第十单元第十单元 立体几何立体几何知识体系知识体系第八节第八节 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(*)(*)基础梳理基础梳理1. 直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线 的方向向量为 直线 的方向向量为 如果 ,那么 =k ;如果 ,那么 .(2)直线l的方向向量为 ,平面的法向量为 若l,则un un=0 ;若l,则un u=kn .(3)平面的法向量为 ,平面的法向量为 若,则 ;若,则 .2. 利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线aa,bb,则a与b所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.范围:两条异面直线所成角的取值范围是 .向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,直线a、b的夹角为,则有cos= .(2)直线与平面所成的角定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.范围:直线和平面所成角的取值范围是 .向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有sin= .二面角二面角的面平面角0,)(3)二面角定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ,这条直线叫做二面角的 ,这两个半平面叫做 .在二面角的棱上任取一点O,以O为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的 .二面角的取值范围是 .二面角的向量求法:()若AB、CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 与 的夹角(如图).棱()设 , 分别是二面角-l-的两个面、的法向量,则向量 与 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图、).典例分析典例分析题型一题型一 利用空间向量证明平行、垂直问题利用空间向量证明平行、垂直问题【例1】如图,已知直三棱柱 中,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且AB= ,D、E、F分别为 、 、BC的中点.求证:(1)DE平面ABC; (2) 平面AEF.分析 由题可知，题中具备两两垂直的三条直线，可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解决；也可以用几何方法，利用线面垂直、线面平行的判定定理来解决.证明 如图建立空间直角坐标系,令AB= =4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0), (4,0,4).(1)取AB中点N,连接NC,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2). =(-2,4,0), =(-2,4,0), ,DENC.又NC在平面ABC内,DE平面ABC.学后反思 (1)证明线面平行需证明线线平行,只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行,可用传统法，也可用向量法,用向量法更为普遍.(2)证明线面垂直的方法:可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明,也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明.(3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直,也可用两平面的法向量垂直来证明.(2)易知 =(-2,2,-4), =(2,-2,-2), =(2,2,0),则 =(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0, , EF. =(-2)2+22+(-4)0=0, ,即 AF.又AFFE=F, 平面AEF.举一反三举一反三1. 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD平面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于F.求证：(1)PA平面BDE;(2)PB平面DEF.证明： (1)如图建立空间直角坐标系,设DC=a,ACBD=G,连接EG,则A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0),E ,G .于是 =(a,0,-a), , ,PAEG.又EG 平面DEB,PA 平面DEB,PA平面DEB.(2)由P(0,0,a),B(a,a,0),得 =(a,a,-a).又 , ,PBDE.又EFPB,EFDE=E,PB平面EFD.题型二题型二 两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角【例2】长方体 中,AB=4,AD=6, =4,M是 的中点,P在线段BC上,且CP=2,Q是 的中点,求异面直线AM与PQ所成的角的余弦值.分析 本题以长方体为载体,易建立空间直角坐标系来解决.欲求异面直线所成的角，一般可以从公式cosab= 入手，先求得所需向量，代入即可.注意求角的过程中，异面直线所成角的范围(0, .学后反思 求异面直线所成角的主要方法:(1)定义法(平移法);(2)向量法:建立坐标系求相关向量的坐标,通过向量坐标运算求角;有时也可用题目中给出的向量表示相关向量,然后计算角;(3)有些问题是垂直问题,可利用三垂线定理来确定.利用向量求角的关键是区分异面直线所成角的概念和向量夹角概念的差别.解 如图,建立空间直角坐标系B-xyz,则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2). =(-2,3,4), =(4,2,2), =(-2)4+32+42=6, 故异面直线AM与PQ所成的角的余弦值为 举一反三举一反三2. 如图所示, 是直三棱柱,BCA=90,点 、 分别是 和 的中点,若BC=CA= ,求 与 所成角的余弦值.解析: 方法一:如图所示,连接 ,取BC中点M,连接 ,MA,则 BM.又 四边形 是平行四边形, , 是异面直线 和 所成的角.设BC=CA= =1,则 , 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA= =2,A(2,0,0),B(0,2,0), (0,0,2), (2,0,2), (0,2,2). 、 分别为 、 的中点, (1,1,2), (1,0,2). =(1,-1,2), =(-1,0,2), =(1,-1,2)(-1,0,2)=3, , , 题型三题型三 直线与平面所成的角直线与平面所成的角【例3】如图,在三棱锥PABC中,ABBC,AB=BC= PA.点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC.(1)求证:OD平面PAB;(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值.分析 （1）根据线面平行的判定定理.