第五章第五章 矩阵的特征值和特值向量矩阵的特征值和特值向量1 1 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法. 一一. . 定义和求法定义和求法 定义定义6.16.1 设A A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量 满足关系式 A A = 则称为A A的特征值, 为A A的属于的一个特征向量. 如果如果 是是A A的属于的属于 的的特征向量，那么对特征向量，那么对k k0, k 也是也是A的的属于属于 的的特征向量，这是因为特征向量，这是因为可见,特征向量不唯一，可有无穷多个。下面考虑如何求出特征向量不唯一，可有无穷多个。下面考虑如何求出A的特征值和相应的特征向量. A A（k k ) )=kA =k = = (k ) 由A A = ，可得 (E E A A) =0 0可见, 是n元齐次线性方程组 (E E A A)x x=0 0的非零解. 所以有|E E A A|=0. 定义定义6.26.2 设A A是n阶方阵, 是参数, 则行列式 称为方阵A A的特征多项式. 称det(E E A A)=0为方阵A A的特征方程特征方程. A A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A A有n个特征值. A A的属于特征值 i的特征向量就是齐次线性方程组 (iE E A A)x x=0 0的所有非零解.的全部特征值和相应的特征向量. 解解 A A的特征多项式为 =(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3)所以A A的特征值为1=2=1, 3=3. 对1=2=1, 解方程(E-A A)x=0x=0, 由于例例1 1 求矩阵所以k 1(k0)是属于1=2=1的全部特征向量. 对3=3, 解方程(3E-A)x=0E-A)x=0, 由于得同解方程: , 基础解系为 2=(-1, 1, 1)T.所以k 2(k0)是属于3=3的全部特征向量. , 基础解系为 1=(0,0,1)T.得同解方程:的全部特征值和特征向量. 解解 A A的特征多项式为=(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3)所以A A的特征值为1=2=1, 3=3. 对1=2=1, 解方程(E-AE-A)x=0x=0, 由于例例2 2 求矩阵所以属于1=2=1的全部特征向量为 K1 1+k2 2 (k1,k2 不同时为0) 对3=3, 解方程(A A-3E)x=0E)x=0, 由于得同解方程: , 基础解系为 3=(1, -1, 1)T.所以k 3(k0)是属于3=3的全部特征向量., 基础解系为 1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T.得同解方程: 设方阵A A可逆, 且是A A的特征值, 证明0 且1/是A A-1的特征值. 例例3 3 证证 首先证明0. 用反证法: 假设=0是A A的特征值, 则 再设 是A A的属于的属于特征值的特征向量 , 则 A A = A-1 =1/ 所以1/是A A-1的特征值, 而且与A A有相同的特征向量. 类似地, 若是A A的特征值, 则k是A Ak的特征值. 0E E - A A=-A A=0 , 这与A A可逆矛盾, 故0. 一般地, 若是A A的特征值,则()=a0+a1+amm是(A A)=a0E E+a1A A+amA Am的特征值. 解解 由于由于1 的倒数也是A1的特征值，因此A*A*必有特征值：1所以，A*=A1 故，应选“B”。二二. . 特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质由于 = =n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)n|A| 利用多项式方程根与系数的关系可得: 定理定理6.16.1 设1,2,n是n阶方阵A 的全部特征值, 则 1+2+n= =a11+a22+ann 12n= =detA A 定理定理6.26.2 设1, 2, s是方阵A 的互异特征值, 1, 2, s是分别属于它们的特征向量, 那么 1, 2, s线性无关. 证明证明 设x1 1+x2 2+xs s=0 0类似地有:则, A A(x1 1+x2 2+xs s)=0 0, 即 1x1 1+2x2 2+sxs s=0 0 1kx1 1+2kx2 2+skxs s=0 0 (k=0,1,s-1), 即所以有 (x1 1, x2 2, xs s)=(0 0, 0 0, , 0 0) 定理定理6.36.3 设1, 2是A 的两个互异特征值, 1, 2, s和 1, 2, t分别是属于1, 2的线性无关的特征向量, 则 1, 2, s, 1, 2, t线性无关.