第第4 4章章 机械能和功机械能和功一、功一、功:1. 恒力作用恒力作用 直线运动直线运动-描述力对空间累积效果的物理量。描述力对空间累积效果的物理量。2.一般运动一般运动 （变力作用（变力作用 曲线运动）曲线运动）元功元功 0 正功正功 =900 A=0 不做功不做功 900 A0 负功负功 动能和动能定理动能和动能定理若为恒力，质点由若为恒力，质点由 a b 沿直线运动沿直线运动-中学公式中学公式合力的功等于各分力功的代数和合力的功等于各分力功的代数和3. 合外力的功合外力的功直角坐标系下直角坐标系下例例1. 已知：已知：求：求：A解：解：例例2 作用在质点上的力为作用在质点上的力为在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从a点点处运动到处运动到b点点处该力作的功：处该力作的功：（2） 运动轨道为抛物线运动轨道为抛物线（1）轨道为直线）轨道为直线XYOabXYOab做功与路经有关做功与路经有关 ！解解 注意：注意：(1) 功功-标标量量，可可加加(2) 功与力和位移有关。功与力和位移有关。(3) 功是过程量功是过程量( (因为位移是过程量因为位移是过程量) )。说某时刻的功。说某时刻的功 无意义无意义。(4) 功与参考系有关功与参考系有关( (因为位移与参考系有关因为位移与参考系有关) )。(5) 功的单位为焦耳功的单位为焦耳（J），），与能量单位相同。与能量单位相同。(6) 功总是某个具体的力或合力的功。功总是某个具体的力或合力的功。二、功率二、功率 - - 描述做功快慢的物理量描述做功快慢的物理量定义：力在单位时间内所作的功。定义：力在单位时间内所作的功。平均功率：平均功率：瞬时功率瞬时功率单位：瓦（单位：瓦（W)。1W = 1J/S = 1kgm2/s3（watt）三三 、动能、动能:1.定义定义:动能是物体状态的单值函数，反映物体做功的本领。动能是物体状态的单值函数，反映物体做功的本领。2.动能的性质动能的性质: 瞬时性；相对性瞬时性；相对性铅直下落的冰雹铅直下落的冰雹,质量为质量为 m,某时刻的速率为某时刻的速率为v,试试问从地面上以速率问从地面上以速率v水平运动的车上观察水平运动的车上观察,该冰该冰雹的动能是多少？雹的动能是多少？问题：问题：vv（答案（答案:mv2）注意注意（1）功是动能变化的量度。功是动能变化的量度。（2）功是过程量，动能是状态量。）功是过程量，动能是状态量。（3）功与动能是对同一惯性参考系的。）功与动能是对同一惯性参考系的。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量合外力对质点所做的功等于质点动能的增量ab四、四、 动能定理动能定理1. 质点动能定理质点动能定理-质点运动的动能定质点运动的动能定理理例例1 一根质量为一根质量为m长为长为 L的匀质链条的匀质链条, 放在摩擦系数为放在摩擦系数为的水平桌的水平桌面上面上,其一端下垂其一端下垂,长度为长度为a, 如图所示如图所示 ,设链条由静止开始运动设链条由静止开始运动,求求: 链条离开桌面过程中摩擦力所做的功链条离开桌面过程中摩擦力所做的功 ; 链条刚刚离开桌面时的速率链条刚刚离开桌面时的速率 。（2）确定研究对象：）确定研究对象：（3）分析所受的力；重力和摩擦力）分析所受的力；重力和摩擦力（1）选择地球惯性系建立坐标系；）选择地球惯性系建立坐标系；链条链条解：解：ox摩擦力摩擦力:设经时间设经时间 t 秒，链条下落秒，链条下落 x（4）链条离开桌面过程中摩擦力所做的功）链条离开桌面过程中摩擦力所做的功aL-aL- xxmgf（5）下落过程重力做的功：）下落过程重力做的功：（6）应用动能定理列方程解方程）应用动能定理列方程解方程链条刚刚离开桌面时的速率：链条刚刚离开桌面时的速率：oxaL-aL- xxmgf例例2: 光滑水平面上，有一半圆形屏障，质量光滑水平面上，有一半圆形屏障，质量 m 的滑块，的滑块，以初速度以初速度 v0 沿切线方向进入屏障，二者之间的摩擦系数沿切线方向进入屏障，二者之间的摩擦系数，试求滑块从进入屏障运动到从另一端滑出时摩擦力，试求滑块从进入屏障运动到从另一端滑出时摩擦力的功。的功。解：解：（1）确定研究对象：）确定研究对象：（3）受力分析如图受力分析如图(2) 选择地球惯性系建立自然坐标系；选择地球惯性系建立自然坐标系；滑块滑块（4）运用牛顿定律求滑块速度运用牛顿定律求滑块速度(5) 由动能定理得由动能定理得:一、讨论几个特殊力做功一、讨论几个特殊力做功1. 