第第6 6章章 刚体动力学刚体动力学猫习惯于在阳台上睡觉，因此从阳台上掉下来的事情时有发生。长期猫习惯于在阳台上睡觉，因此从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的察看阐明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度的察看阐明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的添加而减少，为什么会这样呢？将随高度的添加而减少，为什么会这样呢？6.1 力矩力矩 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程一一. 力矩力矩力力改动刚体的转动形状改动刚体的转动形状 刚体获得角加速度刚体获得角加速度 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩力矩取决于力的大小、方力矩取决于力的大小、方向和作用点向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩在刚体的定轴转动中，力矩只需两个指向只需两个指向质点获得加速度质点获得加速度改蜕变点的运动形状改蜕变点的运动形状hA (1) (1) 力对点的力矩力对点的力矩O .(2) (2) 力对定轴力矩的矢量方式力对定轴力矩的矢量方式力矩的方向由右螺旋法那么确定力矩的方向由右螺旋法那么确定(3)(3)力对恣意点的力矩，在力对恣意点的力矩，在经过该点的任一轴上的经过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴投影，等于该力对该轴 的力矩的力矩讨论讨论hA xLOMy例例知棒长知棒长 L ,质量质量 M ，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动 (如图如图)解解根据力矩根据力矩xdxTT例如例如TT在定轴转动中，力矩可用代数值进展计算在定轴转动中，力矩可用代数值进展计算求求 摩擦力对摩擦力对y轴的力矩轴的力矩刚体的转动定律刚体的转动定律作用在刚体上一切的外力对作用在刚体上一切的外力对定轴定轴 z z 轴的力矩的代数和轴的力矩的代数和刚体对刚体对 z z 轴轴的转动惯量的转动惯量(1) M 正比于正比于 ，力矩越大，刚体的，力矩越大，刚体的 越大越大(2) 力矩一样，假设转动惯量不同，产生的角加速度不同力矩一样，假设转动惯量不同，产生的角加速度不同二二. 刚体对定轴的转动定律刚体对定轴的转动定律实验证明实验证明当当 M 为零时，那么刚体坚持静止或匀速转动为零时，那么刚体坚持静止或匀速转动当存在当存在 M 时，时， 与与 M 成正比，而与成正比，而与J 成反比成反比(3) 与牛顿定律比较：与牛顿定律比较：讨论讨论在国际单位中在国际单位中 k = 1O实际推证实际推证取一质量元取一质量元切线方向切线方向对固定轴的力矩对固定轴的力矩对一切质元对一切质元合内力矩合内力矩 = 0 = 0合外力矩合外力矩 M M刚体的转动惯量刚体的转动惯量 J J三三. 转动惯量转动惯量定义式定义式质量不延续分布质量不延续分布质量延续分布质量延续分布计算转动惯量的三个要素计算转动惯量的三个要素:(1)总质量总质量 (2)质量分布质量分布 (3)转转轴的位置轴的位置(1) J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM(2) J 与质量分布有关与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrROLxdxMzLOxdxM四四. 平行轴定理及垂直轴定理平行轴定理及垂直轴定理zLCMzz(3) J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关1. 平行轴定理: :刚体绕恣意轴的转动惯量刚体绕恣意轴的转动惯量: :刚体绕经过质心的轴刚体绕经过质心的轴: :两轴间垂直间隔两轴间垂直间隔例例 均匀细棒的转动惯量均匀细棒的转动惯量2. (薄板薄板)垂直轴定理垂直轴定理ML 例如求对圆盘的一条直径的转动惯量例如求对圆盘的一条直径的转动惯量知知 yx z 圆盘圆盘 R C mx,y轴在薄板内；轴在薄板内；z 轴垂直薄板。轴垂直薄板。zxy(1) 飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2) 如以分量如以分量P =98 N的物体挂在的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速绳端，试计算飞轮的角加速解解 (1)(2)两者区别两者区别五五. 转动定律的运用举例转动定律的运用举例例例求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩，飞轮与转轴间的摩擦不计，擦不计， (见图见图)一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动，初始时它在程度位置面内转动，初始时它在程度位置求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 OlmCx解解 取一质元取一质元重力对整个棒的合力矩等于重力全部重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩集中于质心所产生的力矩dm例例圆盘以圆盘以 0 0 在桌面上转动在桌面上转动, ,受摩擦力而静止受摩擦力而静止解解例例求求 到圆盘静止所需时间到圆盘静止所需时间取一质元取一质元由转动定律由转动定律摩擦力矩摩擦力矩R例例 一个刚体系统，如下图，一个刚体系统，如下图，知，转动惯量知，转动惯量，现有一程度力作用于距轴为，现有一程度力作用于距轴为 l 处处求求 轴对棒的作用力也称轴反力。轴对棒的作用力也称轴反力。解解 设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 N由质心运由质心运动定理动定理打击中心打击中心质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用质点系质点系由转动定律由转动定律6.2 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理一一. 