第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念问题问题引航引航1.1.实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？2.2.复复数数能能否否比比较较大大小小？复复数数相相等等的的充充要要条条件件是是什什么么？纯纯虚虚数数、虚虚数数、实实数、复数关系如何？数、复数关系如何？1.1.复数复数(1)(1)表示方法表示方法: :复数通常用复数通常用z z表示表示, ,即即z=_.z=_.(2)(2)代数式中各字母的名称代数式中各字母的名称: :a+bi(a,bRa+bi(a,bR) )实部实部虚部虚部虚数单位虚数单位(3)(3)复数复数z=a+biz=a+bi 的分类及满足条件的分类及满足条件 _b=0_b=0，复数复数a abi(abi(a，bRbR) ) 纯虚数纯虚数a=0,b0a=0,b0， _b0_b0 非纯虚数非纯虚数a0,b0.a0,b0.实数实数虚数虚数2.2.复数的相等复数的相等a abibic cdidi_(a_(a，b b，c c，dRdR).).3.3.复数集复数集(1)(1)定义：由定义：由_所构成的集合叫做复数集所构成的集合叫做复数集(2)(2)表示：通常用大写字母表示：通常用大写字母_表示表示(3)(3)关系：用图形表示关系：用图形表示N,Z,Q,RN,Z,Q,R间的关系间的关系a ac c且且b bd d全体复数全体复数C CR RQ QZ ZN N1 1判一判判一判 ( (正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”) )(1)(1)若若a a，b b为实数，则为实数，则z=a+biz=a+bi为虚数为虚数.( ).( )(2)(2)若若a a为实数，则为实数，则z= az= a一定不是虚数一定不是虚数.( ).( )(3)bi(3)bi是纯虚数是纯虚数( )( )(4)(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0 0，那么这两个，那么这两个复数相等复数相等.( ) .( ) 【解析【解析】(1)(1)错误，若错误，若b=0,b=0,则则z=a+biz=a+bi为实数为实数. .(2)(2)正正确确. .因因为为a a为为实实数数，所所以以z=az=a中中没没有有虚虚部部，一一定定不不是是虚虚数数. .它是实数它是实数. .(3)(3)错误，若错误，若b=ib=i，则，则bi=ibi=i2 2=-1.=-1.故故bibi不一定是纯虚数不一定是纯虚数. .(4)(4)正确，由复数相等的概念可得正确，由复数相等的概念可得. .答案：答案：(1)(1) (2) (3) (2) (3) (4) (4)2 2做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)若若a+bia+bi=0=0，则实数，则实数a=_,a=_,实数实数b=_.b=_.(2)(1(2)(1 )i)i的实部与虚部分别是的实部与虚部分别是_._.(3)(3)若复数若复数(a(a1)1)(a(a2 21)i(aR)1)i(aR)是实数，则是实数，则a a_._.【解析【解析】(1)(1)由复数相等的概念得由复数相等的概念得a=0,b=0.a=0,b=0.答案：答案：0 00 0(2)(1(2)(1 )i)i可看作可看作0 0(1(1 )i)ia abibi，所以实部所以实部a a0 0，虚部，虚部b b1 1答案：答案：0 0，1 1(3)(a(3)(a1)1)(a(a2 21)i(aR)1)i(aR)为实数的充要条件是为实数的充要条件是a a2 21 10 0，所以所以a a1.1.答案：答案：1 1【要点探究【要点探究】 知识点知识点1 1 数系的扩充与分类数系的扩充与分类1.1.数系扩充的脉络数系扩充的脉络自然数系自然数系整数系整数系有理数系有理数系实数系实数系复数系复数系. . 2.2.虚数单位虚数单位i i性质的两个关注点性质的两个关注点(1)i(1)i2 21 1的理解：并没有规定的理解：并没有规定 还是还是 或或 在今后的学习中，我们将知道在今后的学习中，我们将知道 但不但不能说能说(2)i(2)i与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并不是对减法与除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运不是对减法与除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运算时，只对加法乘法法则作出规定，而把减法、除法作为算时，只对加法乘法法则作出规定，而把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致加法、乘法的逆运算的做法相一致3.3.