光波的叠加和分析第二章前言前言1波的独立传播和叠加原理波的独立传播和叠加原理 2两束同频振动方向平行的标量波的叠加两束同频振动方向平行的标量波的叠加 3两束同频振动方向垂直的标量波的叠加两束同频振动方向垂直的标量波的叠加 4 不同频率的两个平面单色波的叠加不同频率的两个平面单色波的叠加 5光波的分析光波的分析 前言前前言言 首先讲述作为首先讲述作为矢量波矢量波的光波，在某些情况下可看作的光波，在某些情况下可看作标标量波量波；光波在空间传播时在一些特定条件下满足；光波在空间传播时在一些特定条件下满足独立独立传播原理传播原理 进而介绍关于进而介绍关于光的叠加原理光的叠加原理。在此基础上，作为特殊。在此基础上，作为特殊情况，讲解两束光波在不同情况下的情况，讲解两束光波在不同情况下的叠加结果叠加结果：规律、：规律、概念及应用。概念及应用。几束简单几束简单的光波的光波复杂的复杂的光波光波叠加叠加分解分解前 言 首先讲述作为矢量波的光波，在某些情况下可看作第一节第一节 波的独立传播和叠加原理波的独立传播和叠加原理 一、标量波和矢量波一、标量波和矢量波 光波是光波是横波横波，选择传播方向为直角坐标系的，选择传播方向为直角坐标系的z方向，则方向，则矢量就变成了矢量就变成了二维矢量二维矢量，可将之分解为，可将之分解为x，y方向的分量方向的分量描述光波的物理量描述光波的物理量和和是矢量是矢量光波本质上是矢量波光波本质上是矢量波 若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质，若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质，则这两个分量有相同的传播规律，于是任一个分量的波则这两个分量有相同的传播规律，于是任一个分量的波函数就可代表其对应的矢量波，则矢量波的处理变为标函数就可代表其对应的矢量波，则矢量波的处理变为标量波处理。量波处理。第一节 波的独立传播和叠加原理 一、标量波和矢量波 光波是横波的独立传波的独立传播原理：播原理：当当两列波或多两列波或多列波在同一列波在同一波场中传播波场中传播时，每一列时，每一列波的传播方波的传播方式都不因其式都不因其他波的存在他波的存在而受到影响而受到影响注意：注意：波的叠加原理和独立性原理成立于线性介质中波的叠加原理和独立性原理成立于线性介质中二、波的独立传播原理二、波的独立传播原理波的独立传播原理：当两列波或多列波在同一波场中传播时，每一列三、光波的叠加原理和线性媒质三、光波的叠加原理和线性媒质 光波叠加原理的数学基础：光波叠加原理的数学基础：如果光波如果光波 和和 都是方程都是方程 的解，的解，则它们的线性叠加则它们的线性叠加也显然是该方程也显然是该方程的解，并且构成一个复杂的波的解，并且构成一个复杂的波微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学基础基础。当存在两个或多个光波同时传播时，如果光波的独立传播原当存在两个或多个光波同时传播时，如果光波的独立传播原理成立，则它们叠加的空间区域内，每一点的扰动将等于各理成立，则它们叠加的空间区域内，每一点的扰动将等于各个光波单独存在时该点的扰动之和。这就是个光波单独存在时该点的扰动之和。这就是光波的叠加原理，光波的叠加原理，即即三、光波的叠加原理和线性媒质 光波叠加原理的数学基础：如果光真空中，光波叠加原理普遍成立真空中，光波叠加原理普遍成立媒质中，光波电磁场与媒质内部物质的相互作用满足线性媒质中，光波电磁场与媒质内部物质的相互作用满足线性条件时，光波叠加原理成立。条件时，光波叠加原理成立。当光强很强时，光与介质相当光强很强时，光与介质相互作用产生了非线性光学效应，光的叠加原理不再成立互作用产生了非线性光学效应，光的叠加原理不再成立光波叠加原理的成立也是有条件的光波叠加原理的成立也是有条件的媒质分为媒质分为线性媒质线性媒质和和非线性媒质非线性媒质 线性媒质：线性媒质：波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理的媒质的媒质非线性媒质：非线性媒质：波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播原理的媒质原理的媒质真空中，光波叠加原理普遍成立光波叠加原理的成立也是有条件的 一、一、 同向传播的平面波的叠加同向传播的平面波的叠加假设有两个简谐平面波，其时间频率为假设有两个简谐平面波，其时间频率为，振幅分别为，振幅分别为E10和和E20，初始位相分别为，初始位相分别为和和，传播方向沿着，传播方向沿着z轴，它轴，它们被表示为：们被表示为：第二节第二节 两束同频振动方向平行的两束同频振动方向平行的标量波的叠加标量波的叠加 