第9章梁的应力8.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念及实例及实例8.2 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力8.3 常用截面的几何性质常用截面的几何性质8.4 梁的切应力梁的切应力8.5 梁的强度条件梁的强度条件8.6 梁的主应力、主应力迹线梁的主应力、主应力迹线第第8章章 梁的应力梁的应力 简 介第9章梁的应力如图所示，等直杆在承受垂直于杆轴线且作用在梁的纵如图所示，等直杆在承受垂直于杆轴线且作用在梁的纵向对称平面内的的平衡力系（包括力偶）作用下，其轴线发向对称平面内的的平衡力系（包括力偶）作用下，其轴线发生变形，并成为曲线，且生变形，并成为曲线，且曲线仍位于此对称平面内曲线仍位于此对称平面内，这种变，这种变形称为平面弯曲（对称弯曲）。形称为平面弯曲（对称弯曲）。AB梁变形后的轴线梁变形后的轴线与外力在同一平面内与外力在同一平面内对称轴对称轴纵对称面纵对称面 8.1 8.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念及实例及实例1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念8.1 平面弯曲的概念及实例第9章梁的应力 2 平平面面弯弯曲曲的的实实例例8.1 平面弯曲的概念及实例第9章梁的应力1 弯曲构件横截面上的（内力）应力弯曲构件横截面上的（内力）应力内力内力剪力剪力Q 剪应力剪应力 弯矩弯矩M 正应力正应力 8.2 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力8.2 梁横截面上的正应力第9章梁的应力2 2 两两 个个 概概 念念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。8.2 梁横截面上的正应力第9章梁的应力第9章梁的应力A1B1O1OabcdABdq qr rxyEIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。3 梁的曲率和正应力梁的曲率和正应力8.2 梁横截面上的正应力第9章梁的应力横截面上的应力分布图横截面上的应力分布图8.2 梁横截面上的正应力第9章梁的应力最大正应力：最大正应力：8.2 梁横截面上的正应力第9章梁的应力v 静矩和形心静矩和形心v 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径v 平行移轴公式平行移轴公式8.3 截面的几何性质截面的几何性质8.3 截面的几何性质第9章梁的应力1 静矩和形心静矩和形心8.3 截面的几何性质第9章梁的应力形心坐标形心坐标8.3 截面的几何性质第9章梁的应力静矩和形心坐标之间的关系静矩和形心坐标之间的关系8.3 截面的几何性质第9章梁的应力8.3 截面的几何性质第9章梁的应力 例例1：确定图示图形形心：确定图示图形形心C的位置。的位置。8.3 截面的几何性质第9章梁的应力解解8.3 截面的几何性质第9章梁的应力例例2：求图示阴影部分的面积对：求图示阴影部分的面积对Z轴的静矩。轴的静矩。Zy8.3 截面的几何性质第9章梁的应力解解Zy8.3 截面的几何性质第9章梁的应力2 惯性矩、极惯性矩惯性矩、极惯性矩v 惯性矩惯性矩8.3 截面的几何性质第9章梁的应力 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即度平方的乘积，即分别称为平面图形对分别称为平面图形对y轴和轴和z轴的轴的惯性半径惯性半径8.3 截面的几何性质第9章梁的应力例例3：求图示矩形对对称轴：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。的惯性矩。yz8.3 截面的几何性质第9章梁的应力解解8.3 截面的几何性质第9章梁的应力例例6 受均布载荷作用的简支梁如图受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：所示，试求：（1）11截面上截面上1、2两点的正应两点的正应力；力；（2）此截面上的最大正应力；）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；）全梁的最大正应力；（4）已知）已知E=200GPa，求求11截面截面的曲率半径。的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：解：画画M图求截面弯矩图求截面弯矩308.3 截面的几何性质第9章梁的应力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力求应力180308.3 截面的几何性质第9章梁的应力求曲率半径求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180308.3 截面的几何性质第9章梁的应力8.4 8.4 梁的剪应力梁的剪应力1 1 矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 1 1 1 1 b图图a图图b图图c由剪应力互等由剪应力互等8.4 梁的剪应力第9章梁的应力8.4 梁的剪应力第9章梁的应力Q 方向：与横截面上剪力方向相同；方向：与横截面上剪力方向相同； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的最大剪应力为平均剪应力的1.1.5 5倍。倍。2 2 其它截面梁其它截面梁横截面上的剪应力横截面上的剪应力(1)(1)研究方法与矩形截面同，剪应力的计算公式亦为：研究方法与矩形截面同，剪应力的计算公式亦为：其中其中Q为截面剪力；为截面剪力；Sz* 为为y点水平线以下或以上的面积对中性轴点水平线以下或以上的面积对中性轴之静矩；之静矩；8.4 梁的剪应力第9章梁的应力(2) (2) 几种常见截面的最大弯曲剪应力几种常见截面的最大弯曲剪应力 Iz为整个截面对为整个截面对z轴之惯性矩；轴之惯性矩；b 为为y点处截面宽度。