重力的功重力的功 保守力做功与势能保守力做功与势能对对 的万有引力为的万有引力为由由 点移动到点移动到 点时点时 作功为作功为 2.引力的功引力的功3. 弹力的功弹力的功弹簧离开平衡位置时弹力作负功；弹簧离开平衡位置时弹力作负功；弹簧回复平衡位置时弹力作正功。弹簧回复平衡位置时弹力作正功。u保守力：保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的始末位某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为置有关，而与路径无关。这种力称为保守力保守力。典型的保守力：重力、万有引力、弹性力典型的保守力：重力、万有引力、弹性力典型的非保守力：典型的非保守力： 摩擦力摩擦力u2.2.非保守力非保守力：凡做功与路径有关的力。：凡做功与路径有关的力。u3. 保守力的环流保守力的环流abcd 保守力的环流为零。凡是保守力的环流为零。凡是做做功与路径无关的力，或功与路径无关的力，或环流为零的力称为保守力。环流为零的力称为保守力。 1.保守力作用下的物体处于一定位置所具有的能量（或保守力作用下的物体处于一定位置所具有的能量（或与相互作用的物体相对位置有关的能量与相互作用的物体相对位置有关的能量)。用。用 Ep 表示。表示。二、势能二、势能弹性势能弹性势能引力势能引力势能重力势能重力势能弹力功弹力功引力功引力功重力功重力功u 势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .u 势能是状态函数势能是状态函数u 势能是属于系统的势能是属于系统的 .注意注意：重力势能常以地面为零势能点。重力势能常以地面为零势能点。引力势能常以无穷远为零势能点。引力势能常以无穷远为零势能点。 弹性势能常以弹簧原长为零势能点。弹性势能常以弹簧原长为零势能点。u 保守力做功与势能的关系保守力做功与势能的关系 以保守力相互作用的物体系统，相对位置变动时，以保守力相互作用的物体系统，相对位置变动时，保守力所做的功等于系统势能的增量的负值。保守力所做的功等于系统势能的增量的负值。令令u 势能计算势能计算 保守力作正功，势能减小；保守力作负功势能增加。保守力作正功，势能减小；保守力作负功势能增加。即：即：例例1 求质量为求质量为 m 1 ，在，在 m2 的有万有引力作用下，二者的有万有引力作用下，二者之间的距离由之间的距离由 x 增加到增加到 x+d 所需做的功。所需做的功。解：解：一、质点系的动能定理一、质点系的动能定理质点系：质点系：m1 m2内力：内力：外力：外力： 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律两式相加得：两式相加得：即：外力的功之和内力的功之和即：外力的功之和内力的功之和 系统末动能系统初动能系统末动能系统初动能所有外力对质点系做的功和内力对质点系所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。做的功之和等于质点系总动能的增量。注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。质点系动能定理：质点系动能定理：由质点系的动能定理：由质点系的动能定理：A外外+A内内=EkB - EkA A内内=A保内保内A非保内非保内 A外外+ A保内保内A非保内非保内= EkB - EkA 又又 A保内保内EPAEPB A外外 A非保内非保内 (EkB+EPB )-(EkA +EPA)定义定义 EEk + EP - 机械能机械能即即 A外外 A非保内非保内EB - EA质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守力的功的总和等于其机械能的增量。称为力的功的总和等于其机械能的增量。称为功能原理功能原理。二、质点系的功能原理二、质点系的功能原理注意：注意：（1）与动能定理形式不同，无本质的区别。）与动能定理形式不同，无本质的区别。在动能定理中，功包括在动能定理中，功包括外力功外力功和和所有内力功所有内力功。在功能原理中的功，包括在功能原理中的功，包括外力功外力功和和非保守内力功非保守内力功。（2）不要重复计算保守力的功）不要重复计算保守力的功（3）适用于刚体。）