阶段复习课第十二章主题主题1 1 全等三角形的判定全等三角形的判定 【主主题训练1 1】(2013(2013佛山中考佛山中考) )课本指出：公本指出：公认的真命的真命题称称为公理，除了公理外，其他的真命公理，除了公理外，其他的真命题( (如推如推论、定理等、定理等) )的正确性的正确性都需要通都需要通过推理的方法推理的方法证实. .(1)(1)叙述三角形全等的判定方法中的推叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS.AAS.(2)(2)证明推明推论AAS.AAS.要求：叙述推要求：叙述推论用文字表达；用用文字表达；用图形中的符号表达已知、求形中的符号表达已知、求证，并并证明，明，证明明对各步各步骤要注明依据要注明依据. .【自自主主解解答答】(1)(1)一一个个三三角角形形的的两两个个角角及及其其中中一一个个角角的的对对边边分分别对应相等，那么这两个三角形全等别对应相等，那么这两个三角形全等. .(2)(2)已知：在已知：在ABCABC和和DEFDEF中，中，A=DA=D，B=EB=E，BC=EFBC=EF，求证：求证：ABCDEF.ABCDEF.证明：证明：因为因为A AB BC=180C=180，D DE EF=180F=180（三角形内角和定理），（三角形内角和定理），又又A=DA=D，B=EB=E（已知），（已知），所以所以C=FC=F（等式的性质）（等式的性质）. .在在ABCABC和和DEFDEF中，中， B=EB=E， BC=EFBC=EF， C=FC=F，所以所以ABCDEFABCDEF（ASAASA）. . 【主题升华主题升华】判定两个三角形全等的判定两个三角形全等的“四种思路四种思路” 找夹角找夹角(SAS);(SAS);1.1.已知两边已知两边 找直角找直角(HL,SAS);(HL,SAS); 找另一边找另一边(SSS).(SSS).2.2.已知一边一角已知一边一角. .(1)(1)边为角的对边时，找任一角边为角的对边时，找任一角(AAS).(AAS). 找角的另一边找角的另一边(SAS);(SAS);(2)(2)边为角的邻边时边为角的邻边时 找夹边的另一角找夹边的另一角(ASA);(ASA); 找边的对角找边的对角(AAS).(AAS).3.3.已知两角已知两角: :找任意一边找任意一边(AAS,ASA).(AAS,ASA).4.4.有直角，找两边（有直角，找两边（HLHL，SASSAS）. .1.(20131.(2013湘潭中考湘潭中考) )如如图，在，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，点，点D D，E E在在BCBC上，上，连接接ADAD，AE.AE.如如果只添加一个条件使果只添加一个条件使DAB=EACDAB=EAC，则添加的条件不能添加的条件不能为( () )A.BD=CE B.AD=AE A.BD=CE B.AD=AE C.DA=DE C.DA=DE D.BE=CDD.BE=CD【解析解析】选选C.C.因为因为AB=ACAB=AC，所以，所以B=CB=C，选项，选项A A中添加条件中添加条件BD=CEBD=CE，可证，可证ABDACE(SAS)ABDACE(SAS)，得到，得到DAB=EACDAB=EAC，所以选，所以选项项A A错误；选项错误；选项B B中添加条件中添加条件AD=AEAD=AE，可得，可得ADB=AECADB=AEC，可证，可证ABDACE(AAS)ABDACE(AAS)，得到，得到DAB=EACDAB=EAC，所以选项，所以选项B B错误；选错误；选项项C C中添加条件中添加条件DA=DEDA=DE，不能得出，不能得出ABDABD与与ACEACE中的某一元素对中的某一元素对应相等，所以选项应相等，所以选项C C正确；选项正确；选项D D中添加条件中添加条件BE=CDBE=CD，可推出，可推出BD=CEBD=CE，同选项，同选项A A可得选项可得选项D D错误错误. .2.(20132.(2013台州中考台州中考) )已知已知A A1 1B B1 1C C1 1与与A A2 2B B2 2C C2 2的周的周长相等，相等，现有有两个判断：两个判断：若若A A1 1B B1 1= A= A2 2B B2 2，A A1 1C C1 1=A=A2 2C C2 2，则A A1 1B B1 1C C1 1AA2 2B B2 2C C2 2；若若A A1 1=A=A2 2，B B1 1=B=B2 2，则A A1 1B B1 1C C1 1AA2 2B B2 2C C2 2. .对于上述的两个判断，下列于上述的两个判断，下列说法正确的是法正确的是( () )A.A.正确正确错误 B.B.错误正确正确C.C.，都都错误 D.D.