本节讨论两个频率相同、振动方向平行的光波的叠加，显然这本节讨论两个频率相同、振动方向平行的光波的叠加，显然这两个光波可视作标量波，于是问题就是两个光波可视作标量波，于是问题就是两个标量波叠加两个标量波叠加的问题的问题 一、 同向传播的平面波的叠加第二节 两束同频振动方向平行的标这两个光波叠加后的合成波可以表示为：这两个光波叠加后的合成波可以表示为：（2.2.1）(2.2.2)其中：其中：（2.2.3）（2.2.4）上式中：上式中：这两个光波叠加后的合成波可以表示为：（2.2.1 ）(2.2由以上分析得到合成波的表达式为：由以上分析得到合成波的表达式为：表明：表明：合成波还是一个与分量波合成波还是一个与分量波时间频率相同，传播方向相同时间频率相同，传播方向相同，其，其它空间、时间参量以及它空间、时间参量以及位相速度都没有变化位相速度都没有变化的简谐平面波，的简谐平面波，只是有了新的振幅和初位相，只是有了新的振幅和初位相，而且合成波的振幅和位相均取而且合成波的振幅和位相均取决于分量波的振幅和初始位相。决于分量波的振幅和初始位相。 当当E E1010= =E E2020时，由（时，由（2.2.3 2.2.3 ）有）有 可见，此时合成波的振幅取决于两个分量波的位相差可见，此时合成波的振幅取决于两个分量波的位相差由以上分析得到合成波的表达式为：当E10=E20时，由（2.当当E E1010= =E E2020时，由（时，由（2.2.4 2.2.4 ）得：）得： 可见，合成波的初位相等于两个分量波初位相的平均值可见，合成波的初位相等于两个分量波初位相的平均值 当当E E1010= =E E2020时，总的合成波函数为时，总的合成波函数为所以，当所以，当E E1010= =E E2020且且1010= =2020时，合成波与分量波振动状态时，合成波与分量波振动状态相同，只是振幅增大一倍相同，只是振幅增大一倍 而在而在10-20=情况下，可知合成振幅为零。情况下，可知合成振幅为零。 当E10=E20时，由（2.2.4 ）得： 可见，合成波的物物理理光光学学9/8/20249/8/2024物 理 光 学9/24/2022两列波在空间相遇的情况两列波在空间相遇的情况两列波在空间相遇的情况波的独立传播原理：波的独立传播原理：几列波在相遇点所引起的扰动是各列波在该点所几列波在相遇点所引起的扰动是各列波在该点所引起的扰动的叠加（矢量的线性叠加，矢量和）引起的扰动的叠加（矢量的线性叠加，矢量和）当两个或多个光波在空间相遇时，如果振动不是十当两个或多个光波在空间相遇时，如果振动不是十分强，各列波将保持各自的特性不变，继续传播。分强，各列波将保持各自的特性不变，继续传播。相互之间没有影响。相互之间没有影响。波的叠加原理波的叠加原理波的独立传播原理：几列波在相遇点所引起的扰动是各列波在该点所成立条件成立条件1)、传播介质为线性介质；、传播介质为线性介质；2)、振动不是十分强，在振动很强的时候，线性介质会变为、振动不是十分强，在振动很强的时候，线性介质会变为非线性介质；非线性介质；注意注意波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相加，而是振动矢量的叠加加，而是振动矢量的叠加线性媒质：线性媒质：波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理波在其中传播时服从叠加原理和独立传播原理的媒质的媒质非线性媒质：非线性媒质：波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播原波在其中传播时不服从叠加原理和独立传播原理的媒质理的媒质成立条件1)、传播介质为线性介质；注意波的叠加不是强度的叠加一、一、 同向传播的平面波的叠加同向传播的平面波的叠加假设有两个简谐平面波，其时间频率为假设有两个简谐平面波，其时间频率为相同相同，振幅分别为，振幅分别为E10和和E20，初始位，初始位相分别为相分别为和和，振动方向平行振动方向平行，传播方向沿着传播方向沿着z 轴轴，它们被表示为：，它们被表示为：上式中上式中：其中其中：一、 