材料力学材料力学刘鸿文主编刘鸿文主编( (第第4 4版版) ) 高等教育出版社高等教育出版社目录目录第一章第一章 绪绪 论论目录目录第一章第一章 绪论绪论1.1 1.1 材料力学的任务材料力学的任务1.2 1.2 变形固体的基本假设变形固体的基本假设1.3 1.3 外力及其分类外力及其分类1.4 1.4 内力、截面法及应力的概念内力、截面法及应力的概念1.5 1.5 变形与应变变形与应变1.6 1.6 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式目录目录1.1 1.1 材料力学的任务材料力学的任务 传统具有柱、梁、檩、椽的木传统具有柱、梁、檩、椽的木制房屋结构制房屋结构古代建筑结构古代建筑结构目录目录建于隋代（建于隋代（605605年）的河北赵州桥桥年）的河北赵州桥桥长长64.464.4米，跨径米，跨径37.0237.02米，用石米，用石28002800吨吨一、材料力学与工程应用一、材料力学与工程应用古代建筑结构古代建筑结构建于辽代（建于辽代（10561056年）的山西应县佛宫寺释迦塔年）的山西应县佛宫寺释迦塔塔高塔高9 9层共层共67.3167.31米，用木材米，用木材74007400吨吨900900多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔目录目录1.1 1.1 材料力学的任务材料力学的任务四川彩虹桥坍塌四川彩虹桥坍塌目录目录1.1 1.1 材料力学的任务材料力学的任务美国纽约马尔克大桥坍塌美国纽约马尔克大桥坍塌比萨斜塔比萨斜塔1.1 1.1 材料力学的任务材料力学的任务目录目录1.1 1.1 材料力学的任务材料力学的任务1 1、构件：、构件：工程结构或工程结构或机械的每一组成部分。机械的每一组成部分。 （例如：行车结构中的（例如：行车结构中的横梁、吊索等）横梁、吊索等） 理论力学理论力学研究研究刚体刚体，研究，研究力力与与运动运动的关系。的关系。 材料力学材料力学研究研究变形体变形体，研究，研究力力与与变形变形的关系。的关系。二、基本概念二、基本概念2 2、变形：、变形：在外力作用下，固体内各点相对位置的在外力作用下，固体内各点相对位置的改变。改变。( (宏观上看就是物体尺寸和形状的改变）宏观上看就是物体尺寸和形状的改变）3 3、内力：、内力：构件内由于构件内由于发生变形而产生的相发生变形而产生的相互作用力。互作用力。（内力随内力随外力的增大而增大外力的增大而增大）强度：强度：在载荷作用下，在载荷作用下，构件构件抵抗破坏抵抗破坏的能力。的能力。刚度：刚度：在载荷作用下，构件在载荷作用下，构件抵抗变形抵抗变形的能力。的能力。塑性变形塑性变形( (残余变形残余变形) ) 外力解除后不能消失外力解除后不能消失 弹性变形弹性变形 随外力解除而消失随外力解除而消失1.1 1.1 材料力学的任务材料力学的任务目录目录1.1 1.1 材料力学的任务材料力学的任务4 4、稳定性：、稳定性： 在载荷在载荷作用下，作用下，构构件件保持原有保持原有平衡状态平衡状态的的能力。能力。 强度、刚度、稳定性强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力是衡量构件承载能力的三个方面，材料力学就是研究构件承载能力的三个方面，材料力学就是研究构件承载能力的一门科学。的一门科学。 目录目录 研究构件的强度、刚度和稳定性研究构件的强度、刚度和稳定性, ,还需要了解材料的还需要了解材料的力学性能力学性能。因此在。因此在进行理论分析的基础上，进行理论分析的基础上，实验研究实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。手段。目录目录1.1 1.1 材料力学的任务材料力学的任务 材料力学的任务就是在满足强度、刚度材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计和稳定性的要求下，为设计既经济又安全既经济又安全的构的构件，提供必要的理论基础和计算方法。件，提供必要的理论基础和计算方法。三、材料力学的任务三、材料力学的任务若：构件横截面尺寸不足或形状不合理,或材料选用不当 _ 不满足上述要求, 不能保证安全工作.若：不恰当地加大横截面尺寸或选用优质材料 _ 增加成本,造成浪费均不可取构件的分类：构件的分类：杆件、板壳杆件、板壳* *、块体、块体* *1.1 1.1 材料力学的任务材料力学的任务材料力学主要研究材料力学主要研究杆件杆件等截面直杆等截面直杆等直杆等直杆四、材料力学的研究对象四、材料力学的研究对象直杆直杆 轴线为直线的杆轴线为直线的杆曲杆曲杆 轴线为曲线的杆轴线为曲线的杆等截面杆等截面杆横截面的大小横截面的大小 形状不变的杆形状不变的杆变截面杆变截面杆横截面的大小横截面的大小 或形状变化的杆或形状变化的杆目录目录1.2 1.2 变形固体的基本假设变形固体的基本假设1 1、连续性假设：、连续性假设：认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质认为整个物体体积内毫无空隙地充满物质 在外力作用下，一切固体都将发生变形，在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体。故称为变形固体。在材料力学中，对变形固体在材料力学中，对变形固体作如下假设：作如下假设：目录目录目录目录灰口铸铁的显微组织灰口铸铁的显微组织球墨铸铁的显微组织球墨铸铁的显微组织2 2、均匀性假设：、均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同认为物体内的任何部分，其力学性能相同1.2 1.2 变形固体的基本假设变形固体的基本假设普通钢材的显微组织普通钢材的显微组织优质钢材的显微组织优质钢材的显微组织目录目录目录目录1.2 1.2 变形固体的基本假设变形固体的基本假设A AB BC CF F12 如右图，如右图，远小于构件的最小尺寸，远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简架的变形略去不计。计算得到很大的简化。化。4 4、小变形与线弹性范围、小变形与线弹性范围3 3、各向同性假设：、各向同性假设：认为在物体内各个不同方向的力学性能相同认为在物体内各个不同方向的力学性能相同（沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性（沿不同方向力学性能不同的材料称为各向异性材料。如木材、胶合板、纤维增强材料等）材料。如木材、胶合板、纤维增强材料等）认为构件的变形极其微小，认为构件的变形极其微小，比构件本身尺寸要小得多。比构件本身尺寸要小得多。目录目录目录目录1.3 1.3 外力及其分类外力及其分类外力：外力：来自构件外部的力（载荷、约束反力）来自构件外部的力（载荷、约束反力）按外力作用的方式分类按外力作用的方式分类体积力：体积力：连续分布于物体内部各点连续分布于物体内部各点 的力。的力。如重力和惯性力如重力和惯性力表面力：表面力：连续分布于物体表面上的力。连续分布于物体表面上的力。如油缸内壁的如油缸内壁的压力，水坝受到的水压力等均为分布力压力，水坝受到的水压力等均为分布力若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨如火车轮对钢轨的压力等的压力等分布力：分布力：集中力：集中力：目录目录目录目录按外力与时间的关系分类按外力与时间的关系分类载荷缓慢地由零增加到某一定值后，就保持不变或变动很不显著，载荷缓慢地由零增加到某一定值后，就保持不变或变动很不显著，称为静载。称为静载。静载：静载：动载：动载：载荷随时间而变化。载荷随时间而变化。如交变载荷和冲击载荷如交变载荷和冲击载荷1.3 1.3 外力及其分类外力及其分类交变载荷交变载荷冲击载荷冲击载荷目录目录目录目录内力：内力：外力作用引起构件内部的附加相互作用力。外力作用引起构件内部的附加相互作用力。求内力的方法求内力的方法 截面法截面法目录目录目录目录1.4 1.4 内力、截面法和应力的概念内力、截面法和应力的概念(1)(1)假想沿假想沿m-mm-m横截面将横截面将 杆杆切开切开(2)(2)留下留下左半段或右半段左半段或右半段(3)(3)将弃去部分对留下部将弃去部分对留下部 分的作用用内力分的作用用内力代替代替(4)(4)对留下部分写对留下部分写平衡平衡方方 程，求出内力的值。程，求出内力的值。F FS SM MF F F FF F F Faa目录目录目录目录1.4 1.4 内力、截面法和应力的概念内力、截面法和应力的概念例如例如例例 1.11.1 钻床钻床求：求：截面截面m-mm-m上的内力。上的内力。用截面用截面m-mm-m将钻床截为两部分，取上半部将钻床截为两部分，取上半部分为研究对象，分为研究对象，解：解：受力如图：受力如图：1.4 1.4 内力、截面法和应力的概念内力、截面法和应力的概念列平衡方程列平衡方程: :目录目录目录目录F FN NM M目录目录目录目录1.4 1.4 内力、截面法和应力的概念内力、截面法和应力的概念为了表示内力在一点处的强度，引入为了表示内力在一点处的强度，引入内力内力集度集度, ,即即应力应力的概念。的概念。 平均应力平均应力 C C点的应力点的应力应力是矢量，应力是矢量，通常分解为通常分解为 正应力正应力 切应力切应力应力的国际单位为应力的国际单位为 PaPa（帕斯卡）（帕斯卡） 1Pa= 1N/m1Pa= 1N/m2 21kPa=101kPa=103 3N/mN/m2 21MPa=101MPa=106 6N/mN/m2 21GPa=101GPa=109 9N/mN/m2 21.5 1.5 变形与应变变形与应变1.1.位移位移刚性位移；刚性位移；MMMM变形位移。变形位移。2.2.变形变形物体内任意两点的相对位置发生变化。物体内任意两点的相对位置发生变化。取一微正六面体取一微正六面体两种基本变形：两种基本变形：线变形线变形 线段长度的变化线段长度的变化DxDx+DsxyoMMLNLN角变形角变形 线段间夹角的变化线段间夹角的变化目录目录目录目录3.3.应变应变x x方向的平均应变：方向的平均应变： 正应变（线应变）正应变（线应变）1.5 1.5 变形与应变变形与应变DxDx+DsxyoMMLNLNM M点处沿点处沿x x方向的应变：方向的应变：切应变（角应变）切应变（角应变）类似地，可以定义类似地，可以定义M M点在点在xyxy平面内的平面内的切应变为：切应变为：均为无量纲的量。均为无量纲的量。目录目录目录目录1.5 1.5 变形与应变变形与应变例例 1.21.2已知：已知：薄板的两条边薄板的两条边固定，变形后固定，变形后ab, ad仍为直线。仍为直线。解：解：250200adcba0.025ab, ad 两边夹角的变化：两边夹角的变化：即为切应变即为切应变 。目录目录目录目录求：求：ab 边的边的m 和和 ab、ad 两边夹两边夹角的变化角的变化。拉压变形拉压变形拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲剪切变形剪切变形杆件的基本变形：杆件的基本变形：目录目录目录目录1.61.6 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式扭转变形扭转变形弯曲变形弯曲变形目录目录目录目录1.61.6 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式第二章第二章 拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切(1)(1)目目 录录第二章第二章 拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切目目 录录2.12.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉伸与压缩的概念和实例2.22.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力力和应力2.32.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力2.42.4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能2.52.5 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能2.72.7 失效、安全因数和强度计算失效、安全因数和强度计算2.82.8 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形2.92.9 轴向拉伸或压缩的应变能轴向拉伸或压缩的应变能2.102.10 拉伸、压缩超静定问题拉伸、压缩超静定问题2.112.11 温度应力和装配应力温度应力和装配应力2.122.12 应力集中的概念应力集中的概念2.13 2.13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算2.1 2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉伸与压缩的概念和实例目目 录录2.1 2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉伸与压缩的概念和实例目目 录录 作用在杆件上的外力合力的作用线与杆作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。或缩短。拉（压）杆的受力简图拉（压）杆的受力简图F FF F拉伸拉伸F FF F压缩压缩2.1 2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉伸与压缩的概念和实例目目 录录受力受力特点与变形特点：特点与变形特点：2.1 2.1 轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉伸与压缩的概念和实例目目 录录2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 1 1、截面法求内力、截面法求内力F FF Fm mm mF FF FN NF FF FN N目目 录录(1)(1)假想沿假想沿m-mm-m横截面将横截面将 杆杆切开切开(2)(2)留下左半段或右半段留下左半段或右半段(3)(3)将弃去部分对留下部分将弃去部分对留下部分 的作用用内力代替的作用用内力代替(4)(4)对留下部分写平衡方程对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值求出内力即轴力的值2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力力和应力2 2、轴力：截面上的内力、轴力：截面上的内力F FF Fm mm mF FF FN NF FF FN N目目 录录 由于外力的作用线由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴轴线重合。所以称为轴力。力。3 3、轴力正负号：、轴力正负号： 拉为正、压为负拉为正、压为负4 4、轴力图：轴力沿杆、轴力图：轴力沿杆 件轴线的变化件轴线的变化2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力已知已知F F1 1=10kN=10kN；F F2 2=20kN=20kN； F F3 3=35kN=35kN；F F4 4=25kN;=25kN;试画试画出图示杆件的轴力图。出图示杆件的轴力图。11例题例题2.12.1FN1F1解：解：1 1、计算各段的轴力。、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCD2233FN3F4FN2F1F2ABAB段段BCBC段段CDCD段段2 2、绘制轴力图。、绘制轴力图。目目 录录2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力目目 录录2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。目目 录录 在拉（压）杆的在拉（压）杆的横截面上，横截面上，与轴与轴力力F FN N对应的应力是正应力对应的应力是正应力 。根据连续根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。性假设，横截面上到处都存在着内力。于是得静力关系：于是得静力关系：2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力目目 录录 平面假设平面假设变形前原为平面的横截面，变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。