1.2 类比推理1实例实例1 1：从前从前有个财主，有个财主，想教想教儿子识字儿子识字，请来一，请来一位教书先生位教书先生. .先生先生把着学生的笔杆儿，写一横，把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个告诉是个“一一”字；写两横，告字；写两横，告诉是个诉是个“二二”字；写三横，告诉字；写三横，告诉是个是个“三三”字字. .学学到这里，儿子到这里，儿子就告诉父亲说：就告诉父亲说：“我已经学会了我已经学会了写字，不用先生再写字，不用先生再教了教了. .”于是，于是，财主就把教书先生给辞财主就把教书先生给辞退了退了. . 一天，财主邀请一位姓万的朋友，叫儿子写张请帖一天，财主邀请一位姓万的朋友，叫儿子写张请帖.财主的儿子怎么写的财主的儿子怎么写的? ?实例实例2 2：春秋时代鲁国的公输班春秋时代鲁国的公输班( (后人称鲁班，被认为后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师是木匠业的祖师) )一次去林中砍树时被一株齿形的茅一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，但这桩倒霉事却使他发明了锯子草割破了手，但这桩倒霉事却使他发明了锯子他的思路是这样的：他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？ 实例实例3： 类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这样得到的也是这样得到的.鱼类鱼类潜水艇潜水艇蜻蜓蜻蜓直升机直升机形状，沉浮原理形状，沉浮原理外形，飞行原理外形，飞行原理仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的的.上面的这些用到了数学中类比推理的知识，请进上面的这些用到了数学中类比推理的知识，请进入我们今天的学习！入我们今天的学习！1.1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义. .( (重点重点) ) 2.2.能利用类比进行简单的推理与猜想能利用类比进行简单的推理与猜想. .( (重点重点) ) 3.3.体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用. .探究点探究点1 1 类比推理类比推理例例1 1 已知已知“正三角形内一点到三边距离之和是正三角形内一点到三边距离之和是一个定值一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应正三角形？在对应图形什么样的图形可以对应正三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？中有与上述定理相应的结论吗？解：解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面三角形的边对应四面体的面. .得到猜测：正四面体内得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值一点到四个面距离之和是一个定值. .例例2 2 根据平面几何的勾股定理根据平面几何的勾股定理, ,试类比猜测出空间试类比猜测出空间中相应的结论中相应的结论解解 平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体. .在在四面体四面体P-DEFP-DEF中，面中，面PDEPDE、面、面DEFDEF和面和面PDFPDF两两垂直两两垂直. .勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边长的平方和勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边长的平方和. .类比到空间就是：类比到空间就是：PEFPEF面积的平方等于三个直面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和角三角形面积的平方和. .即：即：【提升总结提升总结】平面图形与空间图形的类比关系如下：平面图形与空间图形的类比关系如下：平面图形平面图形空间图形空间图形点点线线线线(线段长度线段长度)面面(面积面积)面面(封闭图形封闭图形)(面积面积)体体(几何体几何体)(体积体积) 思考思考1:1:以上各例的推理过程中，它们有什么共同之处以上各例的推理过程中，它们有什么共同之处呢？我们称这种推理是什么？呢？我们称这种推理是什么？提示：提示：由于两类不同对象具有某些类似特征，在此基由于两类不同对象具有某些类似特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征础上，根据一类对象的其他特征, ,推出另一类对象也推出另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理称为类比推理具有类似的其他特征，我们把这种推理称为类比推理. . . .类比推理是两类事物特征之间的推理类比推理是两类事物特征之间的推理. .(1)(1)类类比比是是从从人人们们已已经经掌掌握握的的事事物物的的属属性性, ,推推断断正正在在研研究究中中的的事事物物的的属属性性, ,它它以以旧旧有有知知识识为为基基础础, ,类类比比出出新新的的结论结论. .