概概 率率 论论 与与 数数 理理 统统 计计第一章 事件与概率 本章是概率论部分的基本概念和基本知识，是学习以后各章所必不可少的一、教学目的与要求一、教学目的与要求二、教学重点与难点二、教学重点与难点一、教学目的与要求理解事件的概念，熟练掌握事件的运算法则，事件间的各种关系. 掌握概率的几种定义，熟悉并会用概率性质进行概率的有关计算. 掌握条件概率的定义，并能应用有关条件概率的公式（乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式）计算概率. 掌握几种概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）概率的计算. 理解事件独立性的概念，并会用独立性的性质进行概率的计算 .二、教学重点与难点重点: 各种类型概率的计算 难点: 有关事件概率的计算 1.1 随机事件和样本空间一、随机事件和样本空间的概念一、随机事件和样本空间的概念1、基本事件和样本空间定义：定义：一个试验如果满足下述条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （可重复性） （2）试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个； （明确可知性）（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， （不确定性）但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，就称这样的试验是一个随机试验随机试验，为方便起见，也简称为试验试验定义：定义：随机试验的每一个可能的结果, 称为基本事件（基本事件（样样 本点）本点）一般用 表示因为随机试验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的则基本事件的全体所组成的集合，称为样本样本空间空间常用 来表示,即 注：注：（1）定义中的每个可能的结果是指每个不能再分或不必再细分的可能结果. （2）对于一个具体的随机试验，我们可以根据试验的条件和观察的目的来确定样本空间 例1例4 （见课本P3）例1.1 , 例1.2, 例1.3, 例1.4 例5 抛掷一枚均匀的硬币，观察它可能出现的结果 =出现正面， =出现反面，则样本空间为 正，反例6 若掷两枚硬币，或一枚硬币掷两次 =（正，正），=（正，反），=（反，正），=（反，反） 则样本空间为(正，正),(正，反),(反，正),(反,反) 若关心两枚硬币中正面出现的次数，则=“出现i次正面” 其样本空间 从这个例子我们可以看到对同一个随机试验，当目的和要求不同时，则样本空间所含的样本点是不一样的样本空间为样本空间为例7 5件同类产品中有3件正品，记为2件次品，记为今从中任取2件，则这一试验的样本空间为： 共有10个样本点 现在改变它的试验条件：从中依次不放回地任取2件，即每次取1件，取后不放回，一共取两次，这时，样本点不仅与取出的产品有关，而且与抽取产品的先后次序有关如是不同的样本点，不难看出，这一试验共有20个样本点 与例8 向某一目标射击一发子弹，观察弹着点的位置，其结果可以用某一平面区域内的点（x，y）来表示，其样本空间为 从上面的一些例子可以看出，样本空间可以是有限的，也可以是无限的；可以是一维点集，也可以是二维点集而且一个随机试验往往与一个样本空间相联系；反过来一个样本空间又是许多同类试验模的抽象化 例如：只包含两个样本点的样本空间, 既可以用来描述掷硬币出现正面和反面的试验，又可以描述产品抽样检验中出现正品和次品的试验，还可以描述射击中是中还是不中的试验等等尽管问题的实际内容不同，但却能归结为相同的概率模型 2随机事件 在随机试验中，有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生，如在例2中，A=球的标号=5，B=球的标号是偶数，C=球的标号5其中A是基本事件，而B和C是由多个基本事件所组成的，相对于基本事件，称为复杂事件无论是基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机事件或简称为事件，习惯上用A、B、C，来表示 2196807543定义定义 一般地，我们称样本空间的某个子集为随机事件，简称为事件. 说某事件A发生当且仅当它所包含的某一个基本事件 出现，可用 来表示. 基本事件与随机事件是两个不同的概念，基本事件是一个随机事件，而随机事件不一定是基本事件，如例2. 从上述事件的构成来看，在一次试验中，一个事件“发生”, 当且仅当它所含的一个基本事件发生；一个事件“不发生”，当且仅当它所含的所有基本事件都不发生. 