横向线横向线ab、cd仍为直线，且仍为直线，且仍垂直于杆轴仍垂直于杆轴线，只是分别线，只是分别平行移至平行移至ab、cd。 观察变形：观察变形： 2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力目目 录录从平面假设可以判断：从平面假设可以判断：（1）所有纵向纤维伸长相等）所有纵向纤维伸长相等（2）因材料均匀，故各纤维受力相等）因材料均匀，故各纤维受力相等（3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量 2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 该式为横截面上的正应力该式为横截面上的正应力计计算公式。正应力算公式。正应力和轴力和轴力F FN N同号。同号。即拉应力为正，压应力为负。即拉应力为正，压应力为负。圣圣维维南南原原理理目目 录录2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力目目 录录2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例题例题2.22.2 图示结构，试求杆件图示结构，试求杆件ABAB、CBCB的的应力。已知应力。已知 F F=20kN=20kN；斜杆；斜杆ABAB为直为直径径20mm20mm的圆截面杆，水平杆的圆截面杆，水平杆CBCB为为15151515的方截面杆。的方截面杆。F FA AB BC C解：解：1 1、计算各杆件的轴力。、计算各杆件的轴力。（设斜杆为（设斜杆为1 1杆，水平杆为杆，水平杆为2 2杆）杆）用截面法取节点用截面法取节点B B为研究对象为研究对象45451 12 2F FB BF F4545目目 录录2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2 2、计算各杆件的应力。、计算各杆件的应力。F FA AB BC C45451 12 2F FB BF F4545目目 录录2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力例题例题2.22.2 悬臂吊车的斜杆悬臂吊车的斜杆ABAB为直径为直径d=20mmd=20mm的钢杆，载荷的钢杆，载荷W=15kNW=15kN。当。当W W移到移到A A点时，求斜杆点时，求斜杆ABAB横截面上的横截面上的应力。应力。解：解：当载荷当载荷W移到移到A点时，点时，斜杆斜杆ABAB受到拉力最大，设其值为受到拉力最大，设其值为F Fmaxmax。讨论横梁平衡讨论横梁平衡目目 录录0.8mABC1.9mdCA2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力由三角形由三角形ABCABC求出求出斜杆斜杆ABAB的轴力为的轴力为斜杆斜杆ABAB横截面上的应力为横截面上的应力为目目 录录0.8mABC1.9mdCA2.3 2.3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时却是沿斜截面发生的。横截面发生，有时却是沿斜截面发生的。目目 录录 2.4 2.4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能 力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学特性。面所表现出的力学特性。一一 试试件件和和实实验验条条件件常常温温、静静载载目目 录录2.4 2.4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能目目 录录2.4 2.4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能二二 低低碳碳钢钢的的拉拉伸伸目目 录录2.4 2.4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能明显的四个阶段明显的四个阶段1 1、弹性阶段、弹性阶段obob比例极限比例极限弹性极限弹性极限2 2、屈服阶段、屈服阶段bcbc（失去抵（失去抵抗变形的能力）抗变形的能力）屈服极限屈服极限3 3、强化阶段、强化阶段cece（恢复抵抗（恢复抵抗变形的能力）变形的能力）强度极限强度极限4 4、局部径缩阶段、局部径缩阶段efef目目 录录胡克定律胡克定律E弹性模量（弹性模量（GN/m2）2.4 2.4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能两个塑性指标两个塑性指标: :断后伸长率断后伸长率断面收缩率断面收缩率为塑性材料为塑性材料为脆性材料为脆性材料低碳钢的低碳钢的为塑性材料为塑性材料目目 录录2.4 2.4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能三三 卸载定律及冷作硬化卸载定律及冷作硬化1 1、弹性范围内卸载、再加载、弹性范围内卸载、再加载2 2、过弹性范围卸载、再加载、过弹性范围卸载、再加载 材料在卸载过程中应材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这力和应变是线性关系，这就是就是卸载定律卸载定律。 材料的比例极限增高，材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为延伸率降低，称之为冷作硬冷作硬化或加工硬化化或加工硬化。目目 录录2.4 2.4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能四四 其其它它材材料料拉拉伸伸时时的的力力学学性性质质 对于没有明对于没有明显屈服阶段的塑显屈服阶段的塑性材料，用名义性材料，用名义屈服极限屈服极限p0.2p0.2来来表示。表示。目目 录录2.4 2.4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能 对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%0.5%。为典型的脆性材料。为典型的脆性材料。 btbt拉伸强度极限（约为拉伸强度极限（约为140MPa140MPa）。它是）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。目目 录录第二章第二章 拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切(2)(2)目目 录录2.5 2.5 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能一一 试试件件和和实实验验条条件件常常温温、静静载载目目 录录2.5 2.5 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能二二 塑塑性性材材料料（低低碳碳钢钢）的的压压缩缩 拉伸与压缩在屈服拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。阶段以前完全相同。屈服极限屈服极限比例极限比例极限弹性极限弹性极限E E - - 弹性摸量弹性摸量目目 录录2.5 2.5 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能三三 脆脆性性材材料料（铸铸铁铁）的的压压缩缩 脆性材料的抗拉与抗压脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同性质不完全相同 压缩时的强度极限远大压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限于拉伸时的强度极限目目 录录目目 录录2.5 2.5 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能2.7 2.7 失效、安全因数和强度计算失效、安全因数和强度计算一一 、安全因数和许用应力、安全因数和许用应力工作应力工作应力极限应力极限应力塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料塑性材料的许用应力塑性材料的许用应力脆性材料的许用应力脆性材料的许用应力目目 录录 n n 安全因数安全因数 许用应力许用应力2.7 2.7 失效、安全因数和强度计算失效、安全因数和强度计算二二 、强度条件、强度条件根据强度条件，可以解决三类强度计算问题根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1 1、强度校核：、强度校核：2 2、设计截面：、设计截面：3 3、确定许可载荷：、确定许可载荷：目目 录录2.7 2.7 失效、安全因数和强度计算失效、安全因数和强度计算例题例题2.42.4油缸盖与缸体采用油缸盖与缸体采用6 6个螺栓连接。已知油缸内径个螺栓连接。已知油缸内径D=350mmD=350mm，油压，油压p=1MPap=1MPa。螺栓许用应力。螺栓许用应力=40MPa=40MPa， 求螺栓的内径。求螺栓的内径。每个螺栓承受轴力为总压力的每个螺栓承受轴力为总压力的1/61/6解：解： 油缸盖受到的力油缸盖受到的力根据强度条件根据强度条件即螺栓的轴力为即螺栓的轴力为得得即即螺栓的直径为螺栓的直径为目目 录录2.7 2.7 失效、安全因数和强度计算失效、安全因数和强度计算例题例题2.52.5 ACAC为为505050505 5的等边角钢，的等边角钢，ABAB为为1010号号槽钢，槽钢，=120MPa=120MPa。确定许可载荷。确定许可载荷F F。解：解：1 1、计算轴力（设斜杆为、计算轴力（设斜杆为1 1杆，水平杆为杆，水平杆为2 2杆）用截面法取节点杆）用截面法取节点A A为研究对象为研究对象2 2、根据斜杆的强度，求许可载荷、根据斜杆的强度，求许可载荷A AF F查表得斜杆查表得斜杆ACAC的面积为的面积为A A1 1=2=24.8cm4.8cm2 2目目 录录2.7 2.7 失效、安全因数和强度计算失效、安全因数和强度计算3 3、根据水平杆的强度，求许可载荷、根据水平杆的强度，求许可载荷A AF F查表得水平杆查表得水平杆ABAB的面积为的面积为A A2 2=2=212.74cm12.74cm2 24 4、许可载荷、许可载荷目目 录录2.8 2.8 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形一一 纵向变形纵向变形二二 横向变形横向变形钢材的钢材的E E约为约为200GPa200GPa，约为约为0.250.250.330.33EAEA为抗拉刚度为抗拉刚度泊松比泊松比横向应变横向应变目目 录录 2.8 2.8 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形目目 录录2.8 2.8 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形目目 录录 对于变截面杆件（如阶梯对于变截面杆件（如阶梯杆），或轴力变化。则杆），或轴力变化。则例题例题2.62.6 ABAB长长2m, 2m, 面积为面积为200mm200mm2 2。ACAC面积为面积为250mm250mm2 2。E E=200GPa=200GPa。F F=10kN=10kN。试求节点。试求节点A A的位移。的位移。解：解：1 1、计算轴力。（设斜杆为、计算轴力。（设斜杆为1 1杆，水杆，水平杆为平杆为2 2杆）取节点杆）取节点A A为研究对象为研究对象2 2、根据胡克定律计算杆的变形。、根据胡克定律计算杆的变形。A AF F30300 02.8 2.8 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形斜杆伸长斜杆伸长水平杆缩短水平杆缩短目目 录录3 3、节点、节点A A的位移（以切代弧）的位移（以切代弧）2.8 2.8 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形A AF F30300 0目目 录录2.9 2.9 轴向拉伸或压缩的应变能轴向拉伸或压缩的应变能在在 范围内范围内,有有应变能（应变能（ ）：固体在外力作用下，因变形而储）：固体在外力作用下，因变形而储 存的能量称为应变能。存的能量称为应变能。目目 录录1lD2.10 2.10 拉伸、压缩超静定问题拉伸、压缩超静定问题 约束反力约束反力（轴力）可由（轴力）可由静力平衡方程静力平衡方程求得求得静定结构：静定结构：目目 录录2.10 2.10 拉伸、压缩超静定问题拉伸、压缩超静定问题 约束反力不能约束反力不能由平衡方程求得由平衡方程求得超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定度（次）数：超静定度（次）数： 约束反力多于约束反力多于独立平衡方程的数独立平衡方程的数独立平衡方程数：独立平衡方程数：平面任意力系：平面任意力系： 3 3个平衡方程个平衡方程平面共点力系：平面共点力系： 2 2个平衡方程个平衡方程目目 录录2.10 2.10 拉伸、压缩超静定问题拉伸、压缩超静定问题1 1、列出独立的平衡方程、列出独立的平衡方程超静定结构的求解方法：超静定结构的求解方法：2 2、变形几何关系、变形几何关系3 3、物理关系、物理关系4 4、补充方程、补充方程5 5、求解方程组，得、求解方程组，得例题例题2.72.7目目 录录图示结构，图示结构，1 、2杆抗拉刚度为杆抗拉刚度为E1A1 ，3杆抗拉刚杆抗拉刚度为度为E3A3 ，在外力，在外力F 作用下，求三杆轴力？作用下，求三杆轴力？2.10 2.10 拉伸、压缩超静定问题拉伸、压缩超静定问题例题例题2.82.8目目 录录 在图示结构中，设横梁在图示结构中，设横梁AB的的变形可以省略，变形可以省略，1，2两杆的横截两杆的横截面面积相等，材料相同。试求面面积相等，材料相同。试求1，2两杆的内力。两杆的内力。1 1、列出独立的平衡方程、列出独立的平衡方程解：解：2 2、变形几何关系、变形几何关系3 3、物理关系、物理关系4 4、补充方程、补充方程5 5、求解方程组得、求解方程组得2.11 2.11 温度应力和装配应力温度应力和装配应力一、温度应力一、温度应力已知：已知：材料的线胀系数材料的线胀系数温度变化（升高）温度变化（升高）1、杆件的温度变形（伸长）、杆件的温度变形（伸长）2、杆端作用产生的缩短、杆端作用产生的缩短3、变形条件、变形条件4、求解未知力、求解未知力即即温度应力为温度应力为目目 录录2.11 2.11 温度应力和装配应力温度应力和装配应力二、装配应力二、装配应力已知：已知：加工误差为加工误差为求：各杆内力。求：各杆内力。1 1、列平衡方程、列平衡方程2 2、变形协调条件、变形协调条件3 3、将物理关系代入、将物理关系代入解得解得因因目目 录录2.12 2.12 应力集中的概念应力集中的概念 常见的油孔、沟槽常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中突变处将产生应力集中现象。即现象。即理论应力理论应力集中因数集中因数1 1、形状尺寸的影响：、形状尺寸的影响： 2 2、材料的影响：、材料的影响： 应力集中对塑性材料的影响应力集中对塑性材料的影响不大；不大；应力集中对脆性材料的影应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。响严重，应特别注意。目目 录录 尺寸变化越急剧、角尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。的程度越严重。一一. .剪切的实用计算剪切的实用计算2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算铆钉连接铆钉连接剪床剪钢板剪床剪钢板F FF F目目 录录销轴连接销轴连接2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算剪切受力特点：剪切受力特点：作用在构件两侧面上的外力合作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：变形特点：位于两力之间的截面发生相对错动。位于两力之间的截面发生相对错动。目目 录录F FF F2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算F FnnF FF Fs snF FnF Fs snnF FF Fs sF Fs snnF Fmm目目 录录2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算 假设切应力在剪切面假设切应力在剪切面（m-m m-m 截面）上是均匀分截面）上是均匀分布的布的, , 得实用切应力计算得实用切应力计算公式：公式：切应力强度条件：切应力强度条件：许用切应力，常由实验方法确定许用切应力，常由实验方法确定塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：目目 录录二二. .