所示：【方法技巧方法技巧】1.1.描点法作函数图像的基本步骤描点法作函数图像的基本步骤求函数定义域求函数定义域化简解析式化简解析式在定义域内选择关键点列表在定义域内选择关键点列表在在坐标系中描出这些关键点坐标系中描出这些关键点用光滑曲线连接这些关键点用光滑曲线连接这些关键点得函得函数图像数图像. .2.2.作图像时要注意的一些关键点作图像时要注意的一些关键点与坐标轴的交点与坐标轴的交点; ;图像上的最高点、最低点图像上的最高点、最低点; ;还要分清这些关键还要分清这些关键点是实心点还是空心点点是实心点还是空心点. .3.3.分段函数图像的画法分段函数图像的画法画分段函数画分段函数 的图像的步骤是：的图像的步骤是：(1)(1)画函数画函数y=fy=f1 1(x)(x)的图像，再取其在集合的图像，再取其在集合a,ba,b上的图像，其他上的图像，其他部分删去不要部分删去不要. .(2)(2)画函数画函数y=fy=f2 2(x)(x)的图像，再取其在集合的图像，再取其在集合(b,c(b,c上的图像，其他上的图像，其他部分删去不要部分删去不要. .(3)(3)依次画下去依次画下去. .(4)(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像. .【变式训练变式训练】画出下列函数的图像：画出下列函数的图像：(1)y(1)y2x2x1 1，xx0,20,2. .(2)y(2)yx x2 22x(2x(1x1x2).2).(3)y(3)y xx2 2，) )【解析解析】(1)(1)当当x=0x=0时时,y=1;,y=1;当当x=2x=2时时,y=5.,y=5.所画图像如图所画图像如图1 1所示所示. .(2)y=x(2)y=x2 2-2x=(x-1)-2x=(x-1)2 2-1,-1,当当x=-1x=-1时时,y=3.,y=3.当当x=0x=0时时,y=0.,y=0.当当x=1x=1时时,y=-1.,y=-1.当当x=2x=2时时,y=0.,y=0.所画图像如图所画图像如图2 2所示所示. .(3)(3)当当x=2x=2时时,y=1,y=1,其图像如图其图像如图3 3所示所示. .【补偿训练补偿训练】某人从甲村去乙村某人从甲村去乙村, ,一开始沿公路乘一开始沿公路乘车车, ,后来沿小后来沿小路步行路步行, ,如如图图中横中横轴轴表示走的表示走的时间时间, ,纵轴纵轴表示某人与乙村的距离表示某人与乙村的距离, ,则较则较符合符合该该人走法的人走法的图图像是像是( () )【解析解析】选选D.D.开始乘车开始乘车, ,速度较快速度较快, ,后来步行后来步行, ,速度较慢速度较慢, ,符合的符合的只有选项只有选项C,D,C,D,而又由开始离乙村最远而又由开始离乙村最远, ,以后越来越近以后越来越近, ,最后到达最后到达乙村乙村, ,符合的只有符合的只有D,D,故选故选D.D.类类型三型三 分段函数及其分段函数及其应应用用【典例典例3 3】(1)(2014(1)(2014南昌高一检测南昌高一检测) )已知已知 则则 的值是的值是( )( )(2)(2)某市某市对对市内市内电话电话收收费费方法作了方法作了调调整整. .调调整前的收整前的收费费方法：以方法：以3 3分分钟为计时单钟为计时单位位( (不足不足3 3分分钟钟按按3 3分分钟计钟计),),每个每个计时单计时单位收位收0.20.2元元; ;调调整后的收整后的收费费方法：方法：3 3分分钟钟内内( (含含3 3分分钟钟) )收收0.20.2元元, ,以后每加以后每加1 1分分钟钟加收加收0.10.1元元. .根据根据调调整后的收整后的收费办费办法法, ,求求电话费电话费y(y(元元) )与通与通话时间话时间t(t(分分钟钟) )之之间间的函数关系式的函数关系式(t3(t3时时, ,设设t(t(分分钟钟) )表示正整数表示正整数) )为为. .(3)(3)已知函数已知函数 ( (2x2).2x2).用分段函数的形式表示该函数；用分段函数的形式表示该函数；画出该函数的图像；画出该函数的图像；写出该函数的值域写出该函数的值域【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中求中求 的步骤是什么的步骤是什么? ?2.2.题题(2)(2)中自变量的分段点是什么中自变量的分段点是什么? ?3.3.题题(3)(3)中含有绝对值的函数首先应作如何处理中含有绝对值的函数首先应作如何处理? ?【探究提示探究提示】1.1.根据自变量所在的范围利用相应的解析式先求根据自变量所在的范围利用相应的解析式先求 再求再求2.2.自变量的分段点是自变量的分段点是t=3.t=3.3.3.首先应根据绝对值的意义脱去绝对值符号，将函数转化为分首先应根据绝对值的意义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像段函数，然后分段作出函数图像【自主解答自主解答】(1)(1)选选A.A.因为因为所以所以(2)(2)根据题意，根据题意，3 3分钟内分钟内( (含含3 3分钟分钟) )收收0.20.2元，以后每加元，以后每加1 1分钟加分钟加收收0.10.1元，所以元，所以当当0t303t3时，时，y y0.20.20.1(t0.1(t3)3)故故答案：答案：(3)(3)当当0x20x2时，时，当当2x02x0时，时，所以所以函数函数f(x)f(x)的图像如图所示的图像如图所示. .由由知，知，f(x)f(x)在在( (2,22,2上的值域为上的值域为1,3)1,3)【方法技巧方法技巧】求解分段函数问题的注意事项求解分段函数问题的注意事项(1)(1)对于分段函数来说对于分段函数来说, ,给定自变量求函数值时给定自变量求函数值时, ,应根据自变量应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值所在的范围利用相应的解析式直接求值; ;若给定函数值求自变若给定函数值求自变量量, ,应根据函数每一段的解析式分别求解应根据函数每一段的解析式分别求解, ,但应注意要检验该值但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内是否在相应自变量的取值范围内. .