第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数1.1.角的有关概念角的有关概念射线射线旋转旋转象限角象限角正角正角负角负角零角零角+k+k360360o o,kZ,kZ2.2.弧度的定义和公式弧度的定义和公式(1)(1)定义定义: :在以单位长为半径的圆中在以单位长为半径的圆中,_,_的弧所对的圆心的弧所对的圆心角为角为1 1弧度的角弧度的角, ,它的单位符号是它的单位符号是_，读作，读作_._.角角的弧度数公式的弧度数公式 | |= |= （弧长用（弧长用l表示）表示）角度与弧度的换算角度与弧度的换算1 1= = radrad 1 1 radrad=( )=( ) 弧长公式弧长公式弧长弧长l= =扇形面积公式扇形面积公式S= = S= = 单位长度单位长度radrad弧度弧度r|r| |（2 2）公式：）公式：3.3.任意角的三角函数任意角的三角函数（1 1）定义：在平面直角坐标系中，设角）定义：在平面直角坐标系中，设角的终边与单位圆交的终边与单位圆交于点于点P(u,vP(u,v) )，则，则sin =_sin =_，coscos =_ =_，tan = .tan = .(2)(2)几何表示几何表示: :三角函数线可以看作是三角函数的几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. .正正弦线的起点都在弦线的起点都在x x 轴上轴上, ,余弦线的起点都是原点余弦线的起点都是原点, ,正切线的起点正切线的起点都是都是(1,0).(1,0).v vu u如图中有向线段如图中有向线段MPMP，OMOM，ATAT分别叫做角分别叫做角的的_，角，角的的_和角和角的的_._.正弦线正弦线余弦线余弦线正切线正切线4.4.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 角角0 03030454560609090120120150150180180角角的的弧度数弧度数 0 0 sin sin _coscos _tan tan _0 01 10 01 10 00 0-1-11 10 0判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）. .（1 1）小于）小于9090的角是锐角的角是锐角.( ).( )（2 2）锐角是第一象限角，反之亦然）锐角是第一象限角，反之亦然.( ).( )（3 3）与）与4545角终边相同的角可表示为角终边相同的角可表示为k k360360+45+45，kZkZ或或2k+452k+45，kZkZ.( ).( )（4 4）将分针拨快）将分针拨快1010分钟，则分针转过的角度是分钟，则分针转过的角度是6060.( ).( )（5 5）终边相同的角的同一三角函数值相等）终边相同的角的同一三角函数值相等.( ).( )（6 6）点）点P P（tan tan ，coscos ）在第三象限，则角）在第三象限，则角终边在第二终边在第二象限象限.( ).( )【解析解析】（1 1）错误）错误. .负角小于负角小于9090但它不是锐角但它不是锐角. .（2 2）错误）错误. .第一象限角不一定是锐角，如第一象限角不一定是锐角，如-350-350是第一象限角，是第一象限角，但它不是锐角但它不是锐角. .（3 3）错误）错误. .不能表示成不能表示成2k+452k+45,kZ,kZ，即角度和弧度不能混，即角度和弧度不能混用用. .（4 4）错误）错误. .拨快分针时，分针顺时针旋转，应为拨快分针时，分针顺时针旋转，应为-60-60. .（5 5）正确）正确. .由诱导公式（一）可知或由三角函数的定义可得由诱导公式（一）可知或由三角函数的定义可得. .(6)(6)正确正确. .由已知得由已知得tan tan 0 0，coscos 0 0，所以，所以为第二象限为第二象限角角. .答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4） (5) (5) (6)(6)1.1.终边落在第二象限的角可表示为终边落在第二象限的角可表示为( )( )(A)|90(A)|90+2k+2k180180+2k+2k，kZkZ ( (B)B)| +2k| +2k+2k+2k，kZkZ (C)|90(C)|90+k+k180180180180+k+k180180，kZkZ ( (D)D)| +k| +k +k+k，kZkZ 【解析解析】选选B.AB.A错，角度与弧度不能混用错，角度与弧度不能混用.C,D.C,D错，当错，当k k为奇数时为奇数时不成立，故选不成立，故选B.B.2.2.已知已知sin sin 0 0，tan tan 0 0，那么角，那么角是是( )( )(A)(A)第一象限角第一象限角 (B)(B)第二象限角第二象限角(C)(C)第三象限角第三象限角 (D)(D)第四象限角第四象限角【解析解析】选选C.C.由由sin sin 0 0，则，则的终边在三、四象限，或的终边在三、四象限，或y y轴轴负半轴负半轴. .由由tan tan 0 0，则，则的终边在一、三象限，故的终边在一、三象限，故是第三是第三象限角象限角. .3.3.