适用于刚体。功能原理功能原理三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律A外外0 A非保内非保内0则：则： EB EA常量常量如果如果 只有保守内力做功只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能的情况下，质点系的机械能保持不变保持不变-机械能守恒定律机械能守恒定律四、四、能量守恒与转换定律能量守恒与转换定律A外外 A非保内非保内EB - EA上式也可写成上式也可写成 即在满足机械能守恒条件下的运动过程中，动能的增即在满足机械能守恒条件下的运动过程中，动能的增加等于势能的减少。即动能与势能等量地相互转换着。加等于势能的减少。即动能与势能等量地相互转换着。 一个封闭系统经历任何变化时，该系统的所有能一个封闭系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，它只能从一种形式转化为另一种量的总和是不变的，它只能从一种形式转化为另一种形式，或从系统内的一个物体传递给另一个物体。形式，或从系统内的一个物体传递给另一个物体。例例2：如图轻质弹簧一端悬于半径为如图轻质弹簧一端悬于半径为R的竖直圆环的的竖直圆环的P点点,另一端系一珠子另一端系一珠子(质量为质量为m)，珠子穿在圆环上并能沿，珠子穿在圆环上并能沿光滑圆环运动。光滑圆环运动。 开始珠子静止于开始珠子静止于A点点,PA=R为弹簧自然为弹簧自然长度长度, 当珠子沿圆环运动到底端当珠子沿圆环运动到底端B点时点时 ,对圆环的压力对圆环的压力为零为零, 试求弹簧的倔强系数试求弹簧的倔强系数k。PoBA（1） 以地球以地球+圆环圆环+珠子为研究对象珠子为研究对象（2）分析系统所受的力及力所做的功；）分析系统所受的力及力所做的功；所以系统机械能守恒所以系统机械能守恒选择零势能点；选择零势能点；（3）计算始末态的机械能）计算始末态的机械能弹力、弹力、重力零势能重力零势能： A点点保守力：保守力： 重力、弹力重力、弹力非保守力：非保守力： 支持力支持力 其功为零。其功为零。解：解：CA点机械能：点机械能：PoBAC60oBAPoeB点机械能：点机械能：（4）列方程求解）列方程求解A，B两点机两点机械能守恒：械能守恒：在在B点，点，N=0，由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：解方程得：解方程得：五、运用功能原理解题步骤五、运用功能原理解题步骤（1）确定研究对象）确定研究对象“系统系统”（保守力的施力体（保守力的施力体 划在系统内）划在系统内）（2）分析系统所受的力及力所做的功；）分析系统所受的力及力所做的功；（3）选择惯性系建坐标；）选择惯性系建坐标；（4）选择零势能点；）选择零势能点；（5）计算始末态的机械能及各力所做的功）计算始末态的机械能及各力所做的功（6）应用功能原理列方程解方程）应用功能原理列方程解方程 。 例例3：一一质质量量m的的卫卫星星绕绕质质量量M的的地地球球作作椭椭圆圆运运动动，近近地地点点A、远远地地点点B分分别别距距地地心心 rA、rB 远远，万万有有引引力力常常数数为为G。则卫星在。则卫星在A、B两点的两点的动能之差动能之差EkB EkA=_A B rA rB 地球地球解：解：系统机械能守恒系统机械能守恒另一解法：另一解法：? 例例4 如如图图所所示示，质质量量为为 m 的的珠珠子子，穿穿在在半半径径为为 R 的的固固定定不不动动的的铅铅直直圆圆环环上上，并并可可沿沿圆圆环环作作无无摩摩擦擦的的滑滑动动。珠珠子子又又与与倔倔强强系系数数为为 k 的的轻轻弹弹簧簧连连结结，而而弹弹簧簧的的另另一一端端固固定定于于环环底底点点 C。开开始始时时，珠珠子子静静止止于于环环顶顶 A 处处，此此时时弹弹簧簧无无形形变变。当当珠珠子子滑滑到到点点 B（B与与 O 在在同同一一水水平平线线上上）时时，珠珠子子的的速速度度为为多多大大？圆圆环环作作用用于于珠珠子子上上的正压力为多大？的正压力为多大？ 解：解：以弹簧、珠子和地球为系统，以弹簧、珠子和地球为系统，珠子受力如图所示珠子受力如图所示, 系统机械能守恒。系统机械能守恒。取取 A 点为零势能点，由机械能守恒点为零势能点，由机械能守恒定律得：定律得：所以：所以：将将 v 的值代入上式，可求得：的值代入上式，可求得：在在点点 B 的法的法向上应用牛顿定律，得向上应用牛顿定律，得