同向传播的平面波的叠加上式中：其中：二、反向传播的平面波的叠加二、反向传播的平面波的叠加驻波及其实验驻波及其实验(1)、驻波波函数、驻波波函数假设两个简谐平面标量波的时间频率为假设两个简谐平面标量波的时间频率为，振幅分别，振幅分别E10和和E20，初始位相为，初始位相为和和，一列波沿着一列波沿着z轴正向传播轴正向传播另一列沿另一列沿z轴负向传播，轴负向传播，假定假定E10=E20=E0，即有：，即有：合成波各点都按照圆频率合成波各点都按照圆频率做简谐振动，但是此合成波有做简谐振动，但是此合成波有其固有的特点其固有的特点叠加后的合成波可以表示为叠加后的合成波可以表示为：二、反向传播的平面波的叠加驻波及其实验(1)、驻波波函数表示：表示：(1)对某一对某一Z点，点，E随时间以频率随时间以频率作简谐振动，某一时刻，作简谐振动，某一时刻，振幅随振幅随Z不同而变（振幅不是常数）不同而变（振幅不是常数）;(2)称振幅最大值和最小值的位置为波腹、波节的位置，它称振幅最大值和最小值的位置为波腹、波节的位置，它们不随时间而变们不随时间而变;波腹位置波腹位置： (m为整数为整数)波节位置波节位置： (m为整数为整数)(3)相邻波腹（或波节）之间距为相邻波腹（或波节）之间距为/2，相邻波腹与波节间距，相邻波腹与波节间距为为/4;(4) 合成波的位相因子与空间坐标位置合成波的位相因子与空间坐标位置z无关无关。表示：(2) 称振幅最大值和最小值的位置为波腹、波节的位置(6)(6)因因的取值可正可负，所以在每一波的取值可正可负，所以在每一波节两边的点，其振动是反相的节两边的点，其振动是反相的(5)(5)驻波的位相因子与驻波的位相因子与z无关，不存在位相的传播问题，故把无关，不存在位相的传播问题，故把这种波称为驻波，反之称为行波。这种波称为驻波，反之称为行波。驻波：驻波：由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。驻波驻波(6)因 当两个分量波的振幅不相等时，例如，当两个分量波的振幅不相等时，例如，E10=E20+E，则有，则有合成波合成波是一个是一个驻波和行波之和驻波和行波之和，因此合成波在波节处振幅不再因此合成波在波节处振幅不再为零，波节处的振动完全是由行波引起的，其它考察点的振幅为零，波节处的振动完全是由行波引起的，其它考察点的振幅则由行波和驻波共同引起的，并且由于行波的存在，则由行波和驻波共同引起的，并且由于行波的存在，将会有能将会有能量的传播。量的传播。 当两个分量波的振幅不相等时，例如，E10=E20+E，则有(2)(2)、驻波实验、驻波实验 实验装置如右图所示。实验装置如右图所示。M是镀银是镀银的平面反射镜，的平面反射镜，I是正入射到镜面是正入射到镜面上的单色简谐平面波，经反射后上的单色简谐平面波，经反射后得到反射波得到反射波R。G是一块极薄的感是一块极薄的感光乳胶底片，它与镜面间有一微光乳胶底片，它与镜面间有一微小夹角。小夹角。I和和R形成驻波，形成驻波，G位于这个驻波位于这个驻波场中，经感光和显影，场中，经感光和显影，在在G上呈现上呈现亮暗相间的条纹，相邻亮条纹亮暗相间的条纹，相邻亮条纹(或或暗条纹暗条纹)之间的距离按图示的几何之间的距离按图示的几何关系与关系与/2相对应相对应MIRG/2/2/2/4维纳实验维纳实验(2)、驻波实验 实验装置如右图所示。M是镀银的平面反射镜，底片底片G上感光的位置应该是驻波波腹的位置。上感光的位置应该是驻波波腹的位置。三、任意方向传播的平面波的叠加三、任意方向传播的平面波的叠加 上面两部分只考虑了两束光波的传播方向在一条直线上的上面两部分只考虑了两束光波的传播方向在一条直线上的情况，分量波与合成波的空间分布比较简单，只和空间变情况，分量波与合成波的空间分布比较简单，只和空间变量量z 有关。现在考虑两个有关。现在考虑两个时间频率相同时间频率相同、振动方向平行的振动方向平行的简谐平面光波不共线传播相遇叠加的情况。简谐平面光波不共线传播相遇叠加的情况。维纳实验证明：维纳实验证明：1、驻波的存在、驻波的存在维纳实验发现，紧贴镜面处的底片没有感光，而感光条维纳实验发现，紧贴镜面处的底片没有感光，而感光条纹的位置都与电场波腹位置相一致。纹的位置都与电场波腹位置相一致。维纳实验证明：维纳实验证明：2、乳胶感光的是光的电场而不是磁场、乳胶感光的是光的电场而不是磁场底片G上感光的位置应该是驻波波腹的位置。三、任意方向传播的平两个频率相同、振动方向两个频率相同、振动方向平行的简谐平面光波不共线平行的简谐平面光波不共线传播相遇叠加传播相遇叠加zk1zk2xk2zxk1k1xE1k2E2O设两个分量波的频率都为设两个分量波的频率都为，振幅分别为，振幅分别为E10和和E20，初始位相，初始位相为为和和，波矢分别为，波矢分别为k1和和k2，则它们的波函数可以表示成，则它们的波函数可以表示成如下如下：对于叠加区域，如图所示选取坐标系对于叠加区域，如图所示选取坐标系Oxyz，y 轴方向垂直于纸轴方向垂直于纸面向外。假设振动方向沿着面向外。假设振动方向沿着y方向，分量波的波矢方向，分量波的波矢k1和和k2均平均平行于行于xz平面，平面，注意，这时所有的函数都与注意，这时所有的函数都与y 坐标无关。坐标无关。