(2)(2)是是从从一一事事物物的的特特殊殊属属性性推推断断另另一一种种事事物物的的特特殊殊属属性性. .(3)(3)类比的结果具有猜测性类比的结果具有猜测性. .【提升总结提升总结】类比推理的特点类比推理的特点提示：提示：在平面几何中，同时垂直于一条直线的两条在平面几何中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行直线互相平行. .类比到空间的结论：空间中，同时垂类比到空间的结论：空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行直于一条直线的两条直线互相平行. .我们知道：在空间中，垂直于一条直线的两条直我们知道：在空间中，垂直于一条直线的两条直线的位置关系不止一种，它们可能相互平行，也线的位置关系不止一种，它们可能相互平行，也可能相交可能相交. .由此可见，类比推理的结论也不一定可靠由此可见，类比推理的结论也不一定可靠. .思考思考2 2：类比推理的结论是否一定是正确的？类比推理的结论是否一定是正确的？思考思考3.3.类比推理与归纳推理有何本质的不同？类比推理与归纳推理有何本质的不同？提示：提示：类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理推理是由部分到整体，由个别到一般的推理. .【变式练习变式练习】在平面上，若两个正三角形的边长之比为在平面上，若两个正三角形的边长之比为1212，则它们面积之比为，则它们面积之比为14.14.类似地，在空间中，若类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为两个正四面体的棱长之比为1212，求它们的体积之比，求它们的体积之比. .解解 两个正三角形是相似三角形，所以面积之比为相似两个正三角形是相似三角形，所以面积之比为相似比的平方比的平方. .同理，两个正四面体是相似几何体，体积之同理，两个正四面体是相似几何体，体积之比为相似比的立方，故它们的体积之比为比为相似比的立方，故它们的体积之比为18.18.观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论【提升总结提升总结】类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤即：即： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想征，从而得出一个猜想. .合情推理合情推理 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论和直觉、已有的事实和正确的结论( (定义、公理、定定义、公理、定理等理等) )，推测出某些结果的推理方式，推测出某些结果的推理方式. . 尽管合情推理的结果不一定正确，但是，在数学、尽管合情推理的结果不一定正确，但是，在数学、科学、经济和社会的历史发展中，合情推理有非常科学、经济和社会的历史发展中，合情推理有非常重要的价值，它是科学发现和创造的基础重要的价值，它是科学发现和创造的基础. .归纳推理归纳推理类比推理类比推理探究点探究点2 2 合情推理合情推理1.1.平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到比思维，我们可以得到( () )A A空间中平行于同一平面的两个平面平行空间中平行于同一平面的两个平面平行B B空间中平行于同一条直线的两条直线平行空间中平行于同一条直线的两条直线平行C C空间中平行于同一平面的两条直线平行空间中平行于同一平面的两条直线平行D D空间中平行于同一条直线的两个平面平行空间中平行于同一条直线的两个平面平行A A2.下列推理正确的是下列推理正确的是()A把把a(b+c)与与loga(x+y)类比，则有类比，则有loga(x+y)=logax+logayB把把a(b+c)与与sin(x+y)类比，则有类比，则有sin(x+y)=sinx+sinyC把把(ab)n与与(a+b)n类比，则有类比，则有(x+y)n=xn+ynD把把(a+b)+c与与(xy)z类比，则有类比，则有(xy)z=x(yz)D D3.在等差数列在等差数列an中，若中，若an0，公差，公差d0，则有，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列，类比上述性质，在等比数列bn中，中，若若bn0,公比公比q1，则，则b4,b5,b7,b8满足的一个不等关系满足的一个不等关系为为_.【解题分析解题分析】利用等差数列中的积类比等比数列中的利用等差数列中的积类比等比数列中的和和.b4+b8b5+b7回顾本节课你有什么收获？回顾本节课你有什么收获？1.1.类比推理的定义类比推理的定义. .2.2.类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤：3.3.合情推理：归纳推理和类比推理统称合情推理合情推理：归纳推理和类比推理统称合情推理. . 观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论 人生就像一条河，左岸是无法忘却的回忆，右岸是值得紧握的璀璨年华，中间流淌着年年岁岁淡淡的感伤.