3.1二维随机变量的分布函数、二维随机变量的分布函数、边缘分布边缘分布从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广. 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其及其分布分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三三个坐标）来确定的等等个坐标）来确定的等等. 一一般般地地，我我们们称称n个个随随机机变变量量的的整整体体X=(X1, X2, ，Xn)为为n维维随随机机变变量量或或随随机机向量向量. 以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照 .一、一、二维随机变量二维随机变量（X,Y）的联合分布函数）的联合分布函数 X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量X表示表示 与的与的 积事件积事件分布函数的几何意义如果用平面上的点如果用平面上的点 (x, y) 表示二维表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率的取值落入图所示角形区域的概率.(x, y)xy联合分布函数的性质联合分布函数的性质xy(x, y)xyxyxy固定固定 x , 对任意的对任意的 y1 y2 , 固定固定 y , 对任意的对任意的 x1 x2 , F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )对每个变量单调不减对每个变量单调不减对每个变量右连续对每个变量右连续F (x, y1) F (x, y2)F (x1,y) F (x2, y)F (x2, y2) F (x1, y2 ) F (x2, y1) + F (x1 , y1) 0事实上事实上对于任意对于任意x1 x2 , y1 y2x1x2y1y2F (x2, y2) F (x1, y2 ) F (x2, y1) + F (x1 , y1) 二、二、二维离散型随二维离散型随 机变量机变量i, j =1,2, X和和Y 的联合概率函数的联合概率函数 k=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量Xk=1,2, X的概率函数的概率函数 为了直观，一般用表格表示联合分布律为了直观，一般用表格表示联合分布律例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三为三次抛掷中正面出现的次数，而次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率函数的概率函数 .解：（解：（ X, Y）可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=2, Y=1)=3/8P(X=3, Y=3)=1/8列表如下列表如下P(X=1, Y=1)= (1/2)3=3/8 连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的密度函数的密度函数三、三、二维连续型随二维连续型随机变量机变量X和和Y 的联合密度函数的联合密度函数定义定义 设二维设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为的分布函数为F(x ,y ),若存在非负可积函数若存在非负可积函数 f (x,y) ,使得对使得对于任意实数于任意实数 x , y 有有则称则称( X ,Y ) 为为二维连续型二维连续型 r.v. f (x,y) 为为( X ,Y ) 的的联合概率密度函数联合概率密度函数简称简称概率密度函数概率密度函数简记简记 p.d.f.联合密度的性质联合密度的性质12对每个变量连续对每个变量连续, , 在在 的连续点处的连续点处3若若G G 是平面上的区域，则是平面上的区域，则4P( X = a ,- Y + ) = 0P(- X Y )(1)解解(2)例4 设设 r.v.( X ,Y ) 的联合的联合 d.f. 为为求求(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)解解当当x0 或或 y 2)解解 (1)(2)(3)例例7 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度）两个边缘密度.=5c/24=1,c =24/5解：解：(1)xy01y=x解解: (2) 注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x即即注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x解解: (2) 即即 在在求求连连续续型型 r.v 的的边边缘缘密密度度时时，往往往往要要求求联联合合密密度度在在某某区区域域上上的的积积分分. 当当联联合合密密度度函函数数是是分分片片表表示示的的时时候候，在在计计算算积积分分时时应应特特别注意积分限别注意积分限 .下面我们介绍两个常见的二维分布下面我们介绍两个常见的二维分布. 设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域，其其面面积积为为A.若二维随机变量（若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度具有概率密度则称则称（X,Y）在）在G上服从均匀分布上服从均匀分布. 向向平平面面上上有有界界区区域域G上上任任投投一一质质点点，若若质质点点落落在在G内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比，而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关. 则则质点的坐标（质点的坐标（ X,Y）在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.例例 若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度具有概率密度记作（记作（ X,Y）N( )则称（则称（ X,Y）服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.其中其中均为常数均为常数,且且例例8 设设(X ,Y ) G 上的均匀分布上的均匀分布,(1) f ( x, y ) ;(2) P ( Y X 2 );(3) ( X ,Y ) 在平面上的落点到在平面上的落点到 y 轴距离小于轴距离小于0.3的概率的概率.求求解解 (1)y=x10xy1G(2)y = x2(3)y = x10xy10.3