挤压的实用计算挤压的实用计算 假设应力在挤压面上是假设应力在挤压面上是均匀分布的均匀分布的得实用挤压应力公式得实用挤压应力公式* *注意挤压面面积的计算注意挤压面面积的计算F FF F2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算挤压力挤压力 Fbs= F（1 1）接触面为平面）接触面为平面Abs实际接触面面积实际接触面面积（2 2）接触面为圆柱面）接触面为圆柱面Abs直径投影面面积直径投影面面积目目 录录塑性材料：塑性材料：脆性材料：脆性材料：2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算挤压强度条件：挤压强度条件：许用挤压应力，常由实验方法确定许用挤压应力，常由实验方法确定(a(a) )d(b(b) )d(c(c) )目目 录录2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算目目 录录 为充分利用材为充分利用材料，切应力和挤压料，切应力和挤压应力应满足应力应满足2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算得：得：目目 录录 图示接头，受轴向力图示接头，受轴向力F F 作作用。已知用。已知F F=50kN=50kN，b b=150mm=150mm，=10mm=10mm，d d=17mm=17mm，a=80mm=80mm， =160MPa=160MPa， =120MPa=120MPa， bsbs=320MPa=320MPa，铆钉和板，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。的材料相同，试校核其强度。 2. 2.板的剪切强度板的剪切强度解：解：1.1.板的拉伸强度板的拉伸强度2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算例题例题3-13-1目目 录录3.3.铆钉的剪切强度铆钉的剪切强度 4.4.板和铆钉的挤压强度板和铆钉的挤压强度 结论：强度足够。结论：强度足够。2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算目目 录录2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算例题例题3-23-2平键连接平键连接 图示齿轮用平键与轴连接，图示齿轮用平键与轴连接，已知轴的直径已知轴的直径d=70mmd=70mm，键的尺寸，键的尺寸为为 ，传递的扭转力偶矩传递的扭转力偶矩M Me e=2kN=2kNm m，键的，键的许用应力许用应力 =60MPa=60MPa， = = 100MPa100MPa。试校核键的强度。试校核键的强度。OF FdMen nhb(a)(a)FSMennO(b)(b)0.5h0.5hFSnnb b(c)(c)目目 录录2-13 2-13 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算解解：（1 1）校核键的剪切强度）校核键的剪切强度由平衡方程由平衡方程得得（2 2）校核键的挤压强度）校核键的挤压强度由平衡方程得由平衡方程得或或平键满足强度要求。平键满足强度要求。目目 录录小结小结1.1.轴力的计算和轴力图的绘制轴力的计算和轴力图的绘制2.2.典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能 及相关指标及相关指标3.3.横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算4.4.拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移5.5.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法目目 录录6.6.剪切变形的特点剪切变形的特点, ,剪切实用计算剪切实用计算, ,挤压实用计算挤压实用计算第三章第三章 扭扭 转转第三章第三章 扭扭 转转3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3 3.3 纯剪切纯剪切3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念汽车传动轴汽车传动轴3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例汽车方向盘汽车方向盘3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 杆件受到大小相等杆件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用面垂直于杆件轴线的力偶作用, , 杆件的横截杆件的横截面绕轴线产生相对转动。面绕轴线产生相对转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴圆轴扭转扭转。扭转受力特点扭转受力特点及变形特点及变形特点: :3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例直接计算直接计算1.1.外力偶矩外力偶矩3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：已知已知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me e3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图T = Me2.2.扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图用截面法研究横用截面法研究横截面上的内力截面上的内力扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-)3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图扭矩图扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图解解: :(1)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩例题例题3.13.13.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 传动轴传动轴, ,已知转速已知转速 n=300r/min,n=300r/min,主动轮主动轮A A输入功率输入功率P PA A=45kW,=45kW,三个从动轮输出功率分别为三个从动轮输出功率分别为 P PB B=10kW,P=10kW,PC C=15kW,=15kW,P PD D=20kW.=20kW.试绘轴的扭矩图试绘轴的扭矩图. .由公式由公式(2)(2)计算扭矩计算扭矩(3)(3) 扭矩图扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 传动轴上主、传动轴上主、从动轮安装的位从动轮安装的位置不同，轴所承置不同，轴所承受的最大扭矩也受的最大扭矩也不同。不同。A AB BC CD DA A318N318N. .m m795N795N. .m m1432N1432N. .m m3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.3 3.3 纯剪切纯剪切一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力 将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分；周线划分；两端施以大小相等方向相反一两端施以大小相等方向相反一对力偶矩对力偶矩。 圆周线大小形状不变，各圆周线间距圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变；离不变；纵向平行线仍然保持为直线且纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。相互平行，只是倾斜了一个角度。观察到：观察到：结果说明横截面上没有正应力结果说明横截面上没有正应力3.3 3.3 纯剪切纯剪切 采用截面法将圆筒截开，横截面采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行的切应力。由于上分布有与截面平行的切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分布。分布。由平衡方程由平衡方程 ，得，得二、切应力互等定理二、切应力互等定理3.3 3.3 纯剪切纯剪切 在相互垂直在相互垂直的两个平面上，的两个平面上，切应力必然成对切应力必然成对存在，且数值相存在，且数值相等；两者都垂直等；两者都垂直于两个平面的交于两个平面的交线，方向则共同线，方向则共同指向或共同背离指向或共同背离这一交线。这一交线。纯剪切纯剪切 各个截面上只有切应各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为力没有正应力的情况称为纯剪切纯剪切切应力互等定理：切应力互等定理：3.3 3.3 纯剪切纯剪切三、切应变三、切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律 在切应力的作用下，在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量的改变，这个改变量 称为称为切应变。切应变。 当切应力不超过材料当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应的剪切比例极限时，切应变变 与切应力与切应力成正比，成正比，这个关系称为这个关系称为剪切胡克定剪切胡克定律律。G 剪切弹性模量剪切弹性模量(GN/m2) 各向同性材料，各向同性材料，三个弹性常数之间的三个弹性常数之间的关系：关系：3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力1.1.变形几何关系变形几何关系观察变形：观察变形： 圆周线长度形状不变，各圆周线间圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；度；纵向平行线仍然保持为直线且相互纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个平行，只是倾斜了一个微小微小角度。角度。圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转的平面假设： 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。且相邻两截面间的距离不变。M Me ex xppqqM Me ex xppqqM Me eM Me e3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力扭转角（扭转角（radrad）dxdx微段两截面的微段两截面的相对扭转角相对扭转角边缘上边缘上a a点的错动距离：点的错动距离：边缘上边缘上a a点的切应变：点的切应变： 发生在垂直于半径的平面内。发生在垂直于半径的平面内。MeppqqMedcabbppqq3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力距圆心为距圆心为的圆周的圆周上上e e点的错动距离：点的错动距离：距圆心为距圆心为处的处的切应变：切应变：也发生在垂直于也发生在垂直于半径的平面内。半径的平面内。扭转角扭转角 沿沿x x轴的变化率。轴的变化率。dcabbppqqee3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力2.2.物理关系物理关系根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律距圆心为距圆心为 处的处的切应力：切应力：垂直于半径垂直于半径横截面上任意点的切应力横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离 成正比。成正比。3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.3.静力关系静力关系横截面对形心的极惯性矩横截面对形心的极惯性矩3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力公式适用于：公式适用于：1 1）圆杆）圆杆2 2）令令抗扭截面系数抗扭截面系数 在圆截面边缘上，在圆截面边缘上，有最大切应力有最大切应力 横截面上某点的切应力的方向与扭横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。大小与其和圆心的距离成正比。实心轴实心轴3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力与与 的计算的计算空心轴空心轴令令则则3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力实心轴与空心轴实心轴与空心轴 与与 对比对比3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力扭转强度条件：扭转强度条件：1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴：2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力强度条件的应用强度条件的应用（1）校核强度）校核强度（2）设计截面）设计截面（3）确定载荷）确定载荷3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力例例3.23.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D D=89=89mmmm、壁厚壁厚 =2.5=2.5mmmm，材料为材料为2020号钢，使用时号钢，使用时的的最大扭矩最大扭矩T=T=19301930N Nm m, , =70=70MPaMPa. .校核此轴校核此轴的强度。的强度。解：（解：（解：（解：（1 1 1 1）计算抗扭截面模量）计算抗扭截面模量）计算抗扭截面模量）计算抗扭截面模量cmcm3 3（2 2） 强度校核强度校核强度校核强度校核 满足强度要求满足强度要求满足强度要求满足强度要求3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力例例3.33.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。并比较实心轴和空心轴的重量。解：解：当实心轴和空心轴的最大应力同当实心轴和空心轴的最大应力同 为为 时，两轴的许可扭矩分别为时，两轴的许可扭矩分别为若两轴强度相等，则若两轴强度相等，则T T1 1=T=T2 2 ，于是有于是有 3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。积之比。可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的3131% % 。实心轴和空心轴横截面面积为实心轴和空心轴横截面面积为已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最大切应力最大切应力不不得超过得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的内外直径之比空心圆轴的内外直径之比 = = 0.50.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D D2 2；确；确定二轴的重量之比。定二轴的重量之比。解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴例题例题3.43.43.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力空心轴空心轴d20.5D2=23 mm3.