已知扇形的面积为已知扇形的面积为2 cm2 cm2 2，扇形圆心角的弧度数是，扇形圆心角的弧度数是4 4，则扇形，则扇形的周长为的周长为( )( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析解析】选选C.C.设扇形的弧长为设扇形的弧长为l，半径为，半径为r,r,圆心角为圆心角为，则，则 解得解得r=1,r=1,故故l=|=|r|r=4=41=4,1=4,所以扇形周所以扇形周长为长为2r+2r+l=2=21+4=6.1+4=6.4.4.已知角已知角终边上一点终边上一点A(2,2)A(2,2)，则，则tan =_.tan =_.【解析解析】答案：答案：1 1考向考向 1 1 终边相同的角的表示终边相同的角的表示【典例典例1 1】（1 1）若）若是第三象限的角，则是第三象限的角，则- - 是是( )( )(A)(A)第一或第二象限的角第一或第二象限的角 (B)(B)第一或第三象限的角第一或第三象限的角(C)(C)第二或第三象限的角第二或第三象限的角 (D)(D)第二或第四象限的角第二或第四象限的角（2 2）已知角）已知角是第一象限角，确定是第一象限角，确定22， 的终边所在的象的终边所在的象限位置限位置. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)由由为第三象限角求得为第三象限角求得- - 的范围，通过的范围，通过对对k k的奇偶性讨论可得解的奇偶性讨论可得解. .(2)(2)由由所在的象限写出角所在的象限写出角的范围，从而得的范围，从而得2, 2, 的范围，的范围，最后确定终边所在的位置最后确定终边所在的位置. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.由由得得故故当当k k为偶数时为偶数时- - 在第一象限，当在第一象限，当k k取奇数时取奇数时- - 在第三象在第三象限，故选限，故选B.B. (2)(2)是第一象限角，是第一象限角，k k4422k k4+,kZ,4+,kZ,即即2k2k22222k2k2+,kZ,2+,kZ,22的终边在第一象限或第二象限或的终边在第一象限或第二象限或y y轴的非负半轴上轴的非负半轴上. .当当k=2n(nZ)k=2n(nZ)时时, , 的终边在第一象限的终边在第一象限. .当当k=2n+1(nZ)k=2n+1(nZ)时时, ,即即 的终边在第三象限的终边在第三象限. .综上可得综上可得 的终边在第一象限或第三象限的终边在第一象限或第三象限. .【拓展提升拓展提升】强化对终边相同角的表示与应用强化对终边相同角的表示与应用(1)(1)所有与所有与的终边相同的角都可表示为的终边相同的角都可表示为=+k=+k360360,kZ,kZ的形式的形式. .(2)(2)根据与根据与终边相同的角的表达式终边相同的角的表达式, ,可以写出一定范围内的角；可以写出一定范围内的角；也可以根据也可以根据的终边所在的象限的终边所在的象限, ,判断判断的倍数角所在的象限的倍数角所在的象限或范围或范围. .(3)(3)与与终边相同的角的表达式中一定是终边相同的角的表达式中一定是k k360360或或k k22，两种单位不能混用两种单位不能混用. .【变式训练变式训练】若角若角与与的终边在一条直线上，则的终边在一条直线上，则与与的关的关系是系是_._.【解析解析】当当，的终边重合时，的终边重合时，=+k=+k2,kZ.2,kZ.当当，的终边互为反向延长线时，的终边互为反向延长线时，=+k=+k2=+(2k+1),kZ.2=+(2k+1),kZ.答案：答案：=+k=+k22，kZkZ或或=+(2k+1),kZ=+(2k+1),kZ考向考向 2 2 弧度制的应用弧度制的应用 【典例典例2 2】（1 1）已知扇形）已知扇形OABOAB的圆心角的圆心角为为120120，半径，半径r=6r=6，求求 的长及扇形面积的长及扇形面积. .（2 2）已知扇形周长为）已知扇形周长为2020，当扇形的圆心角为多大时，它有最，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？大面积，最大面积是多少？【思路点拨思路点拨】（1 1）将圆心角化为弧度，再利用弧度制下的弧）将圆心角化为弧度，再利用弧度制下的弧长、面积公式求解长、面积公式求解. .（2 2）利用扇形周长得半径与弧长的关系，将面积化为关于半）利用扇形周长得半径与弧长的关系，将面积化为关于半径径r r的二次函数后求最值的二次函数后求最值. .【规范解答规范解答】(1)(1)(2)(2)由已知得由已知得l+2r=20+2r=20，=10r-r=10r-r2 2=-=-（r-5r-5）2 2+25+25，所以所以r=5r=5时，面积有最大值，且时，面积有最大值，且S Smaxmax=25,=25,此时此时l=10=10，所以，所以即当圆心角为即当圆心角为2 2弧度时，面积有最大值弧度时，面积有最大值25.25.【互动探究】【互动探究】本例题（本例题（1 1）中若求扇形的弧所在的弓形面积，）中若求扇形的弧所在的弓形面积，又将如何求解？又将如何求解？