两个频率相同、振动方向zk1zk2xk2zxk1k1xE1k叠加后的合成波可以表示为叠加后的合成波可以表示为：E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-it)其中：其中：E0=E10expi(k1xx+k1zz+)+E20expi(k2xx+k2zz+)=|E0|exp(i ) 而且有：而且有：叠加后的合成波可以表示为 ：E(x,z,t)=E1(x,z,其中：其中：合成波与前面所讨论到的合成波都不一样：合成波与前面所讨论到的合成波都不一样：1 1、振幅分布上有驻波的特点；、振幅分布上有驻波的特点；2 2、位相上有行波的特点；、位相上有行波的特点；3 3、其时间频率仍然是、其时间频率仍然是不变不变 考虑当考虑当E10=E20时的特殊情况，有时的特殊情况，有其中：合成波与前面所讨论到的合成波都不一样：考虑当E10=E第三节第三节 两束同频振动方向垂直的两束同频振动方向垂直的标量波的叠加标量波的叠加 假定两束光沿着假定两束光沿着z轴方向传播，而其振动方向分别与轴方向传播，而其振动方向分别与x、y轴方向相同，设这两束光波的波函数如下轴方向相同，设这两束光波的波函数如下：其中的其中的、是直角坐标系是直角坐标系Oxyz中中x、y方向上的单位方向上的单位矢量。两束光波叠加，合成波函数矢量。两束光波叠加，合成波函数为：为：（2.3.1）（2.3.2）第三节 两束同频振动方向垂直的标量波的叠加 假定两束光沿着z显然合成波在显然合成波在xy平面内，其方向垂直平面内，其方向垂直于传播方向于传播方向z轴，但是一般而言它不轴，但是一般而言它不再与再与x或或y轴同向。如右图所示，轴同向。如右图所示，E与与x轴的夹角轴的夹角满足：满足：合成波与分量波矢量合成波与分量波矢量显然显然是是z和和t 的函数，的函数，E的方向一般是不固定的，将随着的方向一般是不固定的，将随着z和和t 而变化而变化，利用利用(2.3.1)和和(2.3.2)，消去，消去(kz-t)，得得：其中其中（2.3.3）显然合成波在xy平面内，其方向垂直于传播方向z轴，但是一般而右图中画出了右图中画出了kz-t为某一确定值时的为某一确定值时的E以及它与以及它与x 轴的夹角，轴的夹角，这个椭圆既可这个椭圆既可以理解为以理解为1、位置、位置z 确定时确定时E的端点随着时间的端点随着时间t的的变化轨迹；变化轨迹；2、时间、时间t 确定时确定时E的端点随着位置的端点随着位置z 的变化轨迹在的变化轨迹在x-y平面上的投影，后者平面上的投影，后者实际上是一条空间螺旋线实际上是一条空间螺旋线由式（2.3.3 ）可知，随着 z 或 t 的变化，合成波矢量的端点在 x-y 平面(或者垂直于 z 轴的平面)上形成一个椭圆形轨迹。于是称振动方向互相垂直的同频同向传播的两个线偏振光叠加后的合成光波为椭圆偏振光波，简称椭圆光。 端点的椭圆轨迹端点的椭圆轨迹右图中画出了kz-t为某一确定值时的 E 以及它与 x 轴当当z固定时，随着固定时，随着t的增大端点如的增大端点如果是顺时针方向旋转，则规定该果是顺时针方向旋转，则规定该椭圆偏振光是椭圆偏振光是右旋右旋椭圆偏振光椭圆偏振光反之则称为反之则称为左旋左旋椭圆偏振光椭圆偏振光。根据该规定根据该规定,角随时间的变化角随时间的变化时椭圆偏振光为时椭圆偏振光为左左旋旋，如果，如果则椭圆偏振则椭圆偏振光为光为右旋右旋，求，求d(tg)/dt得：得：zyxL在确定在确定t时的端点的空间螺时的端点的空间螺旋轨迹旋轨迹L及其在及其在x-y平面上平面上的投影的投影E的方向在的方向在x-y平面上是旋转的平面上是旋转的针对针对E的旋向的旋向当z固定时，随着t的增大端点如zyxL在确定t时的端点的空间分析：分析：1sin0时，对应的椭圆偏振光为时，对应的椭圆偏振光为左旋左旋椭圆偏振光椭圆偏振光2sin-=-/2/20=00-/2=/2-/2=取不同值时的椭圆偏振光取不同值时的椭圆偏振光分析：=-/2-=-/2/20椭圆偏振光的第一个椭圆偏振光的第一个重要特例重要特例:当当(m=0,1,)时时， 这是一个正椭圆方程，对应的椭圆的长、短轴分别平行于这是一个正椭圆方程，对应的椭圆的长、短轴分别平行于x，y轴，称这种椭圆偏振光为轴，称这种椭圆偏振光为正椭圆偏振光正椭圆偏振光如果如果E10=E20，则上式变成圆方程，称这种，则上式变成圆方程，称这种正椭圆偏振正椭圆偏振光光为为圆偏振光圆偏振光，圆偏振光是正椭圆偏振光的特例圆偏振光是正椭圆偏振光的特例与一般椭圆偏振光一样，与一般椭圆偏振光一样，正椭圆偏振光和圆偏振光同样也正椭圆偏振光和圆偏振光同样也有左旋和右旋之分。有左旋和右旋之分。 圆偏振光圆偏振光椭圆偏振光的第一个重要特例:这是一个正椭圆方程，对应的椭圆的椭圆偏振光的椭圆偏振光的另外一个重要特例另外一个重要特例是：是：当当 = =mm( (m m=0, 1,) =0, 1,) 时，时，这是一个直线方程，对应的椭圆退化成直线，这时的椭圆偏这是一个直线方程，对应的椭圆退化成直线，这时的椭圆偏振光称为振光称为线偏振光线偏振光。