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比： 实心轴实心轴d d1 1=45 mm=45 mm空心轴空心轴D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mmP P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩例题例题3.53.533.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力；横截面上的最大切应力； 并校核各轴强度。并校核各轴强度。已知：已知：输入功率输入功率P P1 114kW,14kW,P P2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2，n n1 1= =n n2 2=120r/min,=120r/min, z z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm, =70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm.=35mm. =30=30MPaMPa。. .T T1 1=M=M1 1=1114 N m=1114 N mT T2 2=M=M2 2=557 N m=557 N mT T3 3=M=M3 3=185.7 N m=185.7 N m3 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大切应力；最大切应力；校核各轴校核各轴 强度强度33.4 3.4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力满足强度要求。满足强度要求。满足强度要求。满足强度要求。相对扭转角相对扭转角抗扭刚度抗扭刚度3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形单位长度扭转角单位长度扭转角扭转刚度条件扭转刚度条件3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形许用单位扭转角许用单位扭转角rad/mrad/m/ /m m扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T T 、D D 和和 ，校核强度校核强度已知已知T T 和和 ，设计截面设计截面已知已知D D 和和 ，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T T 、D D 和和 / / ，校核刚度校核刚度已知已知T T 和和 / / ，设计截面设计截面已知已知D D 和和 / / ，确定许可载荷确定许可载荷3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形例题例题3.63.63.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 某传动轴所承受的扭矩某传动轴所承受的扭矩T=200NmT=200Nm，轴的直径轴的直径d=40mmd=40mm，材料的材料的 =40MPa=40MPa，剪剪切弹性模量切弹性模量G=80GPaG=80GPa，许可单位长度转角许可单位长度转角 / /=1 =1 / /m m。试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。 传动轴的转速为传动轴的转速为n=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P1=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和和BC BC 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3)(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ?解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例题例题3.73.73.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 2.2.扭矩图扭矩图 按刚度条件按刚度条件3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 按刚度条件按刚度条件4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 5.5.选同一直径时选同一直径时3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 6.6.将将主动轮安装在主动轮安装在两从动轮之间两从动轮之间受力合理受力合理3.5 3.5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念 平面假设不成立。变形后横截面成为一个平面假设不成立。变形后横截面成为一个凹凸不平的曲面，这种现象称为翘曲。凹凸不平的曲面，这种现象称为翘曲。自由扭转自由扭转（截面翘曲不受约束）（截面翘曲不受约束）约束扭转约束扭转（各截面翘曲不同）（各截面翘曲不同）3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。都与截面边界相切。开口开口/ /闭口薄壁杆件扭转比较闭口薄壁杆件扭转比较3.7 3.7 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念小结小结1 1、受扭物体的受力和变形特点、受扭物体的受力和变形特点2 2、扭矩计算，扭矩图绘制、扭矩计算，扭矩图绘制3 3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算4 4、圆轴扭转时的变形及刚度计算、圆轴扭转时的变形及刚度计算第四章第四章 弯曲内力弯曲内力目录第四章第四章 弯曲内力弯曲内力v4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例v4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化v4-3 4-3 剪力和弯矩剪力和弯矩v4-4 4-4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图v4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系v4-6 4-6 平面曲杆的弯曲内力平面曲杆的弯曲内力目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例起重机大梁起重机大梁目录车削工件车削工件目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例火车轮轴火车轮轴目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例弯曲特点弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲: 弯曲变形后的轴线为平面曲线弯曲变形后的轴线为平面曲线, 且该且该 平面曲线仍与外力共面平面曲线仍与外力共面。目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例对称弯曲对称弯曲常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例梁的载荷与支座梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化目录目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化火车轮轴简化火车轮轴简化目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化非均匀分布载荷非均匀分布载荷目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式静定梁的基本形式目录4-2 4-2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化FNFSM F FS S剪力剪力，平行于，平行于横截面的内力合力横截面的内力合力 M M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力系的合力偶矩合力偶矩FByFNFSM4-3 剪力和弯矩目录FAyFAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对所选梁截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为段上任意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为为负。负。+_ 截面上的弯矩截面上的弯矩使得梁呈使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。4-3 剪力和弯矩 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负目录+_解：解： 1. 确定支反力确定支反力FAyFBy2. 用截面法研究内力用截面法研究内力FAyFSEME目录例题例题4-14-1FAy4-3 剪力和弯矩FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO目录4-3 剪力和弯矩FAyFBy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。目录FAyFSE2FFSE4-3 剪力和弯矩FAyFBy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。目录MEFAy2FME4-3 剪力和弯矩q悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：任任选选一一截截面面x x ，写写出出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x依方程画出剪力依方程画出剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxl由由剪剪力力图图、弯弯矩矩图图可可见见。最最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为目录例题例题4-24-2qx4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力F FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题例题4-34-34-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图BAlF FAYAYF FBYBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力FAyM / l FBy -M / l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3. 3. 依方程画出依方程画出剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。CMab目录例题例题4-44-44-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图BAlF FAYAYq qF FBYBY简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力FAy FBy ql/22 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程yxCx3.3.依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx目录例题例题4-54-54-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图Bqly 已知平面刚架上的均布载荷集度已知平面刚架上的均布载荷集度q, ,长度长度l。试：画出刚架的内力图。试：画出刚架的内力图。例题例题4-6解：解：1 1、确定约束力、确定约束力2 2、写出各段的内力方程、写出各段的内力方程竖杆竖杆ABAB：A A点向上为点向上为y yBqlyFN(y)FS(y)M(y)平面刚架的内力平面刚架的内力目录横杆横杆CBCB：C C点向左为点向左为x xBqlyBFN(x)M(x)xFS(x)x平面刚架的内力平面刚架的内力目录竖杆竖杆ABAB：Bqly根据各段的内力方程画内力图根据各段的内力方程画内力图横杆横杆CBCB：MFNFSql平面刚架的内力平面刚架的内力目录4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：目录载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：1.1.q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为水平直线；剪力图为水平直线； M M(x) (x) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线； M M(x) (x) 为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 5 （细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲近似成立。 横力弯曲横力弯曲横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ =0=0弹性变形阶段弹性变形阶段公式适用范围公式适用范围弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件1.1.等截面梁弯矩最大的截面上等截面梁弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力F FAYAYF FBYBYBAl = 3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径FSx90kN90kN1. 求支反力求支反力（压应力）（压应力）解：解：例题5-1目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.2.C C 截面最大正应力截面最大正应力C C 截面弯矩截面弯矩C C 截面惯性矩截面惯性矩目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN3. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩截面惯性矩截面惯性矩目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN4. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩C 截面惯性矩截面惯性矩目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力分析（分析（1 1）（2 2）弯矩）弯矩 最大的截面最大的截面（3 3）抗弯截面系数）抗弯截面系数 最最 小的截面小的截面 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知材料的许用应力材料的许用应力例题5-2目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力（3 3）B B截面，截面，C C截面需校核截面需校核（4 4）强度校核）强度校核B B截面：截面：C C截面：截面：（5 5）结论）结论 轴满足强度要求轴满足强度要求（1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图F Fa aF Fb b解：解：目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力分析分析（1 1）确定危险截面）确定危险截面（3 3）计算）计算（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力材料的许用应力起重量起重量跨度跨度试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。