即, xj j=0 0, 但 j0 0, 故xj=0, (j=1,2,s)所以向量组 1, 2, s线性无关. 证明证明 设k1 1+k2 2+ks s+l1 1+l2 2+lt t=0 0, =k1 1+k2 2+ks s , =l1 1+l2 2+lt t。则 + =0而 , 是属于不同特征值1, 2的特征向量, 根据定理6.2，必有 = =0 0, 即k1= =k2= =ks= =l1= =l2= =lt= =0, 线性无关.例例4 4 解解 由于A A的特征值都不为0, 故A A可逆. 并且 |A|= 1 2 3= -2， A*=AA 1=2A 1. 设3阶方阵A A的特征值为1, -1, 2, 求|A A*+3A A-2E E|. A A*+3A A-2E=E=-2A A-1 +3A A-2E EB B 的的3个特征值为1 12 2 1 -1 +3 1 2 1 =1 , 23， 33, 于是 |A A*+3A A-2E E|= = 1 2 3=(-1)(-3)3=9例 求矩阵A和AT的特征值的关系。解。A的特征值满足 | E-A|=0， AT的特征值满足 | E-AT|=0, 而| E-AT|= | (E-A)T | | E-A|=0，所以矩阵A和AT 有相同的特征值。 对A A进行运算P P-1APAP=B B称为对A A进行相似变换相似变换, , 可逆矩阵P P称为把A A 变成B B的相似变换矩阵相似变换矩阵. . 2 2 相相 似似 矩矩 阵阵 定义定义6.3 6.3 设A A ,B B都是n阶方阵, 若存在可逆矩阵P P, 使 一一. . 相似矩阵的定义和性质相似矩阵的定义和性质 矩阵的相似关系具有下述性质矩阵的相似关系具有下述性质: : () 反身性: AA; () 对称性: 若A AB B, 则B BA A; () 传递性: 若A AB B, B BC C, 则A AC C. P P-1APAP=B B 则称B B是A A的相似矩阵相似矩阵, 或说矩阵 A A与B B相似相似. A A与B B相似记作A AB B. 定理定理6.4 6.4 相似矩阵有相同的特征值. 证证 若矩阵A A与B B相似, 则存在矩阵P P, 使P P-1APAP=B B , 故 注意注意: : 定理6.4的逆命题不成立. 例如矩阵 E E - B B=P P-1(E E)P- PP- P-1APAP=P P-1(E E - A A)P P =P P-1E E - A AP P=E E -A A 的特征多项式都是(-1)2, 但它们不相似.二二. . 与对角矩阵相似的条件与对角矩阵相似的条件 假设n阶方阵A与对角矩阵相似. 也就是存在可逆矩阵P P, 使得 P P-1APAP= 即 AP AP=P P 记P P=( 1, 2, n), 则有 (A A 1, A A 2, A A n)=(1 1, 2 2, n n)即 可见, 矩阵A与对角矩阵相似, 则A有n个线性无关的特征向量. A A i=i i , i=1,2,n因为矩阵P可逆, 所以 1, 2, n线性无关, 故 i0 0, 于是 i是矩阵A属于特征值i的特征向量. 反之, 设A有n个线性无关的特征向量 1, 2, n, 且A A i=i i , i=1,2,n, 令P P=( 1, 2, n), 则P P可逆, 且 APAP=(A A 1, A A 2, A A n)=(1 1, 2 2, n n)=P P 即, P P-1APAP= , 也就是说矩阵A A与对角矩阵相似. 定理定理6.56.5 n阶矩阵A A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A A有n个线性无关的特征向量. 可见, 前面的分析不但证明了定理6.5, 还给出了相似变换矩阵P和对角矩阵 的求法： 例：在例2中的矩阵 由于其3个特征值为1=2=1, 3=3. 对应的特征向量: 1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T, 3=(1, -1, 1)T线性无关, 所以A的n个线性无关的特征向量作为列向量构成的矩阵P为相似变换矩阵A的n个特征值作为对角元构成了相应的对角矩阵 。相似变换矩阵P=( 1, 2, 3)= 事实上P的逆矩阵为 与A A相似的对角矩阵为 对角矩阵 解解 由于所以，应选“A”. 推论推论 若n阶矩阵A A有n个互异特征值, 则A A与对角矩阵相似. 若A A= P P-1 P P, 则有: 注意, 若矩阵A A与对角矩阵相似, 则的对角线元素恰是A的n个特征值, 故如不计对角线上元素的顺序, 则与A相似的对角矩阵是唯一的. A Ak=P P-1-1k k P, P, (A A)=P P-1()P P而且有: 例例5 5 设求A A50. 