设该直线与。设该直线与x x轴的夹角为轴的夹角为，则有：，则有： 容易证明，容易证明，当当m=0或偶数，上式右端取或偶数，上式右端取+，直线位于，直线位于x-y 坐标系的一、三象限；而当坐标系的一、三象限；而当m=奇数时，上式右端取奇数时，上式右端取-，直线位于直线位于x-y 坐标系的二、四象限坐标系的二、四象限；E10=0时直线平行于时直线平行于x 轴；轴；E20=0时直线平行于时直线平行于y轴。可见两束简谐平面光波满足上述条轴。可见两束简谐平面光波满足上述条件时，它们叠加形成的合成波是线偏振光件时，它们叠加形成的合成波是线偏振光椭圆偏振光的另外一个重要特例是：这是一个直线方程，对应的椭圆第四节第四节 不同频率的两个平面单色不同频率的两个平面单色波的叠加波的叠加 一、拍频现象一、拍频现象简单起见，考虑一维情况。假设下述两个振幅相同的沿着简单起见，考虑一维情况。假设下述两个振幅相同的沿着z轴方向传播的简谐波：轴方向传播的简谐波：则叠加后合成波波函数为：则叠加后合成波波函数为：其中其中第四节 不同频率的两个平面单色波的叠加 一、拍频现象其中随随t变化缓慢变化缓慢随随t变化较快变化较快由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。随t变化缓慢随t变化较快由于振幅是周期性变化的，所以合振动不这种振动的振幅也是周期性变化的，即振动忽强忽弱。这种振动的振幅也是周期性变化的，即振动忽强忽弱。由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是简谐振动。这种合振动忽强忽弱的现象称为这种合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。这种振动的振幅也是周期性变化的，即振动忽强忽弱。由于振幅是周接收器输出信号的时间圆频率为接收器输出信号的时间圆频率为,等于两分量光波的圆频等于两分量光波的圆频率之差，这个频率称为率之差，这个频率称为拍频拍频。这种由两个交变物理量产生一这种由两个交变物理量产生一个差频物理量的现象称为个差频物理量的现象称为“拍频现象拍频现象”。拍频现象的主要应用价值在于拍频现象的主要应用价值在于:它把高频信号中的频率信息和它把高频信号中的频率信息和位相信息转移到差频信号之中，使它们变得容易测量。位相信息转移到差频信号之中，使它们变得容易测量。拍频的定义可以从时间域推广到空间域，拍频的定义可以从时间域推广到空间域，即拍频现象也可以即拍频现象也可以指产生空间差频的现象指产生空间差频的现象。一种特殊情况一种特殊情况 ：当当21时，时，可能小到无线电波频率范围之内，这种情况可能小到无线电波频率范围之内，这种情况下，可以用仪器直接测量出调制波的振动下，可以用仪器直接测量出调制波的振动。实际上仪器所测量的仍然是在某个时间间隔实际上仪器所测量的仍然是在某个时间间隔内的平均能流密内的平均能流密度度I，只要，只要2/2/则有，则有， 接收器输出信号的时间圆频率为 ,等于两分量光波的二、拍频现象的应用二、拍频现象的应用( (一一) )、激光器率稳定性的检测和控制、激光器率稳定性的检测和控制 L2L1BSR两束激光的拍频两束激光的拍频两个激光器两个激光器L1和和L2发出的两束激光发出的两束激光通过分束器通过分束器BS合成一束，互相叠加，合成一束，互相叠加，产生拍频信号。产生拍频信号。假设由假设由L1发出的激光频率已知并很发出的激光频率已知并很稳定，那么这个装置可以用来测定稳定，那么这个装置可以用来测定L2激光束的频率，判断其稳定程度；激光束的频率，判断其稳定程度；还可以利用拍频还可以利用拍频作为误差信号，作为误差信号，用来控制激光器用来控制激光器L2的某个参数，使的某个参数，使得得L2光的频率得到稳定。光的频率得到稳定。 二、拍频现象的应用L2L1BSR 两束激光( (二二) )、光学外差干涉法、光学外差干涉法光学外差干涉法思想：被测信光学外差干涉法思想：被测信息由角频率为息由角频率为1的光波携的光波携带，该光波和角频率为带，该光波和角频率为2(与与1相近相近)的光波的光波(称为参考光称为参考光波波)叠加后，得到频率为叠加后，得到频率为的的光强信号。这时，被测信息便光强信号。这时，被测信息便转移到该信号的位相中。转移到该信号的位相中。光学外差技术使我们既能发挥光学外差技术使我们既能发挥高频波的优势高频波的优势(例如采集被测量例如采集被测量的精度的精度)，又可利用对低频波的，又可利用对低频波的检测技术。检测技术。