（2 2）例题5-3目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（5 5）讨论）讨论（3 3）根据）根据计算计算 （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图解：解：36c36c工字钢工字钢目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足要同时满足分析：分析：非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。例题5-4目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图目录5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力梁满足强度要求梁满足强度要求5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录xdxxyPmq(x)ABmnm1n1分几种截面形状讨论弯曲切应力分几种截面形状讨论弯曲切应力一、矩形截面梁一、矩形截面梁1 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力、横截面上各点的切应力方向平行于剪力2 2、切应力沿截面宽度均匀分布、切应力沿截面宽度均匀分布关于切应力的分布作两点假设：关于切应力的分布作两点假设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录dxm1n1nmMM+dMypp1m1n1mndxpp1q1qydAFN1FN2zyy1讨论部分梁的平衡讨论部分梁的平衡5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力m1n1mndxpp1q1qydAFN1FN2zyy15-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录横力弯曲截面发生翘曲横力弯曲截面发生翘曲切应变切应变PP5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力 若各截面若各截面 Fs Fs 相等，则翘曲程度相同，纵向纤维长度不变，对相等，则翘曲程度相同，纵向纤维长度不变，对 计算计算无影响。无影响。 若各截面若各截面FsFs不等（如有不等（如有q q作用），则翘曲程度不同，各纵向纤维长度发作用），则翘曲程度不同，各纵向纤维长度发生变化，对生变化，对 计算有影响。但这种影响对计算有影响。但这种影响对 梁常可忽略。梁常可忽略。5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力二、圆形截面梁二、圆形截面梁Fs5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录Fs三、工字型截面梁三、工字型截面梁Bb0hh0zyy实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较对于直径为对于直径为 d d 的圆截面的圆截面maxmax = 6 ( l / d )5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录（l 为梁的跨度）为梁的跨度）实心截面梁正应力与切应力比较实心截面梁正应力与切应力比较对于宽为对于宽为b、高为高为h的矩形截面的矩形截面maxmax = 4 ( l / h )5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力目录（l 为梁的跨度）为梁的跨度）l 梁的跨度较短梁的跨度较短（l / h b。解解1 1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：2 2）弯矩方程）弯矩方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分AC AC 段：段：CB CB 段：段：6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，令令 得，得，6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形目录6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有： 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：所以，所以，7-4目录故故由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是和。这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录例例3 3 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均均为已知。求为已知。求C C 截面的挠度截面的挠度y yC C ；B B截面的转截面的转角角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的挠度和截面的挠度和B B截截面的转角面的转角。解解6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录3 3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和果求和 6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录yC1yC2yC3例例4 4 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形的情形 为了利用梁全长承受均布载荷的为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集度相同、段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。方向相反的均布载荷。 解解6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录3 3）将结果叠加）将结果叠加 2 2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自的情形，计算各自C C截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。 6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变比较变形，列变形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力。静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6目录解解例例6 6 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统目录3 3）进行变形比较，列出变形协调条件）进行变形比较，列出变形协调条件6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁4 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 所以所以5 5）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁例例7 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度均为两端固定，梁的抗弯刚度均为EIEI，F F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m= 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。梁。变形协调方程为：变形协调方程为：FBMMA AF FA AyB1 FBMMC CF FC CyB2物理关系物理关系解解目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CyB1yB2代入得补充方程：代入得补充方程：确定确定A A 端约束力端约束力目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CyB1yB2确定确定C C 端约束力端约束力目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁MMA AF FA AMMC CF FC CA A、C C 端约束力已求出端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图目录6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状目录6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式目录6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施2 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型目录6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施3 3）采用超静定结构）采用超静定结构目录6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施目录6-6 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施小结小结1 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3 3、学会用变形比较法解简单超静定问题、学会用变形比较法解简单超静定问题目录第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析强度理论强度理论 7-1 7-1 应力状态的概念应力状态的概念 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析-n-n图解法图解法 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律 7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析强度理论强度理论低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铸 铁铁问题的提出问题的提出71 应力状态的概念应力状态的概念目录脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁71 应力状态的概念应力状态的概念目录 横横截截面面上上正正应应力力分分析析和和切切应应力力分分析析的的结结果果表表明明：同同一一面面上上不不同同点点的的应应力力各各不不相相同同，此此即即应应力力的的点点的的概概念念。71 应力状态的概念应力状态的概念横力弯曲横力弯曲 直杆拉伸应力分析结果表明：即直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即不相同的，此即应力的面的概念应力的面的概念。71 应力状态的概念应力状态的概念 直杆拉伸直杆拉伸F laS71 应力状态的概念应力状态的概念目录S S S S平面平面平面平面zMzT4321yx13yxz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体称为该单元体称为主应力单元体。主应力单元体。71 应力状态的概念应力状态的概念目录71 应力状态的概念应力状态的概念目录（1 1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2 2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零（3 3）空间应力状态：三个主应力都不等于零）空间应力状态：三个主应力都不等于零平面应力状态和空间应力状态统称为平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态复杂应力状态Fl/2l/2S平面平面71 应力状态的概念应力状态的概念S平面平面543211232t t1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力d dA An nt t 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法目录x xy y列平衡方程列平衡方程d dA An nt t目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法利用三角函数公式利用三角函数公式并注意到并注意到 化简得化简得目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法2.2.正负号规则正负号规则正应力：正应力：正应力：正应力：拉为正；压为负拉为正；压为负切应力：切应力：切应力：切应力：使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角：角：角：角：由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。ntx目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法x xy y确定正应力极值确定正应力极值设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即3. 正正应力极值和方向应力极值和方向即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：主应力按代数值排序：1 1 2 2 3 3目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 已知已知目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法解：解： （1 1） 斜面上的应力斜面上的应力 目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面 目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法主平面的方位：主平面的方位： 代入代入 表达式可知表达式可知主应力主应力 方向：方向：主应力主应力 方向：方向：目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法（3 3）主应力单元体：）主应力单元体： 目录 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法 7-3 7-3 二向应力状态分析二向应力状态分析- -解析法解析法此现象称为纯剪切此现象称为纯剪切 纯剪切应力状态纯剪切应力状态或或这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法目录RC1.1.应力圆：应力圆：目录 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法2.2.应力圆的画法应力圆的画法D( x ,t txy)D/( y ,t tyx)cRADx xy y目录 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一截面上的正应力和切应力微元某一截面上的正应力和切应力3 3、几种对应关系、几种对应关系D( x ,t txy)D/( y ,t tyx)cx xy yHn nH目录 7-4 7-4 二向应力状态分析二向应力状态分析- -图解法图解法定义定义三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态目录由三向应力圆可以看出：由三向应力圆可以看出：结论：结论：代表单元体任意斜代表单元体任意斜截面上应力的点，截面上应力的点，必定在三个应力圆必定在三个应力圆圆周上或圆内。圆周上或圆内。2130 0 7-5 7-5 三向应力状态三向应力状态目录1. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律yx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律目录2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律目录=+ 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律目录3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式 7-8 7-8 广义胡克定律广义胡克定律目录（拉压）（拉压）（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）（切应力强度条件）（切应力强度条件）杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论目录满足满足是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论强度理论：强度理论： 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。的关于材料破坏原因的假设及计算方法。目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论最大切应力理论和形状改变比能理论 (2) (2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论1. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论） 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。坏拉应力数值。 断裂条件断裂条件强度条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论2. 2. 最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。拉伸时的破坏伸长应变数值。 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。强度条件强度条件最大伸长拉应变理论（第二强度理论）最大伸长拉应变理论（第二强度理论）断裂条件断裂条件即即目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论屈服条件屈服条件强度条件强度条件最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。局限性：局限性： 2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。4. 4. 形状改变比形状改变比能理论能理论（第四强度理论）（第四强度理论） 构件危险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论屈服条件屈服条件强度条件强度条件形状改变比形状改变比能理论（第四强度理论）能理论（第四强度理论）实验表明：实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式：相当应力相当应力目录7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论7-11 7-11 四种常用强度理论四种常用强度理论例题例题 已知：已知： 和和 。试写出。试写出最大切应力最大切应力 准则准则和和形状改变比能准则形状改变比能准则的表达式。的表达式。解：解：首先确定主应力首先确定主应力第八章第八章 组合变形组合变形目录第八章第八章 组合变形组合变形8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合8-3 8-3 斜弯曲斜弯曲8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合目录目录8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理压弯组合变形压弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例10-1目录拉弯组合变形拉弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例目录8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理弯扭组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例目录8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理叠加原理叠加原理 构件在小变形和服从胡克定理的条件下，构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的独立性原理是成立的。即力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用所有载荷作用下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作用下的值的叠加用下的值的叠加 解决组合变形的基本方法是将其分解为解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基本变形；几种基本变形；分别考虑各个基本变形时构分别考虑各个基本变形时构件的内力、应力、应变等；最后进行叠加。件的内力、应力、应变等；最后进行叠加。目录8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理研究内容研究内容斜弯曲斜弯曲拉（压）弯组合变形拉（压）弯组合变形 弯扭组合变形弯扭组合变形外力分析外力分析内力分析内力分析应力分析应力分析目录8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理F laS+=8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合10-3目录+=+=目录8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力 t t 30MPa30MPa，许用压应力，许用压应力 c c 120MPa120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷。试按立柱的强度计算许可载荷F F。 解：解：（1 1）计算横截面的形心、）计算横截面的形心、 面积、惯性矩面积、惯性矩（2 2）立柱横截面的内力）立柱横截面的内力例题例题8-18-1目录8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合（3 3）立柱横截面的最大应力）立柱横截面的最大应力目录8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合 （4 4）求压力）求压力F F目录8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲8-3 8-3 斜斜 弯弯 曲曲目录8-3 8-3 斜斜 弯弯 曲曲目录(1) (1) 内力分析内力分析坐标为坐标为x x的任意截面上的任意截面上固定端截面固定端截面x8-3 8-3 斜斜 弯弯 曲曲(2) (2) 应力分析应力分析 x x 截面上任意一点（截面上任意一点（y y，z z）正应力正应力8-3 8-3 斜斜 弯弯 曲曲目录中性轴上中性轴上中性轴方程中性轴方程D1点：D2点：强度条件：强度条件：8-3 8-3 斜斜 弯弯 曲曲目录固定端截面固定端截面挠度：正方形8-3 8-3 斜斜 弯弯 曲曲ffzfy目录矩形斜弯曲斜弯曲平面弯曲平面弯曲F laS13目录8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合S S S S平面平面平面平面zMzT4321yx13目录8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合第三强度理论：第三强度理论：目录8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合圆截面圆截面第四强度理论：第四强度理论：目录8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合第三强度理论：第三强度理论：第四强度理论：第四强度理论：塑性材料的圆截面轴塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形弯扭组合变形 式中式中W W 为抗弯截面系数，为抗弯截面系数，M M、T T 为轴危险截面为轴危险截面的的弯矩和扭矩弯矩和扭矩目录8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩Me e=300Nm=300Nm。两轴承中。两轴承中间的齿轮半径间的齿轮半径R=200mmR=200mm，径向啮合力，径向啮合力F F1 1=1400N=1400N，轴的材料许用应力，轴的材料许用应力=100=100MPa。试按第三强度理论设计轴的直径。试按第三强度理论设计轴的直径d d。 解：解：（1 1）受力分析，作计算简图）受力分析，作计算简图例题例题8-28-2目录8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合（2 2）作内力图）作内力图危险截面：危险截面：E E 左处左处目录8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合目录8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合（3 3）应力分析，由强度条件设计）应力分析，由强度条件设计d d目录8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合小结小结1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法、了解组合变形杆件强度计算的基本方法2、掌握斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆件、掌握斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆件 的应力和强度计算的应力和强度计算3、了解平面应力状态应力分析的主要结论、了解平面应力状态应力分析的主要结论4、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算条件和强度计算目录第九章第九章压杆稳定压杆稳定第九章第九章 压杆稳定压杆稳定目录9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式9.5 9.5 压杆的稳定压杆的稳定校核校核9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的其他支座条件下细长压杆的 临界压力临界压力9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能力，要从三个方面来在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能力，要从三个方面来考虑：强度、刚度、稳定性。考虑：强度、刚度、稳定性。 稳定性稳定性 构件在外力作用下，保持其原有构件在外力作用下，保持其原有平衡状态的能力。平衡状态的能力。目录9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 工程实际中有许多稳定性问题，但本章主要讨论压杆稳定问题，这类问工程实际中有许多稳定性问题，但本章主要讨论压杆稳定问题，这类问题表现出与强度问题截然不同的性质。题表现出与强度问题截然不同的性质。F目录不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来的微小扰动就使小球远离原来的平衡位置平衡位置 微小扰动使小球离开原来的平衡微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置位置目录9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念压力等于临界力压力等于临界力压力大于临界力压力大于临界力压力小于临界力压力小于临界力目录 压杆丧失压杆丧失直线直线状态的平衡状态的平衡，过渡，过渡到到曲线状态的平衡曲线状态的平衡。称为丧失稳定，简称为丧失稳定，简称称失稳，失稳，也称为也称为屈屈曲曲压力等于临界力压力等于临界力压杆的稳定性试验压杆的稳定性试验9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念目录 临界压力临界压力 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。最小轴向压力。9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程弯矩弯矩令令则则通解通解目录9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力边界条件：边界条件：若若则则（与假设矛盾）（与假设矛盾）所以所以目录9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力得得当当 时，时，临界压力临界压力欧拉公式欧拉公式挠曲线方程挠曲线方程目录1、适用条件：、适用条件：理想压杆（轴线为直线，压力与轴线理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）重合，材料均匀）线弹性，小变形线弹性，小变形两端为铰支座两端为铰支座9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力-欧拉公式欧拉公式2 2、杆长，杆长，F Fcrcr小，易失稳小，易失稳刚度小，刚度小，F Fcrcr小，易失稳小，易失稳3 3、在、在 F Fcrcr作用下，作用下，挠曲线为一条半波正弦曲线挠曲线为一条半波正弦曲线即即 A A 为跨度中点的挠度为跨度中点的挠度目录例题例题解：截面惯性矩临界压力9.2 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力目录9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力一端固定一端自由一端固定一端自由对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：1 1、从挠曲线微分方程入手、从挠曲线微分方程入手2 2、比较变形曲线、比较变形曲线目录9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力ABCABCD两端固定两端固定一端固定一端固定一端铰支一端铰支目录9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力长度系数长度系数（无量纲）（无量纲）相当长度（相当于两端铰支杆）相当长度（相当于两端铰支杆）欧拉公式的普遍形式：欧拉公式的普遍形式：两端铰支两端铰支xyO目录9.3 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力其他支座条件下细长压杆的临界压力目录9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式1 1、临界应力、临界应力目录9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式欧拉公式只适用于大柔度压杆欧拉公式只适用于大柔度压杆杆长杆长约束条件约束条件截面形状尺寸截面形状尺寸 集中反映了杆长、约束条件、截面集中反映了杆长、约束条件、截面形状尺寸对形状尺寸对 的影响。的影响。