（2）几何求法：找出或作出相应于平面PBC的垂线、斜线和射影，作出线面角求解；向量法：建立空间直角坐标系，利用向量去解.解 方法一:(1)证明:O、D分别为AC、PC的中点,ODPA.又PA 平面PAB且OD PAB,OD平面PAB.(2)ABBC,OA=OC,OA=OB=OC.又OP平面ABC,PA=PB=PC.取BC中点E,连接PE,则BC平面POE,平面PB平面PDE，作OFPE于F,连接DF,则OF平面PBC,ODF是OD与平面PBC所成的角.在RtODF中,sinODF=OFOD= ,OD与平面PBC所成角的正弦值为 方法二:OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图),设AB=a,则A( a,0,0),B(0, a,0),C( a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).(1)证明:D为PC的中点,OD=( a,0, h).又 =( a,0,-h), ,ODPA,OD平面PAB.(2)设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),易得取x=-1时,n=(-1,1, ), 设OD与平面PBC所成的角为, OD与平面PBC所成角的正弦值为 学后反思 几何法是把空间角转化成平面角去解，求线面角要按照一作、二证、三计算的步骤进行.在用向量法求直线OP与平面所成的角时一般有两种途径：是直接求 ，其中OP为斜线OP在内的射影；是通过求n, 进而转化求解，其中n为平面的法向量，此时应注意OP与平面所成角与n, 的关系，它们互为余角.注意最后完成转化.举一反三举一反三3. 在正方体 中,E、F分别为 与AB的中点,求 与截面 所成的角的正弦值.解析： 建立以D为原点,DA,DC, 分别为x,y,z轴的坐标系,设棱长为1.设平面 的法向量n=(x,y,z),则n =0,n =0. =(-1, ,0), =(0, ,1), 令y=2, n=(1,2,1).又 =(0,1,0), 与平面 所成的角的正弦值为 .题型四题型四 二面角二面角【例4】(14分)(2009高邮模拟)如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面角ABEC的余弦值.分析 建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用EB与AC的夹角解决（1），计算平面ABE及平面BEC的法向量，求法向量的夹角来解决(2).解 （1）以O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).2 =(2,-1,0), =(0,2,-1),.4 由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是 .6（2） =（2，0，-1）， =(0,1,-1),10设平面ABE的法向量为 =(x,y,z),则由 ， ，得 2x-z=0 y-z=0.取 =(1,2,2),平面BEC的一个法向量为 =(0,0,1),12 由于二面角A-BE-C的平面角是 与 的夹角的补角，其余弦值是 14学后反思 (1)利用向量法解答有关空间角的问题，其关键在于相关点的坐标表示，在计算过程中应力求准确.由于向量所成角与线线角间存在区别与联系，因此在计算完成后注意验证其结果的严密性和准确性，防止增解或误解.(2)确定二面角的平面角的常用方法:定义法:在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.向量法:求出两个平面的法向量的夹角,然后结合图形,求二面角的平面角.举一反三举一反三4. 如右图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.解析： 如图建立空间直角坐标系,则依题意可知,D( ,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),可知AD=( ,0,0)= 是面SAB的法向量.设平面SCD的法向量 =(x,y,z), , 可推出 , .令x=2,则有y=-1,z=1. =(2,-1,1).设所求二面角的大小为,则 sin= ,tan= .易错警示易错警示【例】在正方体 中，E是棱 的中点，求截面 与半平面ACD所成二面角的余弦值.错解 如图，建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1,则 (1,1,1),C(0,1,0),E(1,0, ). =(-1,0,-1), =(1,-1, ),设n=(x,y,z)是平面 的法向量，则 令z=1得 .易知m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，|m|=1,|n|= , 所求二面角的余弦值为 .错解分析 通过建立空间直角坐标系，把二面角的平面角转化为法向量的夹角时，要注意平面的法向量有两种指向，必须结合图形确定法向量的夹角与所求二面角的平面角是相等的，还是互补的.本例中，如求截面EB1C与半平面ACB所成的二面角的大小就正确了. 正解 在得到cosm,n= 后，应指出由于所求的二面角是钝角，因此其余弦值为 .考点演练考点演练10. (2010吉林实验中学模拟)将A=60的菱形ABCD，沿对角线BD折起，使A、C的距离等于BD，求二面角A-BD-C的余弦值.解析： 设菱形对角线交于点E，易知AEC即为所求的二面角的平面角.设AB=a，由条件可得AE=EC= ,AC=a,根据余弦定理即可解得二面角A-BD-C的余弦值为 .11. (2009上海)如图，在直三棱柱 中， =BC=AB=2,ABBC,求二面角 的大小.解析： 如图，建立空间直角坐标系.则A（2，0，0），C（0，2，0）， （2，0，2）， （0，0，2）， （0，2，2）,设AC的中点为M，BMAC,BM ，BM平面 ，即 =(1,1,0)是平面 的一个法向量.设平面 的一个法向量为n=(x,y,z). =(-2,2,-2), =(-2,0,0),n =-2x=0,n =-2x+2y-2z=0,令z=1，解得x=0,y=1,n=(0,1,1).设法向量n与BM的夹角为，二面角 的大小为，显然为锐角.cos =|cos |= ,解得= ，二面角 的大小为 .12. 如图,棱长为1的正方体 ，点E、F、G分别是 、BD、 的中点.(1)求证:EFCF;(2)求EF与CG所成角的余弦;(3)求CE的长.解析: 以D为原点，建立如图所示的直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),E(0,0, )，C（0,1,0), ,G(1,1, ), , , , .(1) ， ,即EFCF.(2) (3)第一节第一节 导数的概念及运算导数的概念及运算基础梳理基础梳理数量化视觉化1. 函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为 ,(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”. 2. 函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义， 若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 . (2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 . 