，都正确都正确【解析解析】选选D.AD.A1 1B B1 1= A= A2 2B B2 2，A A1 1C C1 1=A=A2 2C C2 2，A A1 1B B1 1+A+A1 1C C1 1+B+B1 1C C1 1=A=A2 2C C2 2+A+A2 2B B2 2+ B+ B2 2C C2 2，B B1 1C C1 1=B=B2 2C C2 2，A A1 1B B1 1C C1 1AA2 2B B2 2C C2 2(SSS)(SSS)；A A1 1=A=A2 2，B B1 1=B=B2 2，可得，可得C C1 1=C=C2 2，所以，所以A A1 1B B1 1C C1 1与与A A2 2B B2 2C C2 2形状相同，又由周长相等，故形状相同，又由周长相等，故A A1 1B B1 1C C1 1AA2 2B B2 2C C2 2. .3.(20133.(2013昭通中考昭通中考) )如如图，AF=DCAF=DC，BCEFBCEF，只需，只需补充一个条件充一个条件，就得，就得ABCDEF.ABCDEF.【解解析析】因因为为BCEFBCEF，所所以以EFD=BCAEFD=BCA，又又因因为为AF=DCAF=DC，所所以以用用“ASAASA”，需需添添加加A=DA=D或或ABDEABDE；用用“SASSAS”，需需添添加加BC=EFBC=EF；用用“AASAAS”，需添加，需添加E=B.E=B.答案：答案：EF=BC(EF=BC(或或E=BE=B或或A=DA=D或或ABDEABDE，答案不唯一，答案不唯一) )4.(20134.(2013天津中考天津中考) )如如图，已知，已知C=DC=D，ABC=BADABC=BAD，ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，请写出写出图中一中一组相等的相等的线段段. .【解析解析】C=DC=D，ABC=BADABC=BAD，AB=BAAB=BA，ADBBCAADBBCA，AC=BDAC=BD，BC=ADBC=AD，又，又DOA=COBDOA=COB，ADOBCOADOBCO，OA=OBOA=OB，OC=OD.OC=OD.答案：答案：AC=BD(AC=BD(或或BC=ADBC=AD或或OD=OCOD=OC或或OA=OBOA=OB，答案不唯一，答案不唯一) )5.(20135.(2013呼和浩特中考呼和浩特中考) )如图，如图，CD=CACD=CA，1=21=2，EC=BC.EC=BC.求证：求证：DE=AB.DE=AB.【证明证明】1=21=2，1+ECA=2+ECA1+ECA=2+ECA，即即BCA=ECD.BCA=ECD.在在BCABCA与与ECDECD中，中， BC=ECBC=EC， BCA=ECDBCA=ECD， CA=CDCA=CD， BCAECD(SAS).DE=AB.BCAECD(SAS).DE=AB.6.(20136.(2013泉州中考泉州中考) )如图，已知如图，已知ADAD是是ABCABC的中线，分别过点的中线，分别过点B B，C C作作BEADBEAD于点于点E E，CFADCFAD交交ADAD的延长线于点的延长线于点F.F.求证：求证：BE=CF.BE=CF.【证明证明】ADAD是是ABCABC的中线，的中线，BD=CDBD=CD，BEAD, CFADBEAD, CFAD，BED=CFD =90BED=CFD =90. . BED=CFD BED=CFD，在在DBEDBE和和DCFDCF中，中， BDE=CDFBDE=CDF， BD=CDBD=CD， DBEDCFDBEDCF（AASAAS），），BE=CF.BE=CF.7.(20137.(2013普洱中考普洱中考) )如图，已知点如图，已知点B B，E E，C C，F F在同一条直线上，在同一条直线上，BE=CFBE=CF，ABDEABDE，A=D.A=D.求证：求证：AB=DE.AB=DE.【证明证明】BE=CFBE=CF，BC=EF.BC=EF.ABDEABDE，B=DEF.B=DEF. A=D A=D，在在ABCABC与与DEFDEF中，中， B=DEFB=DEF， BC=EFBC=EF，ABCDEFABCDEF（AASAAS），），AB=DE.AB=DE.主题主题2 2 全等三角形的性质及应用全等三角形的性质及应用 【主主题训练2 2】(2013(2013嘉嘉兴中考中考) )如如图，在在ABCABC与与DCBDCB中，中，ACAC与与BDBD交于点交于点E E，且且A=DA=D，AB=DC.AB=DC.(1)(1)求求证：ABEDCE.ABEDCE.(2)(2)当当AEB=50AEB=50时，求，求EBCEBC的度数的度数. .【自主解答自主解答】(1)AB=DC(1)AB=DC，A=DA=D，AEB=DECAEB=DEC，ABEDCE.ABEDCE.(2)ABEDCE(2)ABEDCE，BE=CE.EBC=ECB.BE=CE.EBC=ECB.AEB=50AEB=50，AEB=EBC+ECBAEB=EBC+ECB，EBC=25EBC=25. .【备选例例题】(2013(2013大大庆中考中考) )如如图，把一个直角三角形把一个直角三角形ACB(ACB=90ACB(ACB=90) )绕着着顶点点B B顺时针旋旋转6060，使得点，使得点C C旋旋转到到ABAB边上的一点上的一点D D，点，点A A旋旋转到点到点E E的的位置位置.F.F，G G分分别是是BDBD，BEBE上的点，上的点，BF=BF=BGBG，延，延长CFCF与与DGDG交于点交于点H.H.