第二十四章第二十四章 圆圆 学习新知学习新知检测反馈检测反馈九年级数学上九年级数学上 新课标新课标 人人 第二十四章 圆 学习新知检测反馈24.2.2直线和圆的“大漠孤烟直，长河落日圆大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象如图，如果我们把太阳看成一个圆，的景象如图，如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？置关系吗？“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏学学 习习 新新 知知直线和圆的三种位置关系：直线和圆的三种位置关系：相交：相交：直线和圆有两个公共点，这直线和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线条直线叫做圆的割线. .相切：相切：直线和圆只有一个公共点，直线和圆只有一个公共点，这时我们就说这条直线和圆相切，这时我们就说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点这条直线叫做圆的切线，这个点叫作切点叫作切点. .相离：相离：直线和圆没有公共点，这时直线和圆没有公共点，这时我们就说这条直线和圆相离我们就说这条直线和圆相离. .学 习 新 知直线和圆的三种位置关系：相交：直线和圆有两个公1.动手操作：画出直线和圆的三种位置关系，并动手操作：画出直线和圆的三种位置关系，并作出圆心到直线的距离作出圆心到直线的距离. 2.思考一：设思考一：设 O的半径为的半径为r，圆心到直线的距离，圆心到直线的距离为为d.你能仿照点和圆的位置关系中，点到圆心的你能仿照点和圆的位置关系中，点到圆心的距离距离d与半径与半径r之间的数量关系，用圆心到直线的之间的数量关系，用圆心到直线的距离距离d和圆半径和圆半径r的数量关系，来揭示直线和圆的的数量关系，来揭示直线和圆的三种位置关系？三种位置关系？1.动手操作：画出直线和圆的三种位置关系，并作出圆心到直线的如果如果O O的半径为的半径为r, ,圆心圆心O O到直线到直线l的距离为的距离为d, ,那么那么直线直线l l与与O O相交相交 dr. .如果O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线和圆相交直线和圆相交d rrdrdrd数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系直线和圆的位置关系（圆心直线和圆的位置关系（圆心O O到直线到直线l的距离为的距离为d）直线和圆相交d rldrl2.2.直线和圆相切直线和圆相切drd = rd = rOl3.3.直线和圆相交直线和圆相交d rd rd rldrl2.直线和圆相切drd = rOl3.直线小结：小结：1、直线与圆的位置关系：、直线与圆的位置关系：0 0drdr1 1d=rd=r切点切点切线切线2 2drdr1d=r 切点切线2d思考：如图所思考：如图所l示，在示，在 O中，经过半径中，经过半径OA的的外端点外端点A作直线作直线l OA，则圆心，则圆心O到直线到直线l的距的距离是多少？直线离是多少？直线l与与 O有什么位置关系？有什么位置关系？共同探究2 切线的判定思考：如图所l示，在O中，经过半5.5.你能举出生活中直线与圆相切的实例吗？你能举出生活中直线与圆相切的实例吗？1 1. .圆心圆心O O到直线到直线l l的距离是的距离是, ,与与O O的半径的大小关系的半径的大小关系是是, ,所以直线所以直线l l与与O O的位置关系是的位置关系是. .2 2. .该命题的已知条件是该命题的已知条件是, ,结论是结论是 , ,用语用语言叙述该命题为言叙述该命题为. .3 3. .已知一个圆和圆上的一点已知一个圆和圆上的一点, ,如何过这个点画出圆的切线如何过这个点画出圆的切线? ?( (过该点作半径的垂线过该点作半径的垂线. .) )4.4.如何证明一条直线是圆的切线？如何证明一条直线是圆的切线？1.圆心O到直线l的距离是,与O的半径的大小关系是切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理：思考：切线的判定定理的逆命题是什么？你能用思考：切线的判定定理的逆命题是什么？你能用反证法证明吗？反证法证明吗？已知：如图，如果直线已知：如图，如果直线l是是 O的切线，切点为的切线，切点为A. 求证：半径求证：半径OA与直线与直线l垂直垂直.共同探究3 切线的性质思考：切线的判定定理的逆命题是什证证明明：假假设设OAOA与与l l不不垂垂直直，过过点点O O作作OMOMl l, ,垂垂足足为为M M，根据垂线段最短的性质，有，根据垂线段最短的性质，有OMOMOAOA，这这说说明明圆圆心心O O到到直直线线l l的的距距离离小小于于半半径径OAOA，于于是是直直线线l l与与圆圆相相交交，而而这这与与直直线线l l是是O O的的切切线线矛盾矛盾. .因此，半径因此，半径OAOA与直线与直线l l垂直垂直. .