2003-3-27、281二二 面面 角角 及及 其其 相相 关关 概概 念念二二面面角角的的定定义义：从从一一条条直直线线出出发发的的两两个个半半平平面面所所组组成成的图形叫做的图形叫做二面角二面角； 这条这条直线直线叫做叫做二面角的棱二面角的棱； 这两个这两个半平面半平面叫做叫做二面角的面二面角的面. .平面角：平面角：一个平面内的一条直线把该平面分成一个平面内的一条直线把该平面分成两两部分，部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做半平面半平面. .AB2003-3-27、282从平面内一点出发的两从平面内一点出发的两从平面内一点出发的两从平面内一点出发的两条条条条射线射线射线射线所组成的图形所组成的图形所组成的图形所组成的图形。从空间一直线出发的两从空间一直线出发的两从空间一直线出发的两从空间一直线出发的两个个个个半平面半平面半平面半平面所组成的图形。所组成的图形。所组成的图形。所组成的图形。射线射线射线射线点（顶点）点（顶点）点（顶点）点（顶点）射线射线射线射线半平面半平面半平面半平面线（棱）线（棱）线（棱）线（棱）半平面半平面半平面半平面 AOB二面角二面角二面角二面角-a-a-二二 面面 角角2003-3-27、283直立式直立式 3 3、请同学举出二面角的实例，并画出二面角。、请同学举出二面角的实例，并画出二面角。平卧式平卧式二二 面面 角角 由由上上可可知知：各各二二面面角角的的“张张角角”不不同同，那那么么如如何度量二面角的大小呢？何度量二面角的大小呢？ 2003-3-27、284 以以二二面面角角的的棱棱上上任任意意一一点点为为端端点点，在在二二面面角角的的两两个个面面内内分分别别作作垂垂直直于于棱棱的的两两条条射射线线，这这两条射线所成的角叫做为两条射线所成的角叫做为二面角的平面角二面角的平面角.平平 面面 角角二二 面面 角角 的的 平平 面面 角角 定义定义二面角的大小二面角的大小是用是用二面角的平面角二面角的平面角来度量的。来度量的。 A A二面角的大小范围是：二面角的大小范围是：0 00 01801800 0B BO O2003-3-27、285讨论讨论1二面角的平面角的确定二面角的平面角的确定 如如图，点图，点A A在二面角在二面角-a-a-的的半平面半平面上一点，过上一点，过点点A A如何确定二面角如何确定二面角-a-a-的平面角？的平面角？由定义知：过由定义知：过A作作AO a交于交于O，在面在面内作内作OB OB a，则则 AOB为所求。为所求。-“定义法定义法”讨论讨论2过过A作作AO a交于交于O，再过再过A作作AB 交于交于O连结连结OB OB ，则则 AOB为所求。为所求。-“三垂线法三垂线法”OBOB2003-3-27、286A1B1C1D1ABCD思考：思考：如图，在正方体如图，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求对对角面角面ABCABC1 1D D1 1与与底面底面ABCDABCD所成的二面角的大小所成的二面角的大小. .2003-3-27、287例题分析例题分析 例例1 1、已知在一个、已知在一个60600 0的二面角的棱上有两的二面角的棱上有两个点个点 A A、B B，ACAC、BDBD分别是在这个二面角的两个分别是在这个二面角的两个面内，且垂直于面内，且垂直于ABAB的线段，又知的线段，又知AB=4cmAB=4cm，AC=6cmAC=6cm，BD=8cmBD=8cm，求的求的CDCD长长D DC CA AB BCC2003-3-27、288例例例例2 2 2 2、如图所示，、如图所示，、如图所示，、如图所示，DBDBDBDB、ECECECEC都垂直于正都垂直于正都垂直于正都垂直于正 所在的平面，且所在的平面，且所在的平面，且所在的平面，且EC=BC=2BDEC=BC=2BDEC=BC=2BDEC=BC=2BD，求平面求平面求平面求平面ADEADEADEADE与平面与平面与平面与平面ABCABCABCABC所成二面角的大小所成二面角的大小所成二面角的大小所成二面角的大小. . . .解：延长ED交CB于F，连AF，则平面ABC平面ADE=AF，CAF=900,由 三 垂 线 定 理AEAF EAC为二面角E-AF-C的平面角。在直角三角 形 ACE中，AC=EC， EAC=450 因此平面ABC与平面ADE所成的角为450.AF就是平面ADE与平面ABC的交线，也就是这两个平面所成的二面角的棱AC、AE都垂直于二面角的棱AF，它就是二面角的平面角2003-3-27、2891 1、在、在30300 0二面角的一个面内有一点二面角的一个面内有一点A A，它到另它到另一个面的距离是一个面的距离是10cm10cm，求它到棱的距离。求它到棱的距离。 