点处截面宽度。工字钢截面：工字钢截面：; maxA Q f结论：结论： 翼缘部分翼缘部分 max腹板上的腹板上的 max，只计算腹板上的只计算腹板上的 max。 铅垂剪应力主要腹板承受（铅垂剪应力主要腹板承受（9997%），且），且 max min 故工字钢最大剪应力故工字钢最大剪应力A Af f 腹板的面积。腹板的面积。; maxA Q f8.4 梁的剪应力第9章梁的应力圆截面：圆截面： 薄壁圆环：薄壁圆环：8.4 梁的剪应力第9章梁的应力8.5 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 1.1 1.1 危险面与危险点分析危险面与危险点分析一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大截面的上下一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大截面的中性轴边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大截面的中性轴处。处。Q M 1 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件8.5梁的正应力和剪应力强度条件 第9章梁的应力1.2 1.2 正应力和剪应力强度条件：正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在述相同；还有一个可能危险的点，在Q和和M均很大的截面均很大的截面腹、翼相交处。腹、翼相交处。1.3 1.3 强度条件应用：强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算： MQ 8.5梁的正应力和剪应力强度条件 第9章梁的应力1.4 1.4 需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，而较小，而Q较大时，要校核剪应力。较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。要校核剪应力。、校核强度： 校核强度校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：设计载荷：设计载荷：8.5梁的正应力和剪应力强度条件 第9章梁的应力解：解：画内力图求危面内力画内力图求危面内力例例1 矩形矩形(b h=0.12m 0.18m）截截面木梁如图，面木梁如图， =7MPa， =0. 9 M Pa，试求最大试求最大正应力和最大剪正应力和最大剪应力之比应力之比,并校核梁的强度。并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ+x8.5梁的正应力和剪应力强度条件 第9章梁的应力求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度应力之比应力之比q=3.6kN/mxM+Q+x8.5梁的正应力和剪应力强度条件 第9章梁的应力例例3工字形截面钢梁受力如图所示，已知：荷载工字形截面钢梁受力如图所示，已知：荷载Fp=75KN,钢材钢材的许用弯曲应力应力的许用弯曲应力应力=152MPa,试按正应力强度条件选择工试按正应力强度条件选择工字钢的型号。字钢的型号。FAy2.5m M图(KN.m)ABFpFpFpFBy2.5m2.5m2.5m281281375解：解：1、求支座反力；、求支座反力；FAy=FBy=112.5KN();作弯矩图，确定最大弯矩；作弯矩图，确定最大弯矩；Mmax=375KN.m8.5梁的正应力和剪应力强度条件 第9章梁的应力2、求满足强度要求时梁的抗弯截面系数、求满足强度要求时梁的抗弯截面系数Wz.梁满足强度要求则梁满足强度要求则所以：所以：3、确定截面尺寸、确定截面尺寸 由附录型钢表查得，由附录型钢表查得，56c号工字钢的号工字钢的Wz=2.55103cm32.47103cm3,所以该梁可以选择所以该梁可以选择56c号型工字钢。号型工字钢。8.5梁的正应力和剪应力强度条件 第9章梁的应力例例4 如图所示园截面简支木梁，受均布载荷作用，跨度如图所示园截面简支木梁，受均布载荷作用，跨度L=4m,截截面直径面直径D=160mm,许用弯曲应力许用弯曲应力=10MPa,试按正应力强度计试按正应力强度计算梁上许用均布荷载值。算梁上许用均布荷载值。ABqFAyFBy4mM图D解：解：1、求支座反力；、求支座反力；FAy=FBy=2q();作弯矩图，确定最大弯矩；作弯矩图，确定最大弯矩；Mmax=ql2/8=q42/8=2qqL2/88.5梁的正应力和剪应力强度条件 第9章梁的应力2、计算截面抗弯截面系数、计算截面抗弯截面系数Wz3、根据强度条件，确定许用荷载，、根据强度条件，确定许用荷载，所以：所以：MmaxWz即即2q4.02105107q2.01KN/m梁所能承受许用荷载值梁所能承受许用荷载值q=2KN/m8.5梁的正应力和剪应力强度条件 第9章梁的应力 8.6 8.6 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。应力大小及主平面位置。单元体：单元体： xy xs1s38.6梁的主应力及其主应力迹线第9章梁的应力2 21 1 1 1 3 3 3 33 3 1 1 3 34 4 1 1 1 1 3 35 5a045a012345P1P2q8.6梁的主应力及其主应力迹线第9章梁的应力拉力压力主应力迹线（主应力迹线（Stress Trajectories) )： 主应力方向线的包络线主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力方位（或压主应力方位）。着该点的主拉应力方位（或压主应力方位）。实线表示主拉应力迹线；实线表示主拉应力迹线；虚线表示主压应力迹线。虚线表示主压应力迹线。 1 3 1 38.6梁的主应力及其主应力迹线第9章梁的应力q 1 3 3 18.6梁的主应力及其主应力迹线