转动动能转动动能z O设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元,其动能为其动能为各质量元速度不同，各质量元速度不同，但角速度一样但角速度一样刚体的总动能刚体的总动能P绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半量与其角速度平方乘积的一半结论结论取取二二. 力矩的功力矩的功O 功的定义功的定义力矩作功的微分方式力矩作功的微分方式对一有限过程对一有限过程假设假设 M = C( ( 积分方式积分方式 力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应.P三三. 转动动能定理转动动能定理 力矩功的效果力矩功的效果对于一有限过程对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上一切外力所作功的总和。这就是绕定程中作用在刚体上一切外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的轴转动刚体的动能定理动能定理(2) 力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(3) 内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。讨论讨论(1) 合力矩的功合力矩的功 刚体的机械能刚体的机械能刚体重力势能刚体重力势能刚体的刚体的机械能机械能质心的势能质心的势能刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立例例 一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在程度位置面内转动，初始时它在程度位置解解由动能定理由动能定理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx图示安装可用来丈量物体的转动惯量。待测物体图示安装可用来丈量物体的转动惯量。待测物体A装在转装在转动架上，转轴动架上，转轴Z上装一半径为上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。的重物。重物下落时，由绳带动被测物体重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕绕 Z 轴转动。今测得轴转动。今测得重物由静止下落一段间隔重物由静止下落一段间隔 h，所用时间为，所用时间为t，例例解解 分析机械能：分析机械能： 求求 物体物体A对对Z 轴的转动惯量轴的转动惯量Jz。设绳子。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。处的摩擦力矩忽略不计。假设滑轮质量不可忽略，怎样？假设滑轮质量不可忽略，怎样？机械能守恒机械能守恒一一. 质点动量矩质点动量矩 (角动量角动量)定理和动量矩守恒定律定理和动量矩守恒定律1. 质点的动量矩质点的动量矩(对对O点点)其大小其大小(1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的取决于固定点的选择选择)有关有关特例：质点作圆周运动特例：质点作圆周运动6.3 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律阐明阐明O S惯性参照系惯性参照系(2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的的动量矩也称为质点对过动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩垂直于运动平面的轴的动量矩(3) 质点对某点的动量矩质点对某点的动量矩,在经过在经过该点的恣意轴上的投影就等于该点的恣意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩质点对该轴的动量矩例例一质点一质点m，速度为，速度为v，如下，如下图，图，A、B、C 分别为三个分别为三个参考点参考点,此时此时m 相对三个点相对三个点的间隔分别为的间隔分别为d1 、d2 、 d3求求 此时辰质点对三个参考点的动量矩此时辰质点对三个参考点的动量矩md1d2 d3ABC解解O S(质点动量矩定理的积分方式质点动量矩定理的积分方式)(质点动量矩定理的微分方式质点动量矩定理的微分方式)质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量2. 质点的动量矩定理质点的动量矩定理阐明阐明(1) 冲量矩是质点动量矩变化的缘由冲量矩是质点动量矩变化的缘由(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果3. 质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律(2) (2) 通常对有心力：通常对有心力：例如例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律(1) 动量矩守恒定律是物理学的根本定律之一，它不仅适用于动量矩守恒定律是物理学的根本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用讨论讨论m 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积过过O点点,M=0,动量矩守恒动量矩守恒当飞船静止于空间距行星中心当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度时，以速度v 0发射一发射一 求求 角及着陆滑行的初速度多大？角及着陆滑行的初速度多大？解解 引力场有心力引力场有心力质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒例例 发射一宇宙飞船去调查一发射一宇宙飞船去调查一 质量为质量为 M 、半径为、半径为 R 的行星，的行星，质量为质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好擦过行星外表的仪器。