5.3任意角的三角函数任意角的三角函数 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ 复习回顾复习回顾OabMPcOabMP yx 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课引入新课引入 yx 1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？o如果改变点在终边上的位置，这如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变三个比值会改变吗？吗？ MOyxP(a,b)诱思探究诱思探究能否通过能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？取特殊值将表达式简化呢？以原点为圆心以原点为圆心, ,以单位以单位长度为半径的圆叫做长度为半径的圆叫做单位圆单位圆. .2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，记作 ，即 ； （2） 叫做 的余弦余弦，记作 ，即 ； （3） 叫做 的正切正切，记作 ，即 。 所以，正弦，余弦，正切都是所以，正弦，余弦，正切都是以以角为自变量角为自变量，以以单位圆单位圆上点的上点的坐坐标或坐标的比值标或坐标的比值为函数值的函数为函数值的函数，我们将他们统称为我们将他们统称为三角函数三角函数.的终边思考：终边相同的角的三思考：终边相同的角的三角函数值一定相等吗？角函数值一定相等吗？例例1：如图已知角：如图已知角的终边与单位圆的交点是的终边与单位圆的交点是 求角求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。解：根据任意角的三角函数定义：Oxy点评：若已知角点评：若已知角的终边与单位圆的交点坐标，的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。则可直接利用定义求三角函数值。实例剖析实例剖析例例2 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作解：在直角坐标系中，作 ，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 所以所以 点评：若已知角点评：若已知角的大小求三角函数值时，可先求出角的大小求三角函数值时，可先求出角终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。 yxo思考：思考：若点若点P P（x x，y y）为角）为角终边上任意一终边上任意一点，那么点，那么sinsin，coscos，tantan对应的函数对应的函数值分别等于什么？值分别等于什么？例例3:已知角已知角a终边上一点的坐标为终边上一点的坐标为P(-4,-3)，求角求角a的各个三角函数值。的各个三角函数值。解：因为解：因为x=-4，y=-3, （ ）（ ）（ ）（ ） （ ）（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）探究：探究：三角函数定义域1.三角函数的定义域三角函数的定义域2.三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号本节课主要学习了那些内容本节课主要学习了那些内容?任意角三角函数的概念任意角三角函数的概念.归纳总结归纳总结三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.当堂检测：当堂检测：课后作业课后作业课本第15页,练习第1题和第20页习题1.2 A组 第2题 例例4 求证：当下列不等式组成立时，求证：当下列不等式组成立时， 角角 为第三象限角为第三象限角.反之也对。反之也对。 证明：证明： 因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上； 又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.终边相同的角的同一三角函数的值是否相等？终边相同的角的同一三角函数的值是否相等？sin( )=sin , 课内练习课内练习cos( )=cos ,tan( )=tan ,利用公式一利用公式一,可以把求任意角的三角函数值可以把求任意角的三角函数值, 转化为求转化为求0到到2 (或或00-3600)角的三角函数值角的三角函数值.(其中其中k )例例5.确定下列各三角函数值的符号：确定下列各三角函数值的符号： cos250; sin(-/4); sin(-672); cos3;练习练习2. 已知已知sin0且且cos0,确定确定角的象角的象限限. 课内练习课内练习 设角设角 是一个任意角，是一个任意角， 是终边上的任意一点，是终边上的任意一点，点点 与原点的距离与原点的距离那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即 叫做叫做 的正切，即的正切，即 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的终在角的终边上的位置无关边上的位置无关.定义推广：定义推广：思考：若点思考：若点P P（x x，y y）为角）为角终边上任意一终边上任意一点，那么点，那么sinsin，coscos，tantan对应的函数对应的函数值分别等于什么？值分别等于什么？于是于是，练习练习1. 已知角已知角 的终边过点的终边过点 ， 求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.解：由已知可得：解：由已知可得：