(二)、光学外差干涉法光学外差干涉法思想：被测信光学外差技术三、群速度三、群速度由两个不同时间频率的简谐平面光波叠加而成由两个不同时间频率的简谐平面光波叠加而成 拍频波是一拍频波是一种复杂波，所以一般意义上的速度概念不再适用于拍频。种复杂波，所以一般意义上的速度概念不再适用于拍频。合成波应包含合成波应包含等相面传播速度等相面传播速度和和等幅面传播速度等幅面传播速度两部分。两部分。群速度是指合成波振幅恒定点的移动速度，即振幅调制包群速度是指合成波振幅恒定点的移动速度，即振幅调制包络的移动速度。群速度是波包的能量传播速度，也是波包络的移动速度。群速度是波包的能量传播速度，也是波包所表达信号的传播速度。所表达信号的传播速度。单色光波的传播速度指它的等相面的传播速度，单色光波的传播速度指它的等相面的传播速度，即相速度即相速度(单一频率的波的传播速度单一频率的波的传播速度)三、群速度由两个不同时间频率的简谐平面光波叠加而成 拍频波是相速度，由相位不变条件相速度，由相位不变条件我们可以分别求得载波位相速度我们可以分别求得载波位相速度和调制波位相速度和调制波位相速度g： 通常把通常把称为拍频波的称为拍频波的位相速度位相速度，把，把称为拍频波的称为拍频波的群速度群速度 对于拍频波有对于拍频波有相速度，由相位不变条件我们可以分别求得载波位相速度和调制群速度群速度是指某个光强值在空间的传播速度，因此它表示拍频是指某个光强值在空间的传播速度，因此它表示拍频波能量的传播速度。波能量的传播速度。当当很小时，群速度得表达式可以写成很小时，群速度得表达式可以写成如果能测出调制波的波长和如果能测出调制波的波长和，便可以得到，便可以得到群速度是指某个光强值在空间的传播速度，因此它表示拍频当 现在，对于合成前的两简谐平面光波的位相速度、波长和现在，对于合成前的两简谐平面光波的位相速度、波长和波矢的大小，分别用波矢的大小，分别用1、2、1、2、k1、k2来表示，则群来表示，则群速度表达式可以写成：速度表达式可以写成：显然上式中的显然上式中的和和分别表示原光波的速度差和波分别表示原光波的速度差和波长差；而长差；而反映了媒质色散的性质和大小。反映了媒质色散的性质和大小。相应地相速度表达式可以写成：相应地相速度表达式可以写成：现在，对于合成前的两简谐平面光波的位相速度、波长和波矢的大小越大，波的相速度随波长的变化越大时，群速度与越大，波的相速度随波长的变化越大时，群速度与相速度相差越大相速度相差越大即波长较大的单色光波比波长较短的单色光波传播速度即波长较大的单色光波比波长较短的单色光波传播速度大时大时（正常色散），群速度小于相速度（正常色散），群速度小于相速度即即反常色散，群速度大于相速度反常色散，群速度大于相速度越大，波的相速度随波长的变化越大时，群速度与相速度相差越大即物物理理光光学学9/8/20249/8/2024第二章第二章 光波的叠加与分析光波的叠加与分析物 理 光 学9/24/2022第二章 光波的叠加与分析两个简谐平面波两个简谐平面波1、相同相同，振动方向平行振动方向平行，传播方向沿着传播方向沿着 z z 轴同向轴同向，振幅和初始位相不同：振幅和初始位相不同：2 2、相同相同，振动方向平行振动方向平行，传播方向沿着传播方向沿着 z z 轴反向轴反向，振振幅相同幅相同，初始位相不同初始位相不同：两个简谐平面波1、相同，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴3 3、相同相同，振动方向平行振动方向平行，传播方向沿着传播方向沿着 z z 轴反向轴反向，振振幅不相同，初始位相不同幅不相同，初始位相不同：E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-it)E0=E10expi(k1xx+k1zz+)+E20expi(k2xx+k2zz+)=|E0|exp(i ) 4 4、相同相同，振动方向平行振动方向平行，传播方向成一定夹角传播方向成一定夹角，振幅不振幅不相同，初始位相不同相同，初始位相不同：3、相同，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴反向，振幅不相5 5、 不同不同，传播方向沿着传播方向沿着z z 轴轴， 振幅相同，初始位相不振幅相同，初始位相不同同：相同相同的光波叠加仍然是的光波叠加仍然是单色光波单色光波不同不同的光波叠加则的光波叠加则不再是单色光波不再是单色光波结结 论：论：5、 不同，传播方向沿着z 轴， 振幅相同，初始位相不同：频率为频率为2 2k 频率为频率为k 不同频率光波的叠加不同频率光波的叠加合成波合成波 不同频率光波的叠加形成不同频率光波的叠加形成复杂光波复杂光波复杂光波复杂光波能不能分解成能不能分解成单色光波的组合？单色光波的组合？