(1)(1)求求证：CF=DG.CF=DG.(2)(2)求出求出FHGFHG的度数的度数. .【解析解析】（1 1）在在CBFCBF和和DBGDBG中，中，CBFDBGCBFDBG（SASSAS），），CF=DG.CF=DG.（2 2）CBFDBGCBFDBG，BCF=BDGBCF=BDG，又又CFB=DFHCFB=DFH，DHF=CBF=60DHF=CBF=60，FHG=180FHG=180-DHF=180-DHF=180-60-60=120=120【主题升华主题升华】寻找对应元素的方法寻找对应元素的方法1.1.全全等等三三角角形形对对应应角角所所对对的的边边是是对对应应边边，两两个个对对应应角角所所夹夹的的边边是对应边是对应边. .2.2.全全等等三三角角形形对对应应边边所所对对的的角角是是对对应应角角，两两条条对对应应边边所所夹夹的的角角是对应角是对应角. .3.3.有公共边的，公共边常是对应边有公共边的，公共边常是对应边. .4.4.有公共角的，公共角常是对应角有公共角的，公共角常是对应角. .5.5.有对顶角的，对顶角常是对应角有对顶角的，对顶角常是对应角. .6.6.两两个个全全等等的的不不等等边边三三角角形形中中一一对对最最长长边边( (或或最最大大角角) )是是对对应应边边( (或对应角或对应角) )，一对最短边，一对最短边( (或最小角或最小角) )是对应边是对应边( (或对应角或对应角).).【知识拓展知识拓展】应用全等三角形解题思路应用全等三角形解题思路1.1.利用全等三角形证明线段相等时，要找好背景三角形利用全等三角形证明线段相等时，要找好背景三角形. .2.2.求证线段或角相等时考虑转化为证明它们所在的三角形全等求证线段或角相等时考虑转化为证明它们所在的三角形全等. .3.3.当一个图形的某些条件变化后，要能分清变与不变的结果当一个图形的某些条件变化后，要能分清变与不变的结果. .4.4.当遇到多边形问题时一般转化为三角形的问题解决当遇到多边形问题时一般转化为三角形的问题解决. .1.(20131.(2013柳州中考柳州中考) )如如图ABCDEFABCDEF，请根据根据图中提供的信中提供的信息，写出息，写出x=x=. .【解析解析】因为因为ABCDEFABCDEF，所以，所以x=EF=BC=20.x=EF=BC=20.答案：答案：20202.(20132.(2013内内江江中中考考) )已已知知：如如图，ABCABC和和ECDECD都都是是等等腰腰直直角角三角形，三角形，ACB=DCE=90ACB=DCE=90，D D为ABAB边上一点上一点. .求求证：BD=AE.BD=AE.【证明证明】ABCABC和和ECDECD都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，CD=CECD=CE，AC=BC,ECD=ACB=90AC=BC,ECD=ACB=90，ECD-ACD=ACB-ACDECD-ACD=ACB-ACD，即，即ECA=DCBECA=DCB， EC=DCEC=DC，在在ACEACE与与BCDBCD中，中， ACE=BCDACE=BCD， AC=BCAC=BC，ACEBCD.BD=AE.ACEBCD.BD=AE.3.(20133.(2013菏菏泽中考中考) )如如图，在，在ABCABC中，中，AB=CBAB=CB，ABC=90ABC=90，D D为ABAB延延长线上一上一点，点点，点E E在在BCBC边上，且上，且BE=BDBE=BD，连接接AEAE，DEDE，DC.DC.(1)(1)求求证：ABECBD.ABECBD.(2)(2)若若CAE=30CAE=30，求，求BDCBDC的度数的度数. .【解析解析】（1 1）ABCABC9090，DBEDBE180180ABCABC18018090909090，ABEABECBDCBD在在ABEABE和和CBDCBD中，中， ABECBDABECBD（SASSAS）. .（2 2）ABABCBCB，ABCABC9090，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ECAECA4545CAECAE3030，BEABEAECAECAEACEAC，BEABEA454530307575由（由（1 1）知）知ABECBDABECBD，BDCBDCBEABEA，BDCBDC7575 主题主题3 3 角平分角平分线的性的性质及其判定及其判定【主主题训练3 3】(2012(2012达达州州中中考考) )数数学学课上上，探探讨角角平平分分线的的作作法法时，李李老老师用用直尺和直尺和圆规作角平分作角平分线，方法如下：，方法如下：小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：方法如下：步步骤：利用三角板上的刻度，利用三角板上的刻度，在在OAOA和和OBOB上分上分别截取截取OMOM，ONON，使，使OM=ON.OM=ON.