【解析解析】由题（由题（1 1）解析得）解析得故弓形的面积为故弓形的面积为 【拓展提升拓展提升】弧度制应用的关注点弧度制应用的关注点（1 1）弧度制下，弧长）弧度制下，弧长l=|=|r r，扇形面积，扇形面积 此时此时为为弧度弧度. .在角度制下，弧长在角度制下，弧长 扇形面积扇形面积 此时此时n n为角为角度度. .（2 2）在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角）在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形进行求解所在的三角形进行求解. .【变式备选变式备选】已知半径为已知半径为1010的圆的圆O O中，弦中，弦|AB|AB|的长为的长为10.10.(1)(1)求弦求弦|AB|AB|所对的圆心角所对的圆心角的大小的大小. .(2)(2)求角求角所在的扇形的弧长所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积及弧所在的弓形的面积S.S.【解析解析】(1)(1)由由O O的半径的半径r=10=|AB|r=10=|AB|，知，知AOBAOB是等边三角形，是等边三角形， (2)(2)由由(1)(1)可知可知弧长弧长l而而考向考向 3 3 三角函数的定义三角函数的定义【典例典例3 3】（1 1）（）（20132013安庆模拟）已知函数安庆模拟）已知函数y=logy=loga a(x-1)(x-1)+3(a0+3(a0且且a1)a1)的图像恒过点的图像恒过点P P，若角，若角的终边经过点的终边经过点P P，则，则sinsin2 2-2sin -2sin coscos 的值等于的值等于( )( )(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) （2 2）已知角）已知角的终边上一点的终边上一点P P（ ，m m），），m0,m0,且且 求求coscos ,tan,tan 的值的值. .【思路点拨思路点拨】（1 1）先确定点）先确定点P P的坐标，然后利用定义求出的坐标，然后利用定义求出sin,cossin,cos 即可即可. .（2 2）先由）先由 并结合三角函数的定义建立关于参数并结合三角函数的定义建立关于参数m m的方程，求出的方程，求出m m的值，再根据定义求的值，再根据定义求coscos ，tan .tan .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.由题意知点由题意知点P P坐标为（坐标为（2 2，3 3），故），故 所以所以因此因此 (2)(2)由题设知由题设知r r2 2=|OP|=|OP|2 2= =（- - ）2 2+m+m2 2（O O为原点），为原点），从而从而于是于是3+m3+m2 2=8=8，解得，解得当当 时，时，当当 时，时， 【互动探究互动探究】将本例题（将本例题（2 2）中）中 改为改为 如何求如何求sin sin ，coscos ？【解析解析】由已知得，由已知得，又又 得得m=-1m=-1，【拓展提升拓展提升】 1.1.三角函数定义的推广三角函数定义的推广在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，设中，设P(xP(x, y), y)是角是角终边上任意一点，且点终边上任意一点，且点P P到原点到原点O O的距离的距离|PO|PO|r r，则，则2.2.定义法求三角函数值的两种情况定义法求三角函数值的两种情况（1 1）已知角）已知角终边上一点终边上一点P P的坐标时，可先求出点的坐标时，可先求出点P P到原点的到原点的距离距离r r，然后利用三角函数的定义的推广求解，然后利用三角函数的定义的推广求解. .（2 2）已知角）已知角的终边所在的直线方程时，可分两种情况先设的终边所在的直线方程时，可分两种情况先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题三角函数的定义求解相关的问题. .若直线的倾斜角为特殊角，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角也可直接写出角的三角函数值的三角函数值. .【变式备选变式备选】已知角已知角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4y=0上，求上，求sin sin ,cos,cos ,tan,tan 的值的值. .【解析解析】角角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4y=0上，上，在角在角的终边上任取一点的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),P(4t,-3t)(t0),则则x=4t,y=-3t,x=4t,y=-3t,当当t t0 0时，时，r=5t,r=5t,当当t t0 0时，时，综上综上或或【易错误区易错误区】三角函数定义中忽略分类讨论致误三角函数定义中忽略分类讨论致误【典例典例】（20132013天津模拟）已知角天津模拟）已知角的终边上一点的终边上一点P P（3a3a，4a4a）（）（a0a0）, ,则则sin =_.sin =_.