要使该仪器恰好擦过行星外表二二. .质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律质点系对参考点质点系对参考点O 的动量矩就是质点系一切质点对同一参考的动量矩就是质点系一切质点对同一参考点的动量矩的矢量和点的动量矩的矢量和记质点系质心记质点系质心 C 的位置矢量为的位置矢量为，速度为，速度为。对第。对第 i 个质个质，那么，那么点，设其相对于质心的位置矢量为点，设其相对于质心的位置矢量为，速度为，速度为1. 质点系的动量矩质点系的动量矩(1) (1) 质点系的动量矩质点系的动量矩( (角动量角动量) )可分为两项可分为两项第一项：只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度第一项：只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度 轨道角动量轨道角动量第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和自旋角动量自旋角动量阐明阐明(2) 质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心 处的一个质点对于参考点的角动量。它反映了整个质点处的一个质点对于参考点的角动量。它反映了整个质点 系绕参考点的旋转运动系绕参考点的旋转运动 (3) 质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。与质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。与质心运动无关。它只代表系统的内禀性质质心运动无关。它只代表系统的内禀性质 2. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理微分方式微分方式积分方式积分方式质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量质点系的内力矩不能改蜕变点系的动量矩质点系的内力矩不能改蜕变点系的动量矩阐明阐明3. 质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律对质点系对质点系三三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律1. 刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩刚体上任一质点对刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩轴的动量矩都具有一样的方向都具有一样的方向 O(一切质元的动量矩之和一切质元的动量矩之和)假设作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零假设作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零, ,那么沿此轴那么沿此轴动量矩守恒动量矩守恒, ,如如2. 刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩定理由转动定律由转动定律动量矩定理积分方式动量矩定理积分方式定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量(1) (1) 变形体绕某轴转动时，假设其上各点变形体绕某轴转动时，假设其上各点( (质元质元) )转动的角速转动的角速度一样，那么变形体对该轴的动量矩度一样，那么变形体对该轴的动量矩阐明阐明3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律刚体定轴转动的动量矩守恒定律对定轴转动刚体对定轴转动刚体动量矩定理动量矩定理微分方式微分方式当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒如：花样滑冰如：花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等猫习惯于在阳台上睡觉，因此从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的察猫习惯于在阳台上睡觉，因此从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的察看阐明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度看阐明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的添加而减少，据报导有只猫从的添加而减少，据报导有只猫从3232层楼掉下来也仅仅只需胸腔和一颗牙齿层楼掉下来也仅仅只需胸腔和一颗牙齿有细微的损伤。为什么会这样呢？有细微的损伤。为什么会这样呢？一长为一长为 l l 的匀质细杆，可绕经过中心的固定程度轴在铅的匀质细杆，可绕经过中心的固定程度轴在铅垂面内自在转动，开场时杆静止于程度位置。一质量与杆垂面内自在转动，开场时杆静止于程度位置。一质量与杆一样的昆虫以速度一样的昆虫以速度 v0 v0 垂直落到距点垂直落到距点 O l/4 O l/4 处的杆上，昆处的杆上，昆虫落下后立刻向杆的端点爬行，如下图。假设要使杆以匀虫落下后立刻向杆的端点爬行，如下图。假设要使杆以匀角速度转动角速度转动Or 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒力矩为零，动量矩守恒例例解解求求 昆虫沿杆爬行的速度。昆虫沿杆爬行的速度。使杆以匀角速度转动使杆以匀角速度转动代入得代入得转动定律转动定律其中其中四四. 进动进动高速自转的陀螺在陀螺重力对支点高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O O 的力矩作用下发生进动的力矩作用下发生进动陀螺的动量矩近似为陀螺的动量矩近似为动量矩定理动量矩定理当当时时那么那么 只改动方向，不改动大小只改动方向，不改动大小( (进动进动) ) 进动角速度进动角速度而且而且所以所以以上只是近似讨论，只适用高速自转，即以上只是近似讨论，只适用高速自转，即动量矩定理动量矩定理