分分别过M M，N N作作OMOM，ONON的垂的垂线，交于点交于点P.P.作射作射线OP.OP.则OPOP为AOBAOB的平分的平分线. . 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线作角平分线. .根据以上情境，解决下列问题：根据以上情境，解决下列问题：(1)(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是法是. .(2)(2)小聪的作法正确吗小聪的作法正确吗? ?请说明理由请说明理由. .(3)(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法( (要求：作出图要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明形，写出作图步骤，不予证明).).【自自主主解解答答】(1)(1)李李老老师师用用尺尺规规作作角角平平分分线线时时，用用到到的的三三角角形形全等的判定方法是全等的判定方法是SSSSSS，故答案为，故答案为SSS.SSS.(2)(2)小聪的作法正确小聪的作法正确. .理由：理由：PMOMPMOM，PNONPNON，OMP=ONP=90OMP=ONP=90. .在在RtOMPRtOMP和和RtONPRtONP中，中，OP=OP=OPOP，OM=ONOM=ON，RtOMPRtONP(HLRtOMPRtONP(HL) )，MOP=NOPMOP=NOP，OPOP平分平分AOB.AOB.(3)(3)如图所示如图所示步骤：步骤：利用刻度尺在利用刻度尺在OAOA，OBOB上分别上分别截取截取OG=OH.OG=OH.连接连接GHGH，利用刻度尺作出，利用刻度尺作出GHGH的中点的中点Q.Q.作射线作射线OQOQ，则，则OQOQ为为AOBAOB的平分线的平分线. .【主题升华主题升华】应用角平分线解题思路应用角平分线解题思路1.1.应用角平分线性质证明线段相等或者利用角平分线的性质探应用角平分线性质证明线段相等或者利用角平分线的性质探究线段的大小关系究线段的大小关系. .2.2.应用角平分线性质证明角相等或者证明两角互补应用角平分线性质证明角相等或者证明两角互补. .3.3.利用角平分线解决与三角形的面积有关的计算问题利用角平分线解决与三角形的面积有关的计算问题. .1.(20131.(2013咸宁中考咸宁中考) )如图，在平面直角坐如图，在平面直角坐标系中，以标系中，以O O为圆心，适当长为半径画弧，为圆心，适当长为半径画弧，交交x x轴于点轴于点M M，交，交y y轴于点轴于点N N，再分别以点，再分别以点M M，N N为圆心，大于为圆心，大于MNMN的长为半径画弧，两弧的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点在第二象限交于点P.P.若点若点P P的坐标为的坐标为(2a(2a，b+1)b+1)，则，则a a与与b b的数量关系为的数量关系为( () )A.a=bA.a=b B.2a+b=-1B.2a+b=-1C.2a-b=1C.2a-b=1 D.2a+b=1D.2a+b=1【解析解析】选选B.B.根据作图方法可得点根据作图方法可得点P P在第二象限角平分线上，在第二象限角平分线上，则则P P点横纵坐标的和为点横纵坐标的和为0 0，故，故2a+b+1=02a+b+1=0，整理得：，整理得：2a+b=-1.2a+b=-1.2.(20122.(2012珠海中考珠海中考) )如如图，在，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADAD是高，是高，AMAM是是ABCABC外角外角CAECAE的平分的平分线. .(1)(1)用尺用尺规作作图方法，作方法，作ADCADC的平分的平分线DN.DN.( (保留作保留作图痕迹，不写作法和痕迹，不写作法和证明明) )(2)(2)设DNDN与与AMAM交于点交于点F F，判断，判断ADFADF的形状的形状( (只写只写结果果).).【解析解析】(1)(1)作出作出ADCADC的平分线的平分线DNDN，如图所示，如图所示. .(2)ADF(2)ADF是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .【知识归纳知识归纳】1.1.角平分线的性质与判定的关系：角平分线的性质与判定的关系：点在角平分线上点在角平分线上 点到角的两边的距离相等点到角的两边的距离相等2.2.对对于于角角的的平平分分线线的的性性质质及及其其判判定定，一一方方面面要要正正确确理理解解和和明明确确其其条条件件和和结结论论，“性性质质”和和“判判定定”恰恰好好是是条条件件和和结结论论的的交交换换，在在应应用用时时不不要要混混淆淆，性性质质是是证证两两条条线线段段相相等等的的依依据据，判判定定是是证证两角相等的依据两角相等的依据. .