实实部部与与虚虚部部的的要要求求：若若z za abibi，只只有有当当a a，bRbR时时，a a才才是是z z的实部，的实部，b b才是才是z z的虚部的虚部【知识拓展【知识拓展】数系扩充的原则数系扩充的原则数系扩充时，一般要遵循以下原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则：(1)(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集增添新元素，新旧元素在一起构成新数集. .(2)(2)在在新新数数集集里里，定定义义一一些些基基本本关关系系和和运运算算，使使原原有有的的一一些些主主要性质要性质( (如运算定律如运算定律) )依然适用依然适用. .(3)(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变. .(4)(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾【微思考【微思考】(1)(1)复数复数m mnini的实部是的实部是m m，虚部是，虚部是n n吗？吗？提示：提示：不一定，只有当不一定，只有当m m，nRnR时，时，m m才是实部，才是实部，n n才是虚部才是虚部(2)i(2)i可以除以任何实数吗可以除以任何实数吗? ?提提示示：不不可可以以.i.i既既然然与与实实数数之之间间建建立立了了四四则则运运算算关关系系, ,运运算算与与实实数数一一致致，由由于于在在实实数数运运算算中中0 0不不能能作作除除数数, ,故故i i不不可可以以除除以以任任何实数何实数. .【即时练【即时练】完成下列表格完成下列表格( (分类栏填实数、虚数或纯虚数分类栏填实数、虚数或纯虚数) )4 42-3i2-3i0 06i6ii i2 2实部实部虚部虚部分类分类【解析【解析】 4 42-3i2-3i0 06i6ii i2 2实部实部4 42 20 05 50 0-1-1虚部虚部0 0-3-30 06 60 0分类分类实实数数虚数虚数实实数数虚数虚数虚数虚数纯虚数纯虚数实数实数知识点知识点2 2 复数的相等复数的相等对复数相等的两点说明对复数相等的两点说明(1)(1)两个复数相等的充要条件的理解两个复数相等的充要条件的理解若若z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di(a,b,c,dR).=c+di(a,b,c,dR).则则z z1 1=z=z2 2a=ca=c且且b=d.b=d.利用这一利用这一结论结论, ,可以把复数问题转化为实数问题进行解决可以把复数问题转化为实数问题进行解决, ,并且一个复数并且一个复数等式可以转化为两个实数等式等式可以转化为两个实数等式, ,通过解方程组得到解决通过解方程组得到解决. .(2)(2)不能比较大小不能比较大小: :一般对两个虚数只能说相等或不相等一般对两个虚数只能说相等或不相等; ;不能不能比较大小比较大小. .由于由于i i2 200,0,那么那么z z1 1zz2 2, ,这个命题是真命题吗这个命题是真命题吗? ?提示提示: :假命题假命题. .例如例如,z,z1 1=1+i,z=1+i,z2 2=-2+i,z=-2+i,z1 1-z-z2 2=30,=30,但但z z1 1zz2 2无意义无意义, ,因为虚数不能比较大小因为虚数不能比较大小. .(2)(2)若若z z1 1,z,z2 2R, R, 则则z z1 1=z=z2 2=0,=0,此命题对此命题对z z1 1,z,z2 2CC还成立还成立吗吗? ?提示提示: :不一定成立不一定成立. .比如比如z z1 1=1,z=1,z2 2=i=i满足满足 但但z z1 10,z0,z2 20.0.(3)(3)两个复数一定不能比较大小对吗两个复数一定不能比较大小对吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,当两个复数都是实数时当两个复数都是实数时, ,可以比较大小可以比较大小; ;两个虚数、两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较大小或一个虚数与一个实数不能比较大小, ,即两个复数除去都是实即两个复数除去都是实数外数外, ,没有大小关系没有大小关系. .