频率为2k 频率为k 不同频率光波的叠加合成波 不同频率光波第五节第五节 光波的分析光波的分析 实际中存在的光波都是复杂的，实际中存在的光波都是复杂的，如何将复杂波分解成简单平如何将复杂波分解成简单平面波的叠加就是光波分析的任务面波的叠加就是光波分析的任务。本节首先讲述具有周期性。本节首先讲述具有周期性复杂光波的分析，进而讨论波群的分解问题，最后讨论光波复杂光波的分析，进而讨论波群的分解问题，最后讨论光波分析的普遍理论和方法步骤。分析的普遍理论和方法步骤。一、周期性光波的分析一、周期性光波的分析周期性光波周期性光波: :在接连着相等的时间和空间内振动能够完全重在接连着相等的时间和空间内振动能够完全重复一次的光波复一次的光波一种周期性光波一种周期性光波周期性不等于简谐性周期性不等于简谐性第五节 光波的分析 实际中存在的光波都是复杂的，如何将复杂波傅立叶级数定理：傅立叶级数定理：具有具有空间周期空间周期的函数的函数f(z)可以表示成为一可以表示成为一些空间周期为些空间周期为的整分数倍的整分数倍(即即、/2、/3等等)的简谐函数之和。的简谐函数之和。或者写成或者写成其中其中a0、a1、a2等为常数，而等为常数，而为空间角频率。为空间角频率。如果令如果令A0=2a0、An= ancosn、Bn= ansinn，则上两式变为：，则上两式变为：周期性光波的分析周期性光波的分析可以应用数学上的可以应用数学上的傅立叶级数定理。傅立叶级数定理。其数学形式为：其数学形式为：傅立叶级数定理：具有空间周期的函数f(z)可以表示成为一些可以看到，复杂周期性光波可以看到，复杂周期性光波f(z)是一系列的简谐平面波的组是一系列的简谐平面波的组合，这些平面波的空间角频率分别为合，这些平面波的空间角频率分别为0、k、2k、nk、而而A0、An、Bn则是这些平面波的振幅，则是这些平面波的振幅，所以说对所以说对f(z)可以进可以进行傅立叶分析。行傅立叶分析。A0、An、Bn称为函数称为函数f(z)的傅立叶系数。的傅立叶系数。傅立叶级数傅立叶级数可以看到，复杂周期性光波f(z)是一系列的简谐平面波的组A0A0、An、Bn和和f(z)的关系分别为的关系分别为：以以空间角频率空间角频率k沿沿z方向传播的方向传播的周期性复杂波周期性复杂波f(z)，可以分解，可以分解为许多振幅不同且空间角频率分别为为许多振幅不同且空间角频率分别为k,2k,3k的单色波的的单色波的叠加：叠加：A An n、B Bn n是某一空间角频率的是某一空间角频率的单色光波的振幅。单色光波的振幅。A0、An、Bn和f(z)的关系分别为：以空间角频率k沿z方如果以如果以横坐标表示空间角频率横坐标表示空间角频率，纵坐标表示振幅纵坐标表示振幅，在对应于振幅不为零，在对应于振幅不为零的频率位置引垂直线，使其长度等于相应频率的振幅值的频率位置引垂直线，使其长度等于相应频率的振幅值( (当然，以一定当然，以一定的标度为单位的标度为单位) )，这样所绘制的曲线称为，这样所绘制的曲线称为频谱图频谱图，如果横坐标表示空间如果横坐标表示空间角频率，则为空间频谱图。角频率，则为空间频谱图。周期性复杂波的傅立叶分析结果可以用周期性复杂波的傅立叶分析结果可以用空间频谱图空间频谱图光谱仪器可以看作是一种傅立叶分析器，对入射光做一个光谱仪器可以看作是一种傅立叶分析器，对入射光做一个傅立叶分析，入射光所包含的不同频率的分波就被显示为傅立叶分析，入射光所包含的不同频率的分波就被显示为一系列的光谱线。一系列的光谱线。如果以横坐标表示空间角频率，纵坐标表示振幅，在对应于振幅不为例题例题3 3 用傅里叶级数分析如图所示的空间周期为用傅里叶级数分析如图所示的空间周期为的周期性的周期性矩形光波，并画出频谱。矩形光波，并画出频谱。解：这个矩形波的波函数为：解：这个矩形波的波函数为：将这个式子展开将这个式子展开例题3 用傅里叶级数分析如图所示的空间周期为的周期性矩形光物理光学第二章光波的叠加与分析课件矩形周期波的频谱图矩形周期波的频谱图周期性复杂波的频谱通常是离散频谱。周期性复杂波的频谱通常是离散频谱。矩形周期波的频谱图周期性复杂波的频谱通常是离散频谱。矩形周期波的分析与合成矩形周期波的分析与合成叠加分波数目越多，叠加分波数目越多，越接近于原矩形波。越接近于原矩形波。矩形周期波的分析与合成叠加分波数目越多，越接近于原矩形波。二、波群的分析二、波群的分析 ( (非周期性波的分析非周期性波的分析) )波群波群：其振动只是在一定范围内存在，在此范围之外即变为：其振动只是在一定范围内存在，在此范围之外即变为零。所以这类波不是无限次地重复它的振动波形，因而零。所以这类波不是无限次地重复它的振动波形，因而不具有周期性。实际中的原子所发射的光波即如此。不具有周期性。实际中的原子所发射的光波即如此。波列波列原子发光可看作是一段段有限长的波列的相继发射，所以实原子发光可看作是一段段有限长的波列的相继发射，所以实际普通光源发出的光波不是理想单色波。