2024/9/8解析几何第第2 2章章 空间的平面与直线空间的平面与直线2024/9/81 如果一非零向量如果一非零向量垂直于一平面，这向量就垂直于一平面，这向量就叫做该平面的叫做该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程2.1.1 2.1.1 平面的方程平面的方程2024/9/82平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点2024/9/83解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得2024/9/84取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解2024/9/85例例3 3 已知两点已知两点M(1,-2,3)M(1,-2,3)与与N(3,0,-1)N(3,0,-1)，求，求线段线段MNMN的垂直平分面方程。的垂直平分面方程。2024/9/86由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面表示表示（A,B,C不同时为零）不同时为零）不妨设不妨设，则，则，为一平面，为一平面. .2024/9/87平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.平面的一般方程平面的一般方程2024/9/88设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解例例 4 4 设平面过原点及点设平面过原点及点)2, 3, 6(- -，且与平面，且与平面824= =+ +- -zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.2024/9/89例例5 5 求通过点求通过点M(2,-1,1)M(2,-1,1)与与N(3,-2,1)N(3,-2,1)，且，且平行于平行于z z轴的平面的方程轴的平面的方程2024/9/810设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解例例 6 6 设平面与设平面与zyx,三轴分别交于三轴分别交于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其中（其中0 a，0 b，0 c），），求此平面方程求此平面方程.2024/9/811将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程2024/9/812设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解例例 7 7 求平行于平面求平行于平面0566= =+ + + +zyx而与三个坐而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.2024/9/813化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为或或2024/9/8142024/9/8已知平面上一点和不共线两个向量已知平面上一点和不共线两个向量, ,求通过该点与两向量平行的平面求通过该点与两向量平行的平面点位式点位式/ /坐标式参数方程坐标式参数方程点位式（点位式（2.1.32.1.3或或2.1.42.1.4）坐标式参数方程坐标式参数方程(2.1.2)(2.1.2)2024/9/8152024/9/8已知不共线的三点已知不共线的三点, ,求通过三点的平面求通过三点的平面三点式方程三点式方程(2.1.6)(2.1.6)向量式法式方程向量式法式方程(2.1.10)(2.1.10)坐标式法式方程坐标式法式方程(2.1.11)(2.1.11)以上共介绍了多少种方法以上共介绍了多少种方法? ?哪些方法适用于仿射坐标系哪些方法适用于仿射坐标系? ?哪些方法适用于直角坐标系哪些方法适用于直角坐标系? ?2024/9/816练习11. 1. 通过点通过点M(3,1,-1)M(3,1,-1)和和N(1,-1,0)N(1,-1,0)且平行于且平行于矢量矢量 -1,0,2-1,0,2的平面的平面. .2. 2. 通过点通过点M(1,-5,1)M(1,-5,1)和和N(3,2,-2)N(3,2,-2)且垂直于且垂直于xOyxOy坐标面的平面坐标面的平面. .3. 3. 已知四点已知四点(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4),D(4,0,6),(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4),D(4,0,6),求求通过直线通过直线ABAB且平行于直线且平行于直线CDCD的平面，并求的平面，并求通过直线通过直线ABAB且与三角形且与三角形ABCABC所在平面垂直的所在平面垂直的平面平面. .2024/9/8174. 4. 过点过点M(3,2,-4)M(3,2,-4)且在且在x x轴和轴和y y轴上截距分轴上截距分别为别为-2-2和和-3-3的平面的平面5. 5. 已知两点已知两点M1(3,-1,2)M1(3,-1,2)和和M2(4,-2,-1) M2(4,-2,-1) ，通过通过M1M1且垂直于且垂直于M1M2M1M2的平面的平面6. 6. 已知平面上三点已知平面上三点A(3,-1,2) B (4,-2,-A(3,-1,2) B (4,-2,-1) C(3,2,-4)1) C(3,2,-4)，求平面方程。，求平面方程。