13.5.3角平分线角平分线的性质是什么角平分线的性质是什么用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？了什么？角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的距离相等回顾 思考？ 角平分线的这条性角平分线的这条性质是怎样得到的呢？质是怎样得到的呢？开启智慧w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边w 距离相等距离相等. .w如图如图, ,已知已知:OC:OC是是AOBAOB的的平分线平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别垂足分别是是D,E.D,E.w求证求证:PD=PE(:PD=PE(平分线上的平分线上的点到这个角的两角边距离点到这个角的两角边距离相等相等).).COB1A2PDE证明证明: :因为因为PDPDOAOA，PEPEOBOB（已知），（已知），所以所以PDOPDOPEOPEO9090（垂直的定义）（垂直的定义）OCB1A2PDE在在PDO和和PEO中，因为中，因为DOPEOP（已知），（已知），PDOPEO（已证），（已证），POPO（公共边），（公共边），PDO PEO (A.A.S) PD=PE于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等四四四四 问问答答答答 ： ： ： ：1 1 1 1、 、 、 、如如如如图图，在，在，在，在RtRtABCABC 中，中，中，中，做完本做完本做完本做完本题题后，你后，你后，你后，你对对角平分角平分角平分角平分线线, , , ,又增加了什又增加了什又增加了什又增加了什么么么么认识认识? ? ? ?思考思考思考思考角平分角平分角平分角平分线线的性的性的性的性质质， ， ， ，为为我我我我们证们证明两明两明两明两线线段相等段相等段相等段相等 又提供了新的方法与途径。又提供了新的方法与途径。又提供了新的方法与途径。又提供了新的方法与途径。ABCBDBD是是是是B B 的平分的平分的平分的平分线线 ， ， ， ，DEDE ABAB，垂足，垂足，垂足，垂足为为E E， ， ， ，E EDEDE与与与与DCDC 相等相等相等相等吗吗？DD答：答：答：答：DE=DCDE=DC。 。 。 。 BDBD是是ABCABC的平分线的平分线 （D D在在ABCABC的平分线上）的平分线上） 又又又又 DEDE BABA，垂足，垂足，垂足，垂足为为E E， ， ， ， DE=DCDE=DC。 。 。 。为为什么？什么？什么？什么？DCDC BCBC，垂足为，垂足为，垂足为，垂足为C C，反过来，到一个角的两边的距离相等的点是反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图已知：如图, ,PDPDOAOA，PEPEOBOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，PDPDPEPE求证：点求证：点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上OCB1A2PDE证明：证明： PD OA，PE OB，点，点D、E为为垂足，垂足，在在Rt PDO 与与Rt PEO中中PDO= PEO=Rt PD=PE（已知）（已知）OP=OP（公共边）（公共边） Rt PDO PDO1= 2 即点即点P在在AOB的平分线上的平分线上于是就有定理：于是就有定理： 到一个角的两边距离到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上相等的点，在这个角的平分线上 思考分析命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图如图, ,设设ABCABC的角平分线的角平分线BM,CNBM,CN相交于点相交于点P,P,过点过点P P分别作分别作BC,AC,ABBC,AC,AB的垂线的垂线, ,垂足分别是垂足分别是E,F,D.E,F,D.BMBM是是ABCABC的角平分线的角平分线, ,点点P P在在BMBM上上, ,ABCABC的三条角平分线相交于一点的三条角平分线相交于一点P.P.w基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.ABCPMNDEFPD=PE(角平分线角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PD=PF.PD=PF.点点P P在在BACBAC的平分线上的平分线上( (在一个角的内部在一个角的内部, ,且到且到角的两边距离相等的点角的两边距离相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).1、 1= 2,DCAC, DEAB _(_)ACDEB12DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题、判断题（ ） 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） BD = DC ， ( ) 角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等。两边的距离相等。课时训练课时训练随随练习练习练习1 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等提示：作提示：作AOB的平分线，的平分线，交直线交直线l于于P就是所求的点就是所求的点