在在许许多多问问题题中中 往往往往不不能能直直接接找找出出所所需需要要的的函函数数关关系系 但但是是根根据据问问题题所所提提供供的的情情况况 有有时时可可以以列列出出含含有有要要找找的的函函数数及及其其导导数数的的关关系系式式 这这样样的的关关系系就就是是所所谓谓微微分分方方程程 微微分分方方程程建建立立以以后后 对对它它进行研究进行研究 找出未知函数来找出未知函数来 这就是解微分方程这就是解微分方程 9-1 基本概念基本概念第九章第九章 常微分方程常微分方程常常微分方程微分方程 包含未知函数包含未知函数(一元函数一元函数)及其导数的方程及其导数的方程.常常微分方程的阶 微分方程中所出现的未知的一元函数的最微分方程中所出现的未知的一元函数的最 高阶导数的阶数高阶导数的阶数 叫常微分方程的阶叫常微分方程的阶 n阶常微分方程阶常微分方程的一般形式的一般形式为为 F(x y y y(n) ) 0或或 y(n) f(x y y y(n 1) ) 设函数yy(x)在区间I上有n阶导数 如果 Fx y(x) y(x) y(n) (x) 0 那么函数yy(x)就叫做微分方程F(x y y y(n) )0在区间 上的一个解解 定义 求解一个常微分方程就是要求出它的通解及不能用通解求解一个常微分方程就是要求出它的通解及不能用通解表出的表出的“奇解奇解”任何一个不含任意常数的解叫任何一个不含任意常数的解叫特解特解 独立的独立的即 如果n阶微分方程有解 其中 是n个独立的任意常数 这样的解叫做微分方程的一个通解通解 对于一阶微分方程对于一阶微分方程 通常用于确定任意常数的条件是通常用于确定任意常数的条件是 对于二阶微分方程对于二阶微分方程 通常用于确定任意常数的条件是通常用于确定任意常数的条件是初值问题 用于确定通解中任意常数的条件用于确定通解中任意常数的条件 称为称为初始条件初始条件 对对于于n阶阶微微分分方方程程 通通常常用用于于确确定定任任意常数的条件是意常数的条件是求微分方程满足初始条件的解的问题称为求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题初值问题 微分方程的解的图形称作微分方程的解的图形称作积分曲线积分曲线