一、函数的极限与连续一、函数的极限与连续复习复习二、可导、可微及导数的应用二、可导、可微及导数的应用三、不定积分与定积分三、不定积分与定积分1、四、四 则则 运运 算算 法法 则则法则法则(1)(2)只适用于有限个函数只适用于有限个函数; 在同一变化过程中，极限在同一变化过程中，极限lim f(x)、limg(x ) 必须必须存在，否则不能用上述法则存在，否则不能用上述法则.注注注注 2法则法则(3)中中lim g(x)不为不为0.定理定理一、函数的极限与连续一、函数的极限与连续（一）、函数极限的求法（一）、函数极限的求法求下列函数的极限求下列函数的极限（1）（2）（3）解解 （1）（2）（3 3）(消零因子法消零因子法)由于由于，所以不能直接用商的极限运，所以不能直接用商的极限运算法则，但算法则，但或由洛必达法则或由洛必达法则(1)2、两个重要极限、两个重要极限 求下列极限求下列极限(2) 求下列极限求下列极限比如比如：结论结论（2）（3）求极限求极限（1） 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.例例定义定义: :推广推广3 3、等价无穷小替换定理、等价无穷小替换定理证证总结：总结：解解解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意解解解解错错 求下列极限求下列极限例例例例解解解解初等函数初等函数4、初等函数求极限的方法：初等函数求极限的方法：代入法代入法.定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .5、极限存在的充要条件、极限存在的充要条件定理定理 注注 求分段函数在分段点处的极限一定要用求分段函数在分段点处的极限一定要用左右极限。左右极限。例例解解左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例证证定理定理1则则注：注：6、洛必达法则、洛必达法则定理定理2则则注：注：练习练习1：练习练习2：注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例解解注意：和、差中不能用等价无穷小代换注意：和、差中不能用等价无穷小代换例例解解关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .步骤步骤:例例解解步骤步骤:步骤步骤:例例解解定义定义1 设函数设函数 在在 内有定义内有定义,那么就称函数那么就称函数 在点在点 处处连续连续, 称为称为 的的连续点连续点.有有故故（二）、函数的连续性（二）、函数的连续性那么就称函数那么就称函数在点在点 连续连续.定义定义1定义定义2例例解解由定义由定义2知：知：（有界函数与无穷小之积仍为无穷小）（有界函数与无穷小之积仍为无穷小）例例解解闭区间上的连续函数的性质闭区间上的连续函数的性质1、最值定理、最值定理定定理理( (最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .2、介值定理、介值定理例例证证由零点定理由零点定理,例例证证由零点定理由零点定理,导数的概念数的概念定义定义二、可导、可微及导数的应用二、可导、可微及导数的应用其它形式其它形式即即注意：曲线注意：曲线y=f(x)在点在点的切线斜率的切线斜率例例解解可导与连续的关系可导与连续的关系由此可得：由此可得：函数在一点连续不一定在该点可导函数在一点连续不一定在该点可导反之则有以下定理反之则有以下定理定理定理 若函数若函数y=f(x)在点在点可导，则它在点可导，则它在点必连续必连续即即可可 导导连连 续续习题习题3.2 1、（、（2）（2）设）设f(x)在在处可导，则处可导，则解解习题习题 基本导数公式基本导数公式复合函数的导数复合函数的导数定理定理或或即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )推广推广例例解解例例解解例例解解注意注意 对复合函数的分解比较熟练后，可以不必再对复合函数的分解比较熟练后，可以不必再 写出中间变量写出中间变量如如练练 习习 题题练习题答案练习题答案3、解、解5、解、解6、解、解隐函数和由参数方程所确定的函数函数和由参数方程所确定的函数的的导数数定义定义: :隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.1、隐函数的导数、隐函数的导数例例1 1解解解得解得将将y看作看作x的函数，得的函数，得例例解解所求切线方程为所求切线方程为对数求数求导法法观察函数观察函数方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :例例解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例解解等式两边取对数得等式两边取对数得由参数方程所确定的函数的由参数方程所确定的函数的导数数例如例如消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?,则有则有即即假设函数假设函数具有单调连续反函数，具有单调连续反函数， 若其反函数若其反函数能与函数能与函数构成复合函数构成复合函数，都可导，且都可导，且而而例例解解高阶导数高阶导数定义定义 对于一个在区间（对于一个在区间（a,b）内可导的函数）内可导的函数y=f(x),如果导函数如果导函数在在（a,b）内仍然可导，则称内仍然可导，则称的导函数为的导函数为f(x)的二阶导数，记为的二阶导数，记为类似地，可以定义三阶导数（记作类似地，可以定义三阶导数（记作 等）等）及更高阶的导数及更高阶的导数例例 求以下函数的二阶导数求以下函数的二阶导数解解定义定义( (微分的实质微分的实质) )微分的定义微分的定义定理定理可微的条件可微的条件即即微分的微分的计算算求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则3、微分形式的不、微分形式的不变性性结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性例例3 3 求以下函数的微分求以下函数的微分dy解解例例6解解定理定理1 1( (费马定理费马定理) )定义定义2注意注意:例如例如,函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.在区在区间端点的函数端点的函数值相等，即相等，即如果函数如果函数 满足足在在闭区区间 上连续上连续 ， 在开区在开区间 内可导；内可导；例如例如, ,定理定理2 2（罗尔（罗尔RolleRolle中值定理）中值定理）那么在那么在内至少有一点内至少有一点使得使得定理定理3 3（拉格朗日（拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中中值定理）定理）如果函数如果函数 满足足在在闭区区间 上连续上连续 ， 在开区在开区间 内可导；内可导；那么在那么在 内至少有一点内至少有一点 ，使等式，使等式成立成立. .注意：注意：拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式推论推论1推论推论2如果函数如果函数f(x),g(x)在在(a,b)上的导数处处相上的导数处处相等，即等，即例例2 2证证例例3 3 证明不等式证明不等式证证 取取 f(x)=sinx, ,显然显然f(x)在闭区间在闭区间 a,b(或或 b,a)上连续，上连续，在开区间在开区间( (a,b) )内内( (或或( (b,a)可导，所以由可导，所以由拉格朗日中值定理，存在拉格朗日中值定理，存在2、单调区区间求法求法定义定义1:1:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.步骤步骤: :3、利用函数单调性证明不等式、利用函数单调性证明不等式例例5 5证证5 5、函数极、函数极值的求法的求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义注意注意:例如例如,定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )(是极值点情形是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤: :(不是极值点情形不是极值点情形)例例6 6解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证例例7 7解解图形如下图形如下例例8 8解解注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.定义定义2 2 称曲线弧称曲线弧ABAB是是( (向上向上) )凹凹( (或或( (向上向上) )凸凸) )的，若其的，若其上每一点都有切线，且切点附近曲线总在切线的上方上每一点都有切线，且切点附近曲线总在切线的上方( (或下方或下方),),这时也称曲线弧这时也称曲线弧ABAB为为凹弧凹弧( (或凸弧或凸弧),),相应的函相应的函数称为数称为凹凹( (或凸或凸) )函数。函数。定义定义3 连续曲线上连续曲线上凹弧凹弧与与凸弧凸弧的分界点称为的分界点称为拐点拐点7、曲、曲线凹凸的判定凹凸的判定定理定理1 1例例9 9解解注意到注意到,所以函数在其定义区间所以函数在其定义区间上是凸函数上是凸函数9、图形描形描绘的步的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、以及确定函数图形的水平、铅直渐近线、以及其他变化趋势其他变化趋势;第五步第五步例例1010解解无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点极大值极大值极小值极小值