对于这类波群的分际普通光源发出的光波不是理想单色波。对于这类波群的分析就不能利用刚刚讲过的傅立叶级数，而必须利用傅立叶积析就不能利用刚刚讲过的傅立叶级数，而必须利用傅立叶积分。分。二、波群的分析 (非周期性波的分析)波列 原子发光可看作是一在数学上，傅立叶积分定理：一个非周期函数在数学上，傅立叶积分定理：一个非周期函数f f( (z z)()(可看成空间周期可看成空间周期趋趋于于)，在（，在（ - -，+)+)满足狄里赫利条件，且绝对可积，可以用傅里叶满足狄里赫利条件，且绝对可积，可以用傅里叶积分表示为积分表示为：来表示，其中：来表示，其中：A(k)称为函数称为函数f(z)的傅立叶变换，的傅立叶变换，f(z)称为称为A(k)函数的傅立叶逆变换。函数的傅立叶逆变换。在数学上，傅立叶积分定理：一个非周期函数f(z)( 可看成空间若波群由非周期函数若波群由非周期函数f(z)来表征，可以对它进行傅立叶分析，来表征，可以对它进行傅立叶分析，分析的结果，这类波包含无限多个振幅不同的简谐分波，两分析的结果，这类波包含无限多个振幅不同的简谐分波，两个所谓个所谓相邻相邻的分波的频率相差无穷小，如果以频谱图解的分波的频率相差无穷小，如果以频谱图解来表示，则将是一条振幅来表示，则将是一条振幅空间角频率的连续曲线空间角频率的连续曲线，我们，我们称之为称之为连续频谱连续频谱。所以波群可分析成无限多个振幅随空间频。所以波群可分析成无限多个振幅随空间频率分布的简谐分波，也就是说，我们说波群能够由这些单色率分布的简谐分波，也就是说，我们说波群能够由这些单色波合成。波合成。若波群由非周期函数f(z)来表征，可以对它进行傅立叶分析，分例例 求矩形脉冲非周期性函数的变换及频谱图。求矩形脉冲非周期性函数的变换及频谱图。解：这个矩形波的波函数为：解：这个矩形波的波函数为：由公式：由公式：频谱函数为频谱函数为光学中常用的一个函数：光学中常用的一个函数：例 求矩形脉冲非周期性函数的变换及频谱图。解：这个矩形波的波矩形脉冲非周期性波的频谱图矩形脉冲非周期性波的频谱图,是连续谱是连续谱矩形脉冲非周期性波的频谱图,是连续谱三、实际光源发出的光波的分析三、实际光源发出的光波的分析实际光源发出的光波不是无限延伸的单色波，而是一个断实际光源发出的光波不是无限延伸的单色波，而是一个断续的波列或振幅衰减的光波，可以把这种波列看成发光原子续的波列或振幅衰减的光波，可以把这种波列看成发光原子一次辐射发出的波动的近似模型。利用傅里叶分析方法对实一次辐射发出的波动的近似模型。利用傅里叶分析方法对实际光源发出的波列进行分析。际光源发出的波列进行分析。考察某一固定时刻实际光源发出的一列光波。设波列在空考察某一固定时刻实际光源发出的一列光波。设波列在空间一段距离间一段距离2L内呈现简谐分布，其振幅为内呈现简谐分布，其振幅为A0，空间角频率，空间角频率为为k0，取波列长度，取波列长度2L的中点为坐标原点：的中点为坐标原点：三、实际光源发出的光波的分析考察某一固定时刻实际光源发出的一考察某一固定时刻实际光源发出的一列光波。设波列在空考察某一固定时刻实际光源发出的一列光波。设波列在空间一段距离间一段距离2L内呈现简谐分布，其振幅为内呈现简谐分布，其振幅为A0，空间角频率，空间角频率为为k0，取波列长度，取波列长度2L的重点为坐标原点：的重点为坐标原点：这个矩形波的波函数为：这个矩形波的波函数为：由公式：由公式：其傅里叶分解的振幅分布（傅里叶频谱为）其傅里叶分解的振幅分布（傅里叶频谱为） ：考察某一固定时刻实际光源发出的一列光波。设波列在空间一段距离其空间频率图是一条连续曲线。由振幅分布函数的平方得其空间频率图是一条连续曲线。由振幅分布函数的平方得到光强分布（略去常数因子）到光强分布（略去常数因子）光强分布曲线光强分布曲线讨论：讨论：1 1、当、当时光强时光强I I=0=0；2 2、当、当n=0n=0时，时，3 3、只有在空间频率、只有在空间频率 时，光强才有较时，光强才有较显著的数值；显著的数值；其空间频率图是一条连续曲线。由振幅分布函数的平方得到光强分布4 4、可以取、可以取 为有效空间频率范围；为有效空间频率范围；因为：因为： 上式也可用波长来表示：上式也可用波长来表示：表明：波列在表明：波列在2L2L越长，波列所包含的单色光波的波长范越长，波列所包含的单色光波的波长范围围 越窄。实际光源发出的光波单色性越好。当波列越窄。实际光源发出的光波单色性越好。当波列无穷大时，即是单色波。无穷大时，即是单色波。 任何时间周期性和空间周期性的破坏都意味着光任何时间周期性和空间周期性的破坏都意味着光波单色性的破坏。波单色性的破坏。4、可以取 为有效空间频率范围；因为： 本本章章结结束束本 章 结 束