2 2、欧拉公式适用范围、欧拉公式适用范围当当即即令令目录3 3、中小柔度杆临界应力计算、中小柔度杆临界应力计算(小柔度杆小柔度杆)(中柔度杆中柔度杆)9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式a、b 材料常数材料常数当当即即经验公式经验公式（直线公式）（直线公式）令令目录压杆柔度压杆柔度四种取值情况，四种取值情况，临界柔度临界柔度 比例极限比例极限 屈服极限屈服极限(小柔度杆小柔度杆)(中柔度杆中柔度杆)临界应力临界应力(大柔度杆大柔度杆)欧拉公式欧拉公式直线公式直线公式强度问题强度问题9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式目录9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式临界应力总图临界应力总图目录9.4 9.4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式目录 稳定安全系数稳定安全系数工作安全系数工作安全系数9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核压杆稳定性条件压杆稳定性条件或或 压杆临界压力压杆临界压力 压杆实际压力压杆实际压力目录解：解：CDCD梁梁ABAB杆杆9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核 已知拖架已知拖架D D处承受载荷处承受载荷F=10kNF=10kN。ABAB杆外径杆外径D=50mmD=50mm，内径内径d=40mmd=40mm，材料为，材料为Q235Q235钢，钢，E=200GPaE=200GPa， =100=100，nnstst=3=3。校核校核ABAB杆的稳定性。杆的稳定性。例题例题目录ABAB杆杆ABAB为大柔度杆为大柔度杆ABAB杆满足稳定性要求杆满足稳定性要求9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核目录 千斤顶如图所示，丝杠长度千斤顶如图所示，丝杠长度l=37.5cml=37.5cm，内径内径d=4cmd=4cm，材料为，材料为4545钢。最大起重量钢。最大起重量F=80kNF=80kN，规定的稳定安全系数，规定的稳定安全系数n nstst=4=4。试校。试校核丝杠的稳定性。核丝杠的稳定性。例题例题9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核（1 1）计算柔度）计算柔度查得查得4545钢的钢的 2 2=60=60， 1 1=100=100， 2 2 1 1 故可用欧拉公式计算。故可用欧拉公式计算。其柔度为其柔度为9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核目录7m12cm20cmyz7my20cm12cmz9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核（2 2）计算）计算xoyxoy平面内的临界力平面内的临界力 及临界应力。及临界应力。如图（如图（b b）, ,截面的惯性矩为截面的惯性矩为两端固定时长度系数两端固定时长度系数柔度为柔度为目录7m12cm20cmyz7my20cm12cmz 应用经验公式计算其临界应力应用经验公式计算其临界应力, ,查表查表得得 9.5 9.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核则则临界压力为临界压力为木柱的临界压力木柱的临界压力临界应力临界应力目录7m12cm20cmyz7my20cm12cmz欧拉公式欧拉公式越大越稳定越大越稳定减小压杆长度减小压杆长度 l减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束）增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）增大弹性模量增大弹性模量 E（合理选择材料）（合理选择材料）9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施目录减小压杆长度减小压杆长度 l9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施目录减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束）9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施目录增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）9.6 9.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施目录小结小结1 1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界 载荷的概念载荷的概念2 2、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大 柔度、中柔度、小柔度压杆的原则柔度、中柔度、小柔度压杆的原则3 3、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的 类别选用合适的公式计算临界应力类别选用合适的公式计算临界应力4 4、掌握简单压杆的稳定计算方法、掌握简单压杆的稳定计算方法5 5、了解提高压杆稳定性的主要措施、了解提高压杆稳定性的主要措施目录第十章第十章 动载荷动载荷第十章第十章 动载荷动载荷10-1 概述10-2 动静法的应用10-4 杆件受冲击时的应力和变形实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限，实验证明，在动载荷作用下，如构件的应力不超过比例极限，胡克定律仍然适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量与胡克定律仍然适用于动载荷下应力、应变的计算，弹性模量与静载下的数值相同。静载下的数值相同。构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。构件中因动载荷而引起的应力称为动应力。静载荷：静载荷：在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。目录10-1 概概 述述动载荷：动载荷：载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。载荷由零缓慢增加至最终值，然后保持不变。载荷随时间变化而变化。载荷随时间变化而变化。一、构件做等加速直线运动一、构件做等加速直线运动图示梁上有一个吊车，现在问图示梁上有一个吊车，现在问3 3个问题个问题1.1.物体离开地面，静止地由绳索吊挂物体离开地面，静止地由绳索吊挂2.2.物体匀速地向上提升物体匀速地向上提升3.3.物体以加速度物体以加速度a a向上提升向上提升10-2 动静法的应用目录求这求这3 3种情况下的绳索应力种情况下的绳索应力？1. 1. 物体离开地面，静止地由绳索吊挂物体离开地面，静止地由绳索吊挂绳子：目录与第一个问题等价2. 2. 物体匀速地向上提升物体匀速地向上提升目录或者说，按达郎伯原理（动静法）：质点上所有外力同惯或者说，按达郎伯原理（动静法）：质点上所有外力同惯性力形成平衡力系。性力形成平衡力系。惯性力大小为惯性力大小为mama，方向与加速度，方向与加速度a a相反相反按牛顿第二定律按牛顿第二定律3. 3. 物体以加速度物体以加速度a a向上提升向上提升绳子动载应力绳子动载应力( (动载荷下应力动载荷下应力) )为：为：动应力动应力动荷系数动荷系数其中其中例例10-110-1：吊笼重量为：吊笼重量为Q Q；钢索横截面面积为；钢索横截面面积为A A，单，单位体积的重量为位体积的重量为 ，求吊索任意截面上的应力。，求吊索任意截面上的应力。解：解：动荷系数动荷系数二、构件作等速转动时的应力计算二、构件作等速转动时的应力计算 薄壁圆环，平均直径为薄壁圆环，平均直径为D D，横截面面积为，横截面面积为A A，材料单位体积的重量为，材料单位体积的重量为，以匀角速，以匀角速度度转动。转动。目录从上式可以看出，环内应力仅与从上式可以看出，环内应力仅与和和v v有关，而与有关，而与A A无关。所以，无关。所以，要保证圆环的强度，应限制圆环的速度。增加截面面积要保证圆环的强度，应限制圆环的速度。增加截面面积A A，并不，并不能改善圆环的强度。能改善圆环的强度。目录10-4 10-4 杆件受冲击时的应力和变形杆件受冲击时的应力和变形目录冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，其加速度速度a a很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在实用计算中，一般采用能量法。计算中，一般采用能量法。在计算时作如下假设在计算时作如下假设: :目录1.1.冲击物视为刚体，不考虑其变形冲击物视为刚体，不考虑其变形; ;2.2.被冲击物的质量可忽略不计被冲击物的质量可忽略不计; ;3.3.冲击后冲击物与被冲击物附着在冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动一起运动; ;4.4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与势能的不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系统动能与势能的转化。转化。目录根据机械能守恒定律，冲击物的动能根据机械能守恒定律，冲击物的动能T T和势能和势能V V的变化应等于的变化应等于弹簧的变形能弹簧的变形能 , ,即即设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为为在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比，在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比，即：即：目录将（将（b b）式和（）式和（c c）式代入（）式代入（a a）式，得：）式，得：当载荷突然全部加到被冲击物上，当载荷突然全部加到被冲击物上，由此可知由此可知, ,突加载荷的动荷系数是突加载荷的动荷系数是2 2，这时所引，这时所引起的应力和变形都是静荷应力和变形的起的应力和变形都是静荷应力和变形的2 2倍。倍。此时此时T=0T=0 1.1.若已知冲击物自高度若已知冲击物自高度 h h 处无初速下落处无初速下落, ,冲击冲击 物与被冲击物接触时的速度为物与被冲击物接触时的速度为v v2.2.若已知冲击物自高度若已知冲击物自高度 h h 处以初速度处以初速度 下落下落, ,则则3.3.当构件受水平方向冲击当构件受水平方向冲击例例10-210-2：等截面刚架的抗弯刚度为：等截面刚架的抗弯刚度为 EIEI，抗弯截面系数为，抗弯截面系数为 W W，重，重物物Q Q自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。目录解：解：例例10-310-3：重物：重物Q Q自由落下冲击在自由落下冲击在ABAB梁的梁的B B点处，求点处，求B B点的挠度。点的挠度。目录解：解：例例10-410-4：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在放置弹簧。弹簧在 1kN1kN的静载荷作用下缩短的静载荷作用下缩短0.625mm0.625mm。钢杆直径。钢杆直径d=40mm, d=40mm, l l =4m=4m，许用应力，许用应力=120MPa, E=200GPa=120MPa, E=200GPa。若有重为。若有重为 15kN15kN的重的重物自由落下，求其许可高度物自由落下，求其许可高度h h。解：解： 第十一章第十一章 交变应力交变应力第十一章第十一章 交变应力交变应力11-1 11-1 交变应力与疲劳极限交变应力与疲劳极限11-2 11-2 影响持久极限的因数影响持久极限的因数目录1 1、构件有加速度时动应力计算、构件有加速度时动应力计算（1）直线运动构件的动应力）直线运动构件的动应力（2 2）水平面转动构件的动应力）水平面转动构件的动应力2 2、构件受冲击时动应力计算、构件受冲击时动应力计算（1 1）自由落体冲击问题）自由落体冲击问题（2）水平冲击问题）水平冲击问题动响应动响应= =Kd 静响应静响应11-1 11-1 交变应力交变应力 疲劳极限疲劳极限目录交变应力的基本参量交变应力的基本参量在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为应力谱应力谱。随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化，随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化，应力每重复变化一次的过程称为一个应力每重复变化一次的过程称为一个应力循环应力循环。一个应力循环一个应力循环tO目录通常用以下参数描述循环应力的特征通常用以下参数描述循环应力的特征(1)(1)应力比应力比 r r(2)(2)应力幅应力幅(3)(3)平均应力平均应力一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合构成。的对称循环应力组合构成。目录 r = -1 ：对称循环：对称循环 ；r 0 ：拉拉循环：拉拉循环 或压压循环。或压压循环。疲劳极限疲劳极限将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行r r = -1= -1的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅 均不同，因此疲劳破坏所经历均不同，因此疲劳破坏所经历的应力循环次数的应力循环次数N N 各不相同。各不相同。以以 为纵坐标，以为纵坐标，以N N 为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应力力寿命曲线即寿命曲线即S-N S-N 曲线如图（以曲线如图（以40Cr40Cr钢为例）钢为例）注注：由于在：由于在r r =-1=-1时，时， maxmax = = /2/2，故，故S-N S-N 曲线纵坐标也可以采用曲线纵坐标也可以采用 max max 。目录104105106107108550650750850Nsmax/MPa从图可以得出三点结论：从图可以得出三点结论：(1)(1)对于疲劳，决定寿命的对于疲劳，决定寿命的 最重要因素是应力幅最重要因素是应力幅 。(2)(2)材料的疲劳寿命材料的疲劳寿命N N 随应力幅随应力幅 的增大而减小。的增大而减小。 (3) (3)存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅称存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅称为为疲劳极限疲劳极限，记为，记为 -1-1 。目录104105106107108550650750850Nsmax/MPa对低碳钢，其对低碳钢，其其弯曲疲劳极限其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限拉压疲劳极限 对于铝合金等有色金属，其对于铝合金等有色金属，其S-NS-N曲线没有明显的水平部分，一般规定曲线没有明显的水平部分，一般规定 时对应的时对应的 称为称为条件疲劳极限条件疲劳极限，用，用 表示。表示。目录11-4. 11-4. 影响持久极限的因数影响持久极限的因数1.1.构件外形的影响构件外形的影响目录构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，将引起应力集中构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，将引起应力集中或或有效应力集中因数有效应力集中因数理论应力集中因数理论应力集中因数2.2.零件尺寸的影响零件尺寸的影响尺寸因数尺寸因数光滑零件的疲劳极限光滑零件的疲劳极限试样的疲劳极限试样的疲劳极限目录3.3.表面加工质量的影响表面加工质量的影响表面质量因数表面质量因数磨削加工（试样）磨削加工（试样）其他加工其他加工一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。表面一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。表面加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中，降低持久极限。所以表面加工质量对加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中，降低持久极限。所以表面加工质量对持久极限有明显的影响。持久极限有明显的影响。