解解 矩阵A的特征多项式为=(+1)2(-2)可见, A的特征值是1=2=-1, 3=2.对于特征值1=2=-1, 由于 所以, 齐次线性方程组(-E E-A A)x x=0 0的一个基础解系为: 1=(1, 2, 0)T, 2=(0, 0, 1)T. 1, 2就是属于特征值1=2=-1的线性无关的特征向量.可见属于特征值3=2的一个特征向量为 3=(3, 3, 1)T.对于特征值3=2, 由于令则有所以有即 定理6.6 矩阵A A与对角矩阵相似的充分必要条件是：对A A的任意特征值(重数为k), 属于的线性无关的特征向量有k个. 3 3 实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 一一. . 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A A=(aij )称 A A为A A的共轭矩阵. 显然, A A为实矩阵时,A A=A A. 共轭矩阵具有下列性质: 其中是常数; 定理定理6.7 6.7 实对称矩阵的特征值都是实数. 证证 设为实对称矩阵A A的特征值, 是属于的特征向量, 则有由于AT=A,A=A, 故有于是有由于 0 0, 所以 T 0, 因此, 即是实数. 显然, 实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量. 定理定理6.8 6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的. 证证 设1, 2是实对称矩阵A A的特征值, 1, 2分别是属于它们的特征向量, 则有而且由于12, 所以 2 2T 1=0, 即 1, 2正交.于是 二二. . 实对称矩阵正交相似于对角矩阵实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理定理6.9 6.9 设A A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q Q, 使得Q QT TAQAQQ Q1 1AQ AQ 为对角矩阵. 证证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立.于是有再取 2, 3, n 使 1, 2, n为Rn的一组规范正交基.取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量 1, (取 1为单位向量). A A( 1, 2, n )=(A 1, A A 2, A A n) =(1 1, A 2, A n) =( 1, 2, n ) 记Q Q1=( 1, 2, n) , 则Q Q1 1为正交矩阵, 且有(Q11=QT)B B是n-1阶实对称矩阵, 由假设, 存在n-1阶正交矩阵P, 使得取n阶正交矩阵 Q Q1 1T TAQAQ1 1=（利用A的对称性）则有即, Q Q2 2T T Q Q1 1T TAQAQ1 1Q Q2 2为对角矩阵.显然Q=QQ=Q1 1Q Q2 2是正交矩阵, 定理结论成立.Q Q2 2T T Q Q1 1T TAQAQ1 1Q Q2 2 三三. . 实对称矩阵正交相似对角化的方法实对称矩阵正交相似对角化的方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下: (1) 求出A的全部特征值; (2) 对每个特征值, 若其重数为k, 求出其k个线性无关的特征向量. (5) 写出对角矩阵. (3) 将求出的k个线性无关的特征向量规范正交化. (4) 用求出的n个规范正交的特征向量构造正交矩阵.例例6 6 设求一个正交矩阵Q Q, 使Q Q-1AQAQ为对角矩阵. 解解 先求A的所有特征值得特征值1=2=-1, 3=11. det(E-A) =(+1)(2-10-11)=(+1)2(-11)对1=2=-1, 由于所以方程组(-E-AE-A)x x=0 0等价于x1+x2+2x3=0, 一基础解系为再单位化得: 1=(-1, 1, 0)T, 2=(-2, 0, 1)T, 1= 1=(-1, 1, 0)T, 1= 1/| 1 |将其正交化得: 2= 2-( 2T 1/ 1T 1) 1= 2- 1=(-1, -1, 1)T, , 2= 2/| 2 |对3=11, 由于所以方程组(11E-AE-A)x x=0 0的一个基础解系为 3= (1, 1, 2)T, 所以得正交矩阵: Q=( 1, 2, 3)将其单位化得: 3= 3/| 3 |而且, QTAQ=diag(-1, -1, 11).习题习题A A 第第117117页页矩阵特征值: 1 、5 、7 、8、12、13相似对角化: 2、6、9、16、17实对称矩阵相似对角化: 3、14作作 业业