处的 .相应地，切线方程为 .3. 函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作 .切线的斜率变化变化f(x).原函数导函数f(x)=kx+b(k,b为常数)f(x)= . f(x)=Cf(x)= .f(x)=xf(x)= .f(x)=x2f(x)= .f(x)=x3f(x)= . .f(x)= .f(x)=xa (a为常数)f(x)=ax(a0且a1)4. 基本初等函数的导数公式f(x)= .f(x)= .k012xf(x)=logax(a0且a1) .f(x)= f(x)= .f(x)=ln x .f(x)=sin xf(x)= .f(x)=cos xf(x)= .cos xsinx5. 导数运算法则(1)f(x)g(x)= ; (2)Cf(x)= (C为常数);(3)f(x)g(x)= ;f(x)g(x)Cf(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)典例分析典例分析题型一题型一 利用导数的定义求导数利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析 利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解当x无限趋近于0时， 趋近于2,y|x=1=2.学后反思 利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).举一反三举一反三1. 已知 ，利用定义求y,y|x=1.题型二题型二 利用求导公式求导数利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.解析 分析 直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.学后反思 准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.解 (1)y=( )sin x+ (sin x)=2xsin x+x2cos x. (2) 举一反三举一反三2. 求函数 的导数.题型三题型三 导数的物理意义及在物理上的应用导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.解析分析 第（1）问可利用公式 求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.解 (1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度v=方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.学后反思 导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题 举一反三举一反三3. 以初速度 作竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.解析：物体在 时刻的瞬时速度为 .题型四题型四 导数的几何意义及在几何上的应用导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.分析 (1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.解 （1)y=x2,2在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4(2)设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点 ,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6切线方程为即点P（2，4）在切线上，即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0,x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14学后反思 （1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.举一反三举一反三4. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.解析： 设曲线上过点 的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2，则.解得 ,即点P(1,0),点P到直线2x-y+3=0的距离为 ,曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .题型五题型五 复合函数的导数复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.分析 先确定中间变量转化为常见函数，再根据复合函数的求导法则求导.也可直接用复合函数求导法则运算.解学后反思 求复合函数的导数，关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是谁对谁求导，其一般步骤是:(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；（2）分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）.即：分解（复合关系）求导（导数相乘） 举一反三举一反三5.求下列函数的导数。解析：易错警示易错警示【例例】已知曲线 上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解 在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析 本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.正解 如右图，按切线的定义，当x0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.考点演练考点演练10. 已知函数 的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.解析： f(x)过点（2,0）, ,解得a=-8,同理，g(2)=4b+c=0.f(x)=6x2-8,在点P处切线斜率 .又g(x)=2bx,2b2=16,b=4,c=-4b=-16.综上，a=-8,b=4,c=-16.11. 设函数f(x)满足 ，a,b,c为常数，|a|b|，求f(x) 解析: 将 中的x换成 ，可得将其代入已知条件中得 ,12. (2008宁夏)设函数 (a,bZ),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.解析: (1)f(x)= .于是 ,解得(2)证明:已知函数 都是奇函数，函数 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由 可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.（3）证明：在曲线上任取一点 ,由 知，过此点的切线方程为.令x=1,得 ,切线与直线x=1的交点为 .令y=x,得 ,切线与直线y=x的交点为 .直线x=1与y=x交点为(1,1).从而所围三角形面积为所以所围三角形的面积为定值2.