高中数学高中数学高中数学高中数学 必修必修必修必修5 5 5 5【问题情境问题情境】某金店有一不准确的天平（臂长某金店有一不准确的天平（臂长 不等），你要买一串金项链，店主分别把项链放于不等），你要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两个盘子各称一次，分别称得质量为左右两个盘子各称一次，分别称得质量为a和和b，那么项链的实际质量是多少？那么项链的实际质量是多少？简单的做法是，把两次称得物体的质量简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均平均”一下，以一下，以 表示物体的质量表示物体的质量. 【思考思考1 1】以上做法合理吗以上做法合理吗? ?【定义定义】对于正数对于正数 我们把我们把 称为称为 的的算术平均数算术平均数， 称为称为 的的几何平均数几何平均数. .【活动探究活动探究】设天平的两臂长分别为设天平的两臂长分别为 物体物体的实际质量为的实际质量为 根据力学原理可得根据力学原理可得 所以物体的实际质量是所以物体的实际质量是 【思考思考2 2】两个两个正数正数 的算术平均数和几何平的算术平均数和几何平 均数之间具有怎样的大小关系均数之间具有怎样的大小关系? ?【猜想结论猜想结论】如果如果 是正数，那么是正数，那么 （当且仅当（当且仅当 时取时取“= =”）. . 【证明结论证明结论】 【实验探究】先取一些数作试验（见课本P96 表格） 【结论扩展结论扩展】以上结论当以上结论当 时时 仍然成立仍然成立.【注注1 1】基本不等式的几何解释基本不等式的几何解释把不等式把不等式 称为称为基本不等式基本不等式 【注注2】基本不等式的变形基本不等式的变形 【例1】计算下列两个数的算术平均数与几何平均数（其中 ） （1）3, 12； （2）2, 数学运用数学运用【例2】设 是正数，证明下列不等式成立： （1） （2）【例3】(1) 已知函数 求此函数的最小值 ; (2) 已知函数 求此函数的最小值 . 【注意】利用基本不等式求最值时，必须说明何时取等号！“一正二定三相等”【巩固练习巩固练习】1.计算下列两个数的算术平均数与几何平均数（其中 ） （1）2, 8； （2） 2. 设 是实数，求证：3. 求证：求证： 4. 求函数 的最小值,并求函数取最小值时 的值.1.基本不等式；2.基本不等式的证明； 3.利用基本不等式证明有关不等式;4.利用基本不等式求有关函数的最值（必须说明何时取等号！一正二定三相等）.【课外作业】