求通过直线求通过直线 ，且，且在在y y轴与轴与z z轴上截距相等的平面方程轴上截距相等的平面方程2024/9/818定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程（注：两平面不平行）（注：两平面不平行）一一、空间直线的一般方程、空间直线的一般方程2.1.2 2.1.2 空间直线的方程空间直线的方程2024/9/819方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/二、空间直线的对称式方程直线的对称式方程直线的对称式方程（标准方程、点向式（标准方程、点向式方程）方程）2024/9/8202024/9/821因此因此, ,所求直线方程为所求直线方程为 例例1 1 求过点求过点(1,0,-2)(1,0,-2)且与平面且与平面3 3x x+4+4y y- -z z+6=0+6=0平行平行, ,又与直线又与直线 垂直的垂直的直线方程直线方程. .解解: 设所求线的方向向量为设所求线的方向向量为已知平面的法向量已知平面的法向量已知直线的方向向量已知直线的方向向量取取2024/9/822三、空间直线的参数式方程直线的一组直线的一组方向数方向数令令方向向量的余弦称为直方向向量的余弦称为直线的线的方向余弦方向余弦. .直线的参数方程直线的参数方程由由直线的对称式方程直线的对称式方程2024/9/823例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标2024/9/824因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程得参数方程得参数方程令令2024/9/825解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程例例 3 3 一直线过点一直线过点)4 , 3, 2(- -A，且和，且和y轴垂直轴垂直 相相交，求其方程交，求其方程. . 2024/9/8262024/9/8四、空间直线的两点式方程四、空间直线的两点式方程(2.1.15)(2.1.15)另另, , 直角坐标系下的参数式和对称式直角坐标系下的参数式和对称式, , 即即直线直线l l的方向向量可取成单位向量的方向向量可取成单位向量( (方向余弦方向余弦),), 2024/9/8272024/9/82.2.1 2.2.1 空间两平面的相关位置空间两平面的相关位置 相交相交 平行平行 重合重合2024/9/828定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 （所成（所成锐角锐角）称为直线与平面）称为直线与平面的夹角的夹角2.2.2 2.2.2 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置2024/9/829直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/2024/9/830解解为所求夹角为所求夹角2024/9/831直线与平面的交点2024/9/832分析分析: : 关键是求得直线上另外关键是求得直线上另外一个点一个点 M M1 1. M. M1 1在过在过M M且平行且平行于于 平面平面 P P 的一个平面的一个平面P P1 1上上, ,待求直线又与已知直线相交待求直线又与已知直线相交, ,交点既在交点既在P P1 1上上, ,又在又在 L L上上, ,因此是因此是L L与与P P1 1的交点的交点. . 例例2 2 求过点求过点 M (-1,2,-3), M (-1,2,-3), 且平行且平行于平面于平面 又与直线又与直线相交的直线方程相交的直线方程. .解解 过过M M作平行于作平行于 平面平面 P P 的一个平的一个平P P1 1 PMLP1M12024/9/833求平面求平面 P P1 1与已知直线与已知直线 L L的交点的交点P1: 即即P1:2024/9/834定理定理3.7.1 3.7.1 判定空间两直线判定空间两直线 的相关位置的充要条件为：的相关位置的充要条件为： 异面异面 相交相交 平行平行 重合重合一、空间两直线的相关位置一、空间两直线的相关位置2.2.3 2.2.3 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置2024/9/835例例 求通求通过点点且与两直且与两直线都相交的直都相交的直线的方程的方程.解解：设直线方程为：所以直线方程为：定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的两直线的方向向量的夹角或其补角夹角或其补角称之称之为该两直线的夹角为该两直线的夹角. .两直线的夹角公式两直线的夹角公式空间两直线的夹角空间两直线的夹角2024/9/837两直线的位置关系：两直线的位置关系：直线直线直线直线例如，例如，2024/9/838解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程2024/9/839解解先作一过点先作一过点M M且与已知且与已知直线垂直的平面直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N N, ,令令M MN NL L2024/9/840代入平面方程得代入平面方程得 , ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为2024/9/8412024/9/82.3 2.3 平面束平面束 共轴平面束共轴平面束 平行平面束平行平面束 求平面方程的另一种方法求平面方程的另一种方法平面束法平面束法2024/9/8422024/9/8如果直线L用一般式方程表示 设 ， 为不同时为零的任意实数，则就表示以L为轴的平面束方程平面束方程.2024/9/8432024/9/82024/9/8442024/9/82024/9/8452024/9/82024/9/846LdP1是是L外一点外一点,设直线设直线L,求求P0到到L的距离的距离d . 