看表看表11.2 11.2 不同表面粗糙度的表面质量因数不同表面粗糙度的表面质量因数查看表查看表11.1 11.1 尺寸因数尺寸因数 第十三章第十三章 能量法能量法13-1 概概 述述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。简称应变能。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即上所做的功，即=W13-2 杆件变形能计算杆件变形能计算一、轴向拉伸和压缩一、轴向拉伸和压缩二、扭转二、扭转三、弯曲三、弯曲纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲：横力弯曲：13-3 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式即即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。总和。所有的广义力均以静力方式，按一定比例由所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移增加至最终值。任一广义位移 与与整个力系有关，但与其相应的广义力整个力系有关，但与其相应的广义力 呈线性关系。呈线性关系。 例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端能原理求自由端B的挠度。的挠度。F解：解：例题：悬臂梁在自由端承受集中力例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩及集中力偶矩M0作用。设作用。设EI为常数，试求为常数，试求梁的应变能。梁的应变能。LFMeAB解：解： 弯矩方程弯矩方程 变形能变形能LFM0AB 当当F和和M0分别作用时分别作用时 用普遍定理用普遍定理13-4 互等定理互等定理位移发生点位移发生点荷载作用点荷载作用点F1F2F1F2F1F2F1功的互等定理功的互等定理:位移互等定理位移互等定理: 例：求图示简支梁例：求图示简支梁C截面的挠度。截面的挠度。F 例：求图示悬臂梁中点例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移处的铅垂位移 。F13-5 卡氏定理卡氏定理若只给若只给 以增量以增量 ，其余不变，在，其余不变，在 作用下，原各力作用点将作用下，原各力作用点将产生位移产生位移变形能的增加量：变形能的增加量：略去二阶小量，则：略去二阶小量，则：如果把原有诸力看成第一组力，把如果把原有诸力看成第一组力，把 看作第二组力，根据互等看作第二组力，根据互等定理：定理：所以：所以：变形能对任一载荷变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于的偏导数，等于Fi作用点沿作用点沿Fi方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。横力弯曲：桁架杆件受拉压：轴受扭矩作用：13-6 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分莫尔定理莫尔定理（莫尔积分）（莫尔积分）例：试用莫尔定例：试用莫尔定理计算图理计算图(a)所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。13-7计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：式的积分：对于等直杆，对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，可以提到积分号外，故只需计算积分故只需计算积分直杆的直杆的M0(x)图必定是直线或折线。图必定是直线或折线。顶点顶点顶点顶点二次抛物线二次抛物线 例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。LFF解（1）求自由端的挠度Fm=1(2) 求自由端的转角求自由端的转角例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。转角。qM解解（1）简支梁的最大挠度简支梁的最大挠度（2）求最大转角）求最大转角最大转角发生在两个支座处最大转角发生在两个支座处 例：试用图乘法求所示简支梁例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度截面的挠度和和A、B截面的转角。截面的转角。CL12TU34解：解： 例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的的挠度和转角。挠度和转角。CL12TU35解：解： 例：试用图乘法求图示悬臂梁中点例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的处的铅垂位移。铅垂位移。CL12TU36解：解： 例：图示梁，抗弯刚度为例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载，承受均布载荷荷q及集中力及集中力X作用。用图乘法求：作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的集中力作用端挠度为零时的X值；值； (2)集中力作用端转角为零时的集中力作用端转角为零时的X值。值。CL12TU37F解：解：(1)F(2) 例：图示梁的抗弯刚度为例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求，试求D点的点的铅垂位移。铅垂位移。CL12TU38解：解： 例：图示开口刚架，例：图示开口刚架，EI=const。求。求A、B两两截面的相对角位移截面的相对角位移 AB 和沿和沿P力作用线方向的力作用线方向的相对线位移相对线位移 AB 。CL12TU39解：解： 例：用图乘法求图示阶梯状梁例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转截面的转角及角及E截面的挠度。截面的挠度。CL12TU40解：解： 例：图示刚架，例：图示刚架，EI=const。求。求A截面的水截面的水平位移平位移 AH 和转角和转角A 。CL12TU41解：解：第十四章第十四章 超静定结构超静定结构第十四章第十四章 超静定结构超静定结构14-1 14-1 超静定结构概念超静定结构概念14-2 14-2 用用力法解超静定结构力法解超静定结构14-3 14-3 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用目录14-1 14-1 超静定（静不定）结构概述超静定（静不定）结构概述目录在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为：外力超静定：外力超静定：内力超静定：内力超静定：支座反力不能全由平衡方程求出；支座反力不能全由平衡方程求出；外力超静定外力超静定系统和系统和内力超静定内力超静定系统。系统。 支座反力可由平衡方程求出，但杆件支座反力可由平衡方程求出，但杆件的内力却不能全由平衡方程求出的内力却不能全由平衡方程求出. .目录例如例如 解除多余约束，解除多余约束，代之以多余约束反力然后代之以多余约束反力然后根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。进行求解。目录我们称我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。与多余约束对应的约束力为多余约束力。 解除多余约束后得到的静定结构，解除多余约束后得到的静定结构，称为原称为原超静定系统的超静定系统的基本静定系统基本静定系统或或相当系统相当系统。（本章主要学习用（本章主要学习用力法解超静定结构力法解超静定结构）求解超静定系统的基本方法是：求解超静定系统的基本方法是：14-2 14-2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构 在求解超静定结构时，在求解超静定结构时，目录我们把这种以我们把这种以“力力”为为未知量未知量，求解超静定的方法，求解超静定的方法称为称为“力法力法”。一般先解除多余约束，一般先解除多余约束，代之以多余约束力，代之以多余约束力，得到基本静定系，得到基本静定系，再根据再根据变形协调条件变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。得到关于多余约束力的补充方程。该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁解除多余支座解除多余支座B，并以多余约束，并以多余约束X1代替代替若以若以 表示表示B端沿竖直方向的位移，则：端沿竖直方向的位移，则：是在是在F单独作用下引起的位移单独作用下引起的位移是在是在X1单独作用下引起的位移单独作用下引起的位移目录例如：例如： 目录对于线弹性结构，位移与力成正比，对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力是单位力“1”的的X1倍，故倍，故 也是也是 的的X1倍，即有倍，即有若：若：于是可求得于是可求得所以（所以（*）式可变为：）式可变为： 例例14.114.1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=EI=常数。常数。目录 解：解： 例例14.214.2：两端固定的梁，跨中受集中力作用，设梁的抗弯刚度：两端固定的梁，跨中受集中力作用，设梁的抗弯刚度 为为EIEI，不计轴力影响，求梁中点的挠度。，不计轴力影响，求梁中点的挠度。目录 解：解：例例14.314.3：求图示刚架的支反力。：求图示刚架的支反力。目录解：解：目录上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！ 那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？ 目录由叠加原理：由叠加原理：同理同理 变形协调条件变形协调条件 ： 表示表示 作用点沿着作用点沿着 方向的位移方向的位移 目录力法正则方程：力法正则方程：矩阵形式：矩阵形式：表示沿着表示沿着 方向方向 单独作用时所产生的位移单独作用时所产生的位移 表示沿着表示沿着 方向方向 单独作用时所产生的位移单独作用时所产生的位移 表示沿着表示沿着 方向载荷方向载荷F单独作用时所产生的位移单独作用时所产生的位移 目录则则 ：引起的弯矩为引起的弯矩为 引起的弯矩为引起的弯矩为 载荷载荷F引起的弯矩为引起的弯矩为 设：设：对称性质的利用：对称性质的利用：对称结构：对称结构：若将结构绕对称轴对折后，若将结构绕对称轴对折后， 结构在对称轴两边的部分将完全重合。结构在对称轴两边的部分将完全重合。目录14-3 14-3 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用对称载荷：对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷完将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷完全重合（即对折后载荷的作用点和作用方向重合，且作用力的全重合（即对折后载荷的作用点和作用方向重合，且作用力的大小也相等）。大小也相等）。目录反对称载荷：反对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。目录目录 当对称结构上受对称载荷作用时，当对称结构上受对称载荷作用时，于是正则方程可化为于是正则方程可化为目录在对称面上反对称在对称面上反对称内力内力等于零等于零。对称结构在对称载荷作用下的情况：对称结构在对称载荷作用下的情况：用图乘法可证明用图乘法可证明可得可得：对称结构在反对称载荷作用下的情况：对称结构在反对称载荷作用下的情况：目录同样用图乘法可证明同样用图乘法可证明当对称结构上受反对称载荷作用时，当对称结构上受反对称载荷作用时，在对称面上对称内力等于零。在对称面上对称内力等于零。可得可得：于是正则方程可化为于是正则方程可化为 例例14.4:14.4:平面刚架受力如图，各杆平面刚架受力如图，各杆 EI=EI=常数。试求常数。试求C C处的约束力及处的约束力及A A、B B处的支座反力。处的支座反力。解：解：例例14.514.5：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。其作用位置。解：载荷关于对角线解：载荷关于对角线ACAC和和BDBD反对称反对称由平衡条件可得：由平衡条件可得：附录附录I I 平面图形的几何性质平面图形的几何性质I-1 I-1 静矩和形心静矩和形心I-2 I-2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径附录附录I I平面图形的几何性质平面图形的几何性质I1 静矩和形心静矩和形心1.1.静矩静矩形心坐标：形心坐标：静矩和形心坐标之间的关系：静矩和形心坐标之间的关系： 例：计算由抛物线、例：计算由抛物线、y轴和轴和z轴所围成的平面图轴所围成的平面图形对形对y轴和轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。轴的静矩，并确定图形的形心坐标。解：解： 例：确定图示图形形心例：确定图示图形形心C的位置。的位置。解：解：例：求图示阴影部分的面积对例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。轴的静矩。解：解：I-2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径一、惯性矩一、惯性矩 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即某一长度平方的乘积，即分别称为平面图形对分别称为平面图形对y轴和轴和z轴的惯性半径轴的惯性半径二、极惯性矩二、极惯性矩例：求图示矩形对对称轴例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。的惯性矩。解：解：例：求图示圆平面对例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。轴的惯性矩。惯性积惯性积 如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。必等于零。几个主要定义几个主要定义:(1)主惯性轴主惯性轴 当平面图形对某一对正交当平面图形对某一对正交坐标轴坐标轴y0、z0的惯性积的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。称为主惯性轴。因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。轴一定是平面图形的主惯性轴。(2)主惯性矩主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。惯性矩称为主惯性矩。(3)形心主惯性轴形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。形心主惯性轴。 可以证明可以证明:任意平面图形必定存在一对相互任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。垂直的形心主惯性轴。(4)形心主惯性矩形心主惯性矩 平面图形对任一形心主平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。附录附录I 平面图形的几何性质平面图形的几何性质附录附录I 平面图形的几何性质平面图形的几何性质I-3 平行移轴公式平行移轴公式I-4 转轴公式转轴公式 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩I-3 平行移轴公式平行移轴公式 平行移轴公式：平行移轴公式：例：求图示平面图形对例：求图示平面图形对y轴的惯性矩轴的惯性矩 Iy解：解：CL6TU11I-4 转轴公式转轴公式 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩转轴公式：转轴公式：主惯性轴方位：主惯性轴方位：或简写成：或简写成：主惯性矩公式：主惯性矩公式： 求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩大小的步骤：大小的步骤：1）找出形心位置；）找出形心位置；2）通过形心）通过形心c建立参考坐标建立参考坐标 ， 求出求出 。3）求）求 例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。及形心主惯性矩的大小。 解：解：