所所以以AOH就就是是二二面面角角-EF-的的 一一 个个 平平 面面 角角 ，AOH=300，OA=20cm.解：解：如图所示，过点如图所示，过点A作作AH，垂足为垂足为H，由题意由题意AH=10cm. 过点过点H作作HOEF，垂足为垂足为O，连，连OA，则则OAEF，OA就是点就是点A到棱到棱EF的距离。的距离。A AOOH H2003-3-27、28102 2、 和和D D所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直, ,且且AB=BC=BDAB=BC=BD，CBA=DBC=120CBA=DBC=1200 0，求：求：(1)(1)、ADAD的连线和平面的连线和平面BCDBCD所成的角；所成的角；(2)(2)、 ADAD的连线与直线的连线与直线BCBC所成的角；所成的角；(3)(3)、二面角、二面角A-BD-CA-BD-C的大小的大小. .E ED DB BC CA AGG2003-3-27、28112003-3-27、2812 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直两个平面互相垂直. .面面垂直的定义：面面垂直的定义：(2)(2)日常生活中平面与平面垂直的例子日常生活中平面与平面垂直的例子? ?(1)(1)除了定义之外除了定义之外, ,如何判定两个平面互相垂如何判定两个平面互相垂直呢直呢? ?aAb2003-3-27、2813如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？2003-3-27、28142003-3-27、28152003-3-27、2816如果一个平面经过了另一个平面的如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂一条垂线，那么这两个平面互相垂直直.猜想：猜想： 2003-3-27、2817 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。么这两个平面互相垂直。 已知：已知：AB，AB=B，AB 求证：求证：. 证明：证明：C CD DA AB BE E在平面在平面内过内过B点作直线点作直线BECD，则则ABE就是二面角就是二面角-CD-的平面角，的平面角，设设=CD,则则BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面角二面角-CD-是是直二面角，直二面角，.2003-3-27、2818平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直个平面垂直. .符号符号: :aA简记：线面垂直，简记：线面垂直，则面面垂直则面面垂直 面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直符号符号: :2003-3-27、2819 3 3、如图、如图, , ABAB是是O的直径的直径, ,点点C C是圆是圆O上的动上的动点点, ,过动点过动点C C的直线的直线VCVC垂直垂直O于所在平面于所在平面,D,D、E E分别是分别是VAVA、VCVC的中点，直线的中点，直线DEDE与平面与平面VBCVBC有什么有什么关系？试说明理由关系？试说明理由. .ACVOBED2003-3-27、2820课堂练习：课堂练习：1.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的一条内的一条 直线，则直线，则.（ ）3. 如果平面如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的两条内的两条 相交直线相交直线, 则则.（ ）一、判断：一、判断：4.若若m，m ，则，则.( ) 2.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的两条内的两条 直线，则直线，则.（ ）2003-3-27、28211.过平面过平面的一条垂线可作的一条垂线可作_个平面个平面 与平面与平面垂直垂直.2.过一点可作过一点可作_个平面与已知平面垂个平面与已知平面垂 直直.二、填空题：二、填空题：3.过平面过平面的一条斜线，可作的一条斜线，可作_个平个平 面与平面面与平面垂直垂直.4.过平面过平面的一条平行线可作的一条平行线可作_个平个平 面与面与垂直垂直.一一无数无数无数无数一一2003-3-27、2822三、如右图：三、如右图：A是是BCD所在平面外一点，所在平面外一点，AB=AD，ABC=ADC=90，E是是BD的中点，的中点，求证：平面求证：平面AEC平面平面ABDDACBE2003-3-27、2823