设设 为为L上上任一点，如图任一点，如图SS又又于是于是点到直线的距离公式点到直线的距离公式2.4.1 2.4.1 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置2024/9/847例例1010 求点求点(5,4,2)到直线到直线的距离的距离d.解解2024/9/848解解2.4.2 2.4.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置2024/9/8492024/9/850点到平面距离公式点到平面距离公式2024/9/851在第一个平面内任取一点，比如（在第一个平面内任取一点，比如（0 0，0 0，1 1），），2024/9/852平面划分空间问题空间上任何一点空间上任何一点M M对平面的离差对平面的离差例题例题 已知平面：已知平面：x+2y-3z+4=0x+2y-3z+4=0，点，点O(0,0,0), A(1,1,4), B(1,0,-O(0,0,0), A(1,1,4), B(1,0,-2),C(2,0,2),D(0,0,4),E(1,3,0), F(-2),C(2,0,2),D(0,0,4),E(1,3,0), F(-1,0,1)1,0,1)，试区分上述各点哪些在平面的某，试区分上述各点哪些在平面的某一侧，哪些在平面的另一侧，哪些点在平一侧，哪些在平面的另一侧，哪些点在平面上。面上。2024/9/853练习2已知四面体的四个顶点为已知四面体的四个顶点为S(0,6,4), S(0,6,4), A(3,5,3), B(-2,11,-5), C(1,-1,4).A(3,5,3), B(-2,11,-5), C(1,-1,4).计算计算从顶点从顶点S S向底面向底面ABCABC所引的高所引的高. .求中心在求中心在C(3,-5,-2)C(3,-5,-2)且与平面且与平面2x-y-2x-y-3z+11=03z+11=0相切的球面方程。相切的球面方程。求与下列两平面距离相等的点的轨迹求与下列两平面距离相等的点的轨迹3x+6y-2z-7=03x+6y-2z-7=0和和4x-3y-5=04x-3y-5=02024/9/854定义定义定义定义3.7.2 3.7.2 3.7.2 3.7.2 空间两直线上的点之间的最短距离，叫做空间两直线上的点之间的最短距离，叫做空间两直线上的点之间的最短距离，叫做空间两直线上的点之间的最短距离，叫做这两条直线之间的距离。这两条直线之间的距离。这两条直线之间的距离。这两条直线之间的距离。定义定义定义定义3.7.3 3.7.3 3.7.3 3.7.3 与两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两异面与两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两异面与两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两异面与两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两异面直线的公垂线，两个交点之间的线段的长叫做公垂线的长。直线的公垂线，两个交点之间的线段的长叫做公垂线的长。直线的公垂线，两个交点之间的线段的长叫做公垂线的长。直线的公垂线，两个交点之间的线段的长叫做公垂线的长。定理定理定理定理3.7.3 3.7.3 3.7.3 3.7.3 两异面直线间的距离等于它们公垂线的长。两异面直线间的距离等于它们公垂线的长。两异面直线间的距离等于它们公垂线的长。两异面直线间的距离等于它们公垂线的长。两异面直线间的距离与公垂线方程（直角坐标系）两异面直线间的距离与公垂线方程（直角坐标系）2.4.3 2.4.3 两直线的距离两直线的距离2024/9/855定理定理定理定理3.7.4 3.7.4 3.7.4 3.7.4 两异面直线两异面直线两异面直线两异面直线之间的距离公式是：之间的距离公式是：之间的距离公式是：之间的距离公式是：几何意义：两条异面直线几何意义：两条异面直线几何意义：两条异面直线几何意义：两条异面直线 之间的距离等于以之间的距离等于以之间的距离等于以之间的距离等于以 为棱的平行六面体的体积除以以为棱的平行六面体的体积除以以为棱的平行六面体的体积除以以为棱的平行六面体的体积除以以 为邻边的平行四边形的为邻边的平行四边形的为邻边的平行四边形的为邻边的平行四边形的面积面积面积面积. . . .2024/9/856两个异面直线的公垂线方程为：两个异面直线的公垂线方程为：2024/9/857例例3 已知两直已知两直线，试证明两明两直直线 与与 为异面直异面直线，并求，并求与与间的距离与它的距离与它们的公垂的公垂线方程方程.2024/9/8582.4.4 2.4.4 角度角度两相交平面夹角两相交平面夹角直线与平面夹角直线与平面夹角两直线之间夹角两直线之间夹角2024/9/859定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. .2.4.4 2.4.4 两平面的夹角两平面的夹角2024/9/860按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/2024/9/861例例1 1 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角2024/9/862两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.2024/9/8632024/9/8小结 平面方程平面方程 直线方程直线方程 几何关系几何关系 位置关系位置关系 距离距离 角度角度公垂线方程和长度公垂线方程和长度投影点投影点2024/9/864