【误区警示误区警示】本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，即没有对时，由于没有考虑参数的取值情况，即没有对a a的取值进行分的取值进行分类讨论，而求出类讨论，而求出r=5ar=5a，从而导致结果错误，从而导致结果错误. .【规范解答规范解答】x=3a,y=4a,x=3a,y=4a,(1)(1)当当a a0 0时，时，r=5ar=5a，(2)(2)当当a a0 0时，时，r=-5ar=-5a，答案：答案： 【思考点评思考点评】1.1.任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义对于三角函数的定义，如果不是在单位圆中，设角对于三角函数的定义，如果不是在单位圆中，设角的终边的终边经过点经过点P P（x x，y y），从而），从而|OP|=r= |OP|=r= 则则sin =sin =2.2.分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论解题考虑运用分类讨论解题. .在分类讨论时要对参数的所有情况逐在分类讨论时要对参数的所有情况逐类讨论，最后要进行归纳总结类讨论，最后要进行归纳总结. .1.(20131.(2013铜川模拟铜川模拟) )如果点如果点P(sincos,2cos)P(sincos,2cos)位于第三位于第三象限象限, ,那么角那么角的终边所在象限是的终边所在象限是( () )(A)(A)第一象限第一象限 (B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限 (D)(D)第四象限第四象限【解析解析】选选B.B.由点由点P P在第三象限知在第三象限知 所以所以故角故角的终边在第二象限的终边在第二象限. .2.(20132.(2013汉中模拟）已知弧度数为汉中模拟）已知弧度数为2 2的圆心角所对的弦长也是的圆心角所对的弦长也是2 2，则这个圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所对的弧长是( )( )(A)2 (B) (C)2sin 1 (D)sin 2(A)2 (B) (C)2sin 1 (D)sin 2【解析解析】选选B.B.过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线l，设半径为，设半径为r,r,则则 故故 所以弧长所以弧长l3.(20133.(2013吉安模拟）吉安模拟）P P（3 3，y)y)为为终边上一点，终边上一点，则则tan =( )tan =( )(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) 【解析解析】选选D.D.由题意知由题意知 解得解得y=y=4.4.当当y=4y=4时，时， 当当y=-4y=-4时，时， 故选故选D.D.4.4.（20132013南昌模拟）已知角南昌模拟）已知角的顶点为坐标原点，始边为的顶点为坐标原点，始边为x x轴的正半轴，若轴的正半轴，若P(4,y)P(4,y)是角是角终边上一点，且终边上一点，且则则y=_.y=_.【解析解析】由由P P（4 4，y y）是角）是角终边上一点，且终边上一点，且 可可知知y y0 0， 根据任意角的三角函数的定义得根据任意角的三角函数的定义得 化简得化简得y y2 2=64=64，解得，解得y=-8.y=-8.答案：答案：-8-81.20021.2002年在北京召开的国际数学家大会，年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）形（如图）. .如果小正方形的面积为如果小正方形的面积为大正方形的面积为大正方形的面积为1 1，直角三角形中较小，直角三角形中较小的锐角为的锐角为，那么，那么sinsin2 2-cos-cos2 2的值为的值为( )( )(A)1 (B) (C) (D) (A)1 (B) (C) (D) 【解析解析】选选D.D.依题意设直角三角形中较小的直角边长为依题意设直角三角形中较小的直角边长为x,x,较大较大的直角边长为的直角边长为y,y,则则解得解得： 故选故选D.D.2.2.直角三角形直角三角形POBPOB中，中，PBO=90PBO=90，以，以O O为圆心，为圆心，OBOB为半径作为半径作圆弧交圆弧交OPOP于于A A点，若弧点，若弧ABAB等分三角形等分三角形POBPOB的面积，且的面积，且AOBAOB= =radrad，则，则( )( )(A)tan =(A)tan =(B)tan =2(B)tan =2(C)sin =2cos (C)sin =2cos (D)2sin =cos (D)2sin =cos 【解析解析】选选B.B.设扇形的半径为设扇形的半径为r,r,则扇形的面积为则扇形的面积为 直角三直角三角形角形POBPOB中，中，|PB|=|PB|=rtanrtan , ,POBPOB的面积为的面积为 由题意得由题意得tan =2tan =2，故选，故选B.B.