【即时练】【即时练】如果如果(x+y)i=x-1,(x+y)i=x-1,则实数则实数x,yx,y的值分别为的值分别为( )( )A.x=1,y=-1 B.x=0,y=-1A.x=1,y=-1 B.x=0,y=-1C.x=1,y=0 D.x=0,y=0C.x=1,y=0 D.x=0,y=0【解析】【解析】选选A.A.由已知得由已知得 所以所以x=1,y=-1.x=1,y=-1. 【题型示范】【题型示范】 类型一类型一 复数的概念复数的概念【典例【典例1 1】(1)(1)给出下列三个命题给出下列三个命题:若若zC,zC,则则z z2 20;2i-10;2i-1虚虚部是部是2i;2i2i;2i的实部是的实部是0.0.其中真命题的个数为其中真命题的个数为( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3(2)(2014(2)(2014启东高二检测启东高二检测) )已知复数已知复数z=az=a2 2-(2-b)i-(2-b)i的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是2 2和和3,3,则实数则实数a,ba,b的值分别是的值分别是. .(3)(3)判断下列命题的真假判断下列命题的真假. .若若x,yC,x,yC,则则x+yi=1+2ix+yi=1+2i的充要条件是的充要条件是x=1,y=2;x=1,y=2;若实数若实数a a与与aiai对应对应, ,则实数集与纯虚数集一一对应则实数集与纯虚数集一一对应; ;实数集的补集是虚数集实数集的补集是虚数集. .【解解题题探探究究】1.1.题题(1)(1)中中虚虚数数的的平平方方是是否否大大于于等等于于0 0，代代数数式式中中的虚部是否一定为实数的虚部是否一定为实数? ?2.2.题题(2)(2)中复数中复数z=az=a2 2-(2-b)i-(2-b)i实部与虚部分别是什么？实部与虚部分别是什么？3.3.题题(3)(3)中实数能否比较大小？中实数能否比较大小？中数中数x,yx,y是否一定为实数？是否一定为实数？【探探究究提提示示】1.1.虚虚数数的的平平方方不不一一定定大大于于等等于于0 0，实实数数的的平平方方一一定大于等于定大于等于0 0，代数式中的虚部一定为实数，代数式中的虚部一定为实数. .2.2.实部为实部为a a2 2, ,虚部为虚部为-(2-b).-(2-b).3.3.实数能够进行大小比较实数能够进行大小比较. .数数x,yx,y不一定为实数也可能是虚数不一定为实数也可能是虚数. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选B.B.对于对于,当当zRzR时时,z,z2 200成立成立, ,否则不成否则不成立立, ,如如z=i,zz=i,z2 2=-10,=-1b,ab,则则a+ib+i;a+ib+i;若若x x2 2+y+y2 2=0,=0,则则x=y=0; x=y=0; 两个虚数不能比较大小两个虚数不能比较大小. .其中其中, ,正确命题的个数是正确命题的个数是( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析】【解析】选选B.B.对于对于,因为因为i i2 2=-1,=-1,所以所以1+i1+i2 2=0,=0,故故正确正确. .对于对于,两个虚数不能比较大小两个虚数不能比较大小, ,故故错错. .对于对于,当当x=1,y=ix=1,y=i时时x x2 2+y+y2 2=0=0成立成立, ,故故错错.正确正确. .【误区警示】【误区警示】复数概念易错点复数概念易错点(1)(1)注意虚部不是注意虚部不是bi,bi,而是而是b.b.还要特别注意还要特别注意, ,要保证实部、虚部要保证实部、虚部有意义有意义. .(2)(2)形如形如bibi的数不一定是纯虚数的数不一定是纯虚数, ,只有限定条件只有限定条件bRbR且且b0b0时时, ,形如形如bibi的数才是纯虚数的数才是纯虚数. .(3)(3)不要将复数与虚数的概念混淆不要将复数与虚数的概念混淆, ,实数也是复数实数也是复数, ,实数和虚数实数和虚数是复数的两大构成部分是复数的两大构成部分. .【补偿训练】【补偿训练】若复数若复数z=3+bi0(bR),z=3+bi0(bR),则则( () )A.b0 B.b=0A.b0 B.b=0C.b0 D.C.b0,3+bi0,则说明则说明z=3+biz=3+bi为实数为实数, ,故故b=0.b=0.