一个事件是否称为基本事件是相对于试验的目的来说的例如：一射手击靶，如果考察命中的环数，那么“命中0环”，“命中1环”，“命中10环” 都是基本事件，共有11个；如果考察的是命中还是不命中，那么只有两个基本事件，即“命中”，“不命中”定义定义 必然事件必然事件 , , 用符号 来表示 不可能事件不可能事件, , 用符号 来表示 例9抛掷一枚硬币落下后它的正面朝上，这是一个随机事件,记作A=“正面朝上”；落下后它的正面朝下，这是一个随机事件,记作B=“正面朝下”例10抛掷两枚硬币A=“两个都是正面朝上”；B=“两个都是正面朝下”；C=“一个正面朝上，一个正面朝下”都是随机事件不难看出D=“至少有一个正面朝上”也是一个随机事件例11掷一个匀称的骰子A=“出现1点”，B=“出现2点”，F=“出现6点”；G=“出现奇数点”，H=“出现偶数点” 都是随机事件；I=“点数大于6”是不可能事件；J=“点数不大于6”是必然事件例12在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任取3个A=“三个都是正品”，B=“至少有一个是次品”为随机事件；C=“三个都是次品” 是不可能事件；D=“至少有一个是正品” 是必然事件例13在一副扑克牌中任摸14张A=“其中有两张花色是不同的” 是必然事件；B=“其中没有两张花色是不同的” 是不可能事件不可能事件和必然事件是否发生都是确定的，显然不符合随机事件的定义（因随机事件具有不确定性即试验前不能确定哪个结果会出现），所以不是随机事件但为了便于讨论问题起见，我们也把它们算作随机事件 二、事件的关系与运算二、事件的关系与运算1 1事件的关系与运算事件的关系与运算文氏图文氏图 ( Venn diagram ) A 以下设等都是同一样本空间中的事件. A 包含于B 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B (1). 事件的包含定义：定义：若，则（若事件A发生必然导致事件B发生），这时称事件B包含事件A，记作或 ，即A是B的子集(2). 事件的相等定义：定义：若且则称事件A与B相等，记作 定义：定义：“事件A、B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并（或和）记作 (或A+B)或 即 事件 发生 A发生或B发生 A、B中至少有一个发生 类似的可以推广到n个事件：中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件 （3）. 事件的并(和) 的并（或和），记作或 或定义：定义：“事件A与B同时发生”, 这样的一个事件称作事件A与B的交（或积）记作 （或AB） 发生 A发生且B发生 A、B同时发生 类似的“ 同时发生”称为 的交（或积）记作 （简记为 或 ） （4）. 事件的交(积) 发生（5）. 事件的差不发生 发生而定义：“事件发生而不发生”，这样一个与的差记为事件称作事件 AB（6）. 事件的互不相容(互斥)（7）事件的对立（逆）A对立事件与互不相容事件的关系对立事件与互不相容事件的关系： 对立事件一定是互不相容的，但互不相容事件对立事件一定是互不相容的，但互不相容事件不一定是对立的不一定是对立的 定义：定义：若，则称事件A与事件 B互不相容（互斥）。 即表示互不相容的两事件不会同时发生。定义：定义：若A是一个事件，令称为事件A的对立事件或逆事件 例14：设A、B、C是样本空间 的三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来 （1）A发生，但B、C都不发生 （2）A、B发生，而C不发生 （3）三个事件都发生 （4）三个事件中至少一个发生 （5）三个事件都不发生 （A 或A-B-C或A- ） （AB 或AB-C或AB-ABC） （ABC） （ 或 ） （ 或 ）（6）不多于一个事件发生 （7）不多于两个事件发生 （8）三个事件中至少两个发生 （9）恰有一个事件发生 （10）恰有两个事件发生 （ 或 ） （ 或 ） （ ） （ 或AB+BC+CA-ABC）例例1515 在图书馆中随意抽取一本书，表示数学书，表示中文书，表示平装书. 抽取的是精装中文版数学书 精装书都是中文书 非数学书都是中文版的，且中文版的书都是非数学书则事件事件运算有如下的基本性质： （1）否定律 （2）幂等律 （3）交换律 （4）结合律 （5）分配律 （6）德摩根（De Morgan）公式（对偶原则或反演律）更一般地有 三事件域前面我们曾经指出，事件是样本空间 的某个子集，但一般并不把 的一切子集都作为事件，因为这将会给进一步的讨论带来困难另一方面，由讨论问题的需要，又必须把问题中感兴趣的事件都包括进来例如，若A是事件，则应要求 也是事件，若A、B是事件，则 以及 等也应是事件为此，我们通常总是根据具体问题的需要，适当选取 的一些子集组成集类F ，要求F 对集合的逆、交、并等运算封闭，而把 中属于F 的那些子集叫做事件，把 F 称作事事件域件域 定义：设 是一给定的样本空间，F 是由 的一些子集构成的集合类，如果F 满足下列条件： （1）则称F 为事件域，F中的元素称为事件， 称为必然事件关于F 有如下性质： （2）（3）（2）若 F，有 F ； F，i=1,2, ，有F.（3）若（1） F ； 例： F 是一个事件域，它所含的元素最少，称它为最小事件域例： F 即F 是由 的一切子集所构成的集合，是一个事件域，称它为最大事件域 特别地，若 为有限的样本空间， 则F= 是上为最大事件域，它共有 个元素 例：设 则F 不是事件域； 但F 是一个事件域例： F 其中，是一个事件域