证明：假设OA与l不垂直，过点O作OMl,垂足为M，根据垂切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线的性质定理：例例1 如图，如图，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，O是底边是底边BC的的中点，腰中点，腰AB与与 O相切于点相切于点D.求证：求证：AC是是 O的切线的切线.证明：如图，过点O作OEAC，垂足为E，连接OD，OA.O与AB相切于点D，ODAB，又ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AO是BAC的平分线.OE=OD，即OE是O的半径，AC与O相切例1 如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点1.1.1.1.直线和圆的位置关系：直线和圆的位置关系：直线和圆的位置关系：直线和圆的位置关系：如果如果如果如果OOOO的半径为的半径为的半径为的半径为r,r,r,r,圆心圆心圆心圆心O OO O到直线到直线到直线到直线l ll l的距的距的距的距离为离为离为离为d,d,d,d,那么直线那么直线那么直线那么直线l ll l与与与与OOOO相交相交相交相交 dr dr dr dr.dr.dr.dr.2.2.2.2.切线的判定定理：切线的判定定理：切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的经过半径的外端并且垂直于这条半径的经过半径的外端并且垂直于这条半径的经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线直线是圆的切线直线是圆的切线直线是圆的切线. . .1.直线和圆的位置关系：课堂小结3.3.3.3.切线的性质定理：切线的性质定理：切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径. . .4.4.4.4.运用切线的性质和判定定理时常作的运用切线的性质和判定定理时常作的运用切线的性质和判定定理时常作的运用切线的性质和判定定理时常作的辅助线：辅助线：辅助线：辅助线：连接半径、过圆心作直线的垂线连接半径、过圆心作直线的垂线连接半径、过圆心作直线的垂线连接半径、过圆心作直线的垂线. . .3.切线的性质定理：检测反馈检测反馈1.已知已知 O的半径是的半径是6，点，点O到直线到直线l的距离为的距离为5，则直线则直线l与与 O的位置关系是（的位置关系是（ ）A.相离相离 B.相切相切 C.相交相交 D.无法判断无法判断解析：圆心到直线的距离解析：圆心到直线的距离d=5，圆的半径，圆的半径r=6,满足满足dr，所以直线与圆相交，故选，所以直线与圆相交，故选C.C检测反馈1.已知O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直A2如图如图,若若 的直径的直径AB与弦与弦AC的夹角为的夹角为30,切线切线CD与与AB的延长线交于点的延长线交于点D,且且 O的半径的半径为为2,则则CD的长为（的长为（ ）A. B. C.2 D. 4解析：连接解析：连接OCOCOA=OCOA=OC，ACO=A=30ACO=A=30，COD=A+ACO=60COD=A+ACO=60，D=30,CDD=30,CD是圆的切线，是圆的切线，OCD=90OCD=90，又，又OC=2OC=2，OD=2OC=4OD=2OC=4，CD= .CD= .故选故选A.A.A2如图,若的直径AB与弦AC的夹角为30,切线CD与3.如图，如图，PA是是 O的切线，切点为的切线，切点为A,PA ,APO30，则，则 O的半径长为的半径长为_解析：连接解析：连接OAOA，PAPA是是OO的切线，切点的切线，切点为为A,OAPAA,OAPAAPOAPO3030，OP=2OA.OP=2OA.设设OA=xOA=x，则，则OP=2xOP=2x，由勾股定理，由勾股定理可得（可得（2x)2x)2 2=x=x2 2+( )+( )2 2, ,解得解得x=2,Ox=2,O的的半径长为半径长为2.2.故填故填2.2.23.如图，PA是O的切线，切点为A,PA ,4.如图，线段如图，线段AB经过圆心经过圆心O，交，交 O于点于点A、C，BAD=B=30，边，边BD交交 O于点于点D(1)BD是是 O的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？(2)若若AC=10，求线段，求线段BC的长度的长度4.如图，线段AB经过圆心O，交O于点A、C，BAD=解：解：（1）BD是是 O的切线的切线.证明：证明：BAD=B=30，ADB=180-30-30=120，AO=DO，A=ADO=30，ODB=120-30=90，BD是是 O的切线；的切线；（2）解：）解：AC=10，CO=5，DO=5，B=30，BO=2DO=10，在在RtOBD中：中：BD= 解：（2）解：AC=10，CO=5，DO=5，B=