类型二类型二 复数的分类复数的分类【典例【典例2 2】(1)(1)复数复数z=az=a2 2-b-b2 2+(a+|a|)i(a,bR)+(a+|a|)i(a,bR)为纯虚数的充要为纯虚数的充要条件是条件是( () )A.|a|=|b|A.|a|=|b|B.a0B.a0C.a0且且ab D.a0ab D.a0且且a=a=b b(2)(2)实数实数m m取什么值时取什么值时, ,复数复数(m(m2 2-3m+2)+(m-3m+2)+(m2 2-4)i-4)i是是: :实数实数;虚数虚数;纯虚数纯虚数. .【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中复数中复数z z为纯虚数满足的条件是什么为纯虚数满足的条件是什么? ?2.2.复数复数z=a+bi(a,bR),a,bz=a+bi(a,bR),a,b为什么时为什么时z z为实数为实数,a,b,a,b为什么时为什么时z z为虚数为虚数?a,b?a,b为什么时为什么时z z为纯虚数为纯虚数? ?【探究提示】【探究提示】1.1.2.b=02.b=0时时z z为实数为实数,b0,b0时时z z为虚数为虚数,a=0,b0,a=0,b0时时z z为纯虚数为纯虚数. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选D.aD.a2 2-b-b2 2=0,=0,且且a+|a|0.a+|a|0.故得故得a0a0且且a=a=b.b.(2)(2)设设z=(mz=(m2 2-3m+2)+(m-3m+2)+(m2 2-4)i.-4)i.要使要使z z为实数为实数, ,必须有必须有m m2 2-4=0,-4=0,得得m=-2m=-2或或m=2,m=2,即即m=-2m=-2或或m=2m=2时时,z,z为实数为实数. .要使要使z z为虚数为虚数, ,必有必有m m2 2-40,-40,即即m-2m-2且且m2.m2.故故m-2m-2且且m2m2时时,z,z为虚数为虚数. .要使要使z z为纯虚数，必有为纯虚数，必有所以所以所以所以m m1 1，故，故m m1 1时，时，z z为纯虚数为纯虚数【延伸探究】【延伸探究】把题把题(1)(1)中的中的“纯虚数纯虚数”改为改为“实数实数”, ,则结果如则结果如何何? ?【解析】【解析】复数复数z z为实数的充要条件是为实数的充要条件是a+|a|=0,a+|a|=0,而而|a|=-a,|a|=-a,所以所以a0.a0.【方法技巧】【方法技巧】1.1.解决复数分类问题的方法与步骤解决复数分类问题的方法与步骤(1)(1)化标准式化标准式: :解题时一定解题时一定要先看复数是否为要先看复数是否为a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的形的形式式, ,以确定实部和虚部以确定实部和虚部. .(2)(2)定条件定条件: :复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题满足的条件问题, ,只需把复数化为代数形式只需把复数化为代数形式, ,列出实部和虚部满列出实部和虚部满足的方程足的方程( (不等式不等式) )组即可组即可. .(3)(3)下结论下结论: :设所给复数为设所给复数为z=a+bi(a,bR),zz=a+bi(a,bR),z为实数为实数b=0;b=0;zz为虚数为虚数b0;zb0;z为纯虚数为纯虚数a=0a=0且且b0.b0.2.2.复数分类的应用复数分类的应用(1)(1)参数自身参数自身: :判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数虚数、纯虚数, ,首先要保证参数值使表达式有意义首先要保证参数值使表达式有意义, ,其次对参数其次对参数值的取舍值的取舍, ,是取是取“并并”还是还是“交交”, ,非常关键非常关键, ,解答后进行验算解答后进行验算是很必要的是很必要的. .(2)(2)整体与局部整体与局部: :对于复数对于复数z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度既要从整体的角度去认识它去认识它, ,把复数把复数z z看成一个整体看成一个整体, ,又要从实部与虚部的角度分又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它解成两部分去认识它. .这是解复数问题的重要思路之一这是解复数问题的重要思路之一. .【变式训练】【变式训练】m m取何实数时，复数取何实数时，复数(1)(1)是实数？是实数？(2)(2)是虚数？是虚数？