(2)(2)由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样, ,因此画因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分. .(3)(3)对含有绝对值的函数对含有绝对值的函数, ,要作出其图像要作出其图像, ,首先应根据绝对值的首先应根据绝对值的意义脱去绝对值符号意义脱去绝对值符号, ,将函数转化为分段函数将函数转化为分段函数, ,然后分段作出函然后分段作出函数图像数图像. .【变变式式训练训练】从甲同学家到乙同学家的从甲同学家到乙同学家的途中有一个公园途中有一个公园, ,甲、乙两家到甲、乙两家到该该公园公园的距离都是的距离都是2km,2km,甲甲1010点点钟钟出出发发前往乙家前往乙家, ,如如图图表示甲从自家出表示甲从自家出发发到乙家到乙家为为止止经过经过的路程的路程y(km)y(km)与与时间时间x(min)x(min)的关系的关系. .依依图图像回答下列像回答下列问题问题：(1)(1)甲在公园休息了甲在公园休息了吗吗? ?若休息了若休息了, ,休息了多休息了多长时间长时间? ?(2)(2)甲到达乙家是几点甲到达乙家是几点钟钟? ?(3)(3)写出函数写出函数y=f(x)y=f(x)的解析式的解析式. .(4)(4)计计算当算当x=50x=50时时, ,甲所走的路程甲所走的路程. .【解析解析】(1)(1)由图可知，甲在公园休息了，休息了由图可知，甲在公园休息了，休息了10 min10 min(2)(2)甲到达乙家是甲到达乙家是1111点钟点钟(3)(3)函数函数y yf(x)f(x)是分段函数是分段函数当当0x300x30时，设时，设y yk k1 1x x，将，将(30,2)(30,2)代入，得代入，得k k1 1当当30x4030x40时，时，y y2.2.当当40x6040x60时，设时，设y yk k2 2x xb.b.将将(60,4)(60,4)，(40,2)(40,2)分别代入，得分别代入，得k k2 2 b b2.2.所以所以f(x)f(x)(4)(4)当当x x5050时，甲所走的路程为时，甲所走的路程为f(50)f(50) 2 25 52 23(km)3(km)【误区警示误区警示】对于对于x x的分段点，根据实际意义，可归属于任一的分段点，根据实际意义，可归属于任一侧区域，如本题分段区域还可写成侧区域，如本题分段区域还可写成0x300x30，30x4030x-1(a=1-1(舍去舍去) )，当当-1a2-1a2时，时，2a=3,2a=3,所以所以a= (-1,2),a= (-1,2),当当a2a2时，时， a a2 2=3,=3,所以所以a= 2,a= 2,综上知综上知, ,当当f(a)=3f(a)=3时，时，a= a= 或或a= .a= .(3)f(x)(3)f(x)的定义域为的定义域为(-,-1(-,-1(-1,2)(-1,2)2,+)=R.2,+)=R.当当x-1x-1时时,f(x)(-,1,f(x)(-,1; ;当当-1x2-1x2时时,f(x)(-2,4);,f(x)(-2,4);当当x2x2时，时，f(x)f(x)2,+).2,+).所以所以(-(-,1,1(-2,4)(-2,4)2,+2,+)=R,f(x)=R,f(x)的值域为的值域为R.R. 【易错误区易错误区】因忽视分段函数自变量的范围而致误因忽视分段函数自变量的范围而致误 【典例典例】已知函数已知函数 若若f(x)=3f(x)=3，则，则x x的值为的值为_._.【解析解析】因为函数因为函数 且且f(x)=3f(x)=3，所以当所以当x0x0时，时，由由x x2 21 13 3，得得x x2 2或或x x2 2( (舍去舍去) )；当当x0x0时，时，由由2x2x1 13 3，得得x x1 1( (舍去舍去) )；综上可知综上可知x x2.2.答案：答案：2 2【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析2,-22,-2或或1 1 忽视对阴影处不符合题意解的舍弃而致误忽视对阴影处不符合题意解的舍弃而致误【防范措施防范措施】正确理解分段函数的意义正确理解分段函数的意义分段函数虽然分成几个部分分段函数虽然分成几个部分, ,但应看成一个整体才有意义但应看成一个整体才有意义, ,它的它的定义域应是各部分定义域应是各部分x x范围的并集范围的并集. .给定函数值求自变量给定函数值求自变量, ,应根据应根据函数每一段的解析式分别求解函数每一段的解析式分别求解, ,但应注意要检验该值是否在相但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内应自变量的取值范围内, ,如本例中求得如本例中求得x=-2x=-2时时, ,因此段是因此段是x0,x0,故此解应舍去故此解应舍去. .【类题试解类题试解】已知函数已知函数 若若f(a)+f(1)=0,f(a)+f(1)=0,则实则实数数a a的值为的值为_._.【解析解析】当当a a0 0时，由时，由f(a)+f(1)=0f(a)+f(1)=0得得,2a+2=0,2a+2=0，解得，解得a=-1,a=-1,舍舍去；当去；当a0a0时，由时，由f(a)+f(1)=0f(a)+f(1)=0得得,a+1+2=0,a+1+2=0，解得，解得a=-3.a=-3.综上可综上可知知a=-3.a=-3.答案：答案：-3-3