(3)(3)是纯虚数？是纯虚数？【解析】【解析】(1)(1)因为因为z z为实数，所以为实数，所以所以所以所以所以m m5.5.所以当所以当m m5 5时，时，z z是实数是实数(2)(2)因为因为z z为虚数，所以为虚数，所以所以所以所以所以m5m5且且m-3.m-3.所以当所以当m5m5且且mm3 3时，时，z z是虚数是虚数(3)(3)因为因为z z为纯虚数，所以为纯虚数，所以所以所以所以所以m m3 3或或m m2.2.所以当所以当m m3 3或或m m2 2时，时，z z是纯虚数是纯虚数【误区警示】【误区警示】形如形如a+bia+bi的复数的复数, ,一定要注意一定要注意, ,只有当只有当a,ba,b是有定是有定义的实数时才能充当复数的实部、虚部义的实数时才能充当复数的实部、虚部, ,在这个前提下在这个前提下, ,研究复研究复数的分类才不易出错数的分类才不易出错. .【补偿训练】【补偿训练】实数实数a a取什么值时，复数取什么值时，复数z za a1 1(a(a1)i1)i是是(1)(1)实数；实数；(2)(2)虚数；虚数；(3)(3)纯虚数纯虚数【解析】【解析】(1)(1)当当a a1 10 0，即，即a a1 1时，复数时，复数z z是实数是实数(2)(2)当当a a1010，即，即aa1 1时，复数时，复数z z是虚数是虚数(3)(3)当当即即a a1 1时，复数时，复数z z是纯虚数是纯虚数. .类型三类型三 复数的相等复数的相等【典例【典例3 3】(1)(1)已知已知x,yx,y均是实数均是实数, ,且满足且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,(2x-1)+i=-y-(3-y)i,则则x=x=,y=,y=. .(2)(2)已知已知M=(a+3)+(bM=(a+3)+(b2 2-1)i,8,-1)i,8,集合集合N=3i,(aN=3i,(a2 2-1)+(b+2)i,-1)+(b+2)i,同同时满足时满足MNMN M,MNM,MN , ,求整数求整数a,b.a,b.【解题探究】【解题探究】1.1.复数复数(2x-1)+i(2x-1)+i的实部与虚部分别是多少的实部与虚部分别是多少? ?复数复数-y-(3-y)i-y-(3-y)i的实部与虚部分别是多少的实部与虚部分别是多少? ?2.2.由条件由条件MN M,MN MN M,MN 能得到的结论是什么能得到的结论是什么? ?【探究提示】【探究提示】1.1.复数复数(2x(2x1)1)i i的实部为的实部为2x2x1 1，虚部为，虚部为1 1；复数复数y y(3(3y)iy)i的实部为的实部为y y，虚部为，虚部为(3(3y).y).2.2.由由MN MMN M知两个集合知两个集合M M，N N不能相等不能相等. .由由MNMN 能得到两能得到两个集合个集合M M，N N中有公共元素中有公共元素. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)由复数相等的充要条件得由复数相等的充要条件得答案：答案：(2)(2)由条件由条件MN M,MNMN M,MN得得(a+3)+(b(a+3)+(b2 2-1)i=3i;-1)i=3i;或或8=(a8=(a2 2-1)+(b+2)i.-1)+(b+2)i. 或或(a+3)+(b(a+3)+(b2 2-1)i=(a-1)i=(a2 2-1)+(b+2)i.-1)+(b+2)i.由由得得a=-3,b=a=-3,b=2,2,当当a=-3,b=2a=-3,b=2时时,M=3i,8,N=3i,8+4i,M=3i,8,N=3i,8+4i满足题意满足题意. .经检验经检验,a=-3,b=-2,a=-3,b=-2不合题意不合题意, ,舍去舍去. .由由得得b=-2,a=-3b=-2,a=-3或或b=-2,a=3b=-2,a=3当当b=-2,a=-3b=-2,a=-3时时M=3i,8,N=3i,8M=3i,8,N=3i,8不合题意不合题意, ,舍去舍去. .当当b=-2,a=3b=-2,a=3时时,M=6+3i,8,N=3i,8,M=6+3i,8,N=3i,8满足题意满足题意. .由由得得得得a,ba,b不是整数舍去不是整数舍去. .故故a=-3,b=2a=-3,b=2或或a=3,b=-2.a=3,b=-2.【方法技巧】【方法技巧】化复为实转化求解化复为实转化求解应用两个复数相等的充要条件时应用两个复数相等的充要条件时, ,首先要把首先要把“= =”左右两侧的左右两侧的复数写成代数形式复数写成代数形式, ,即分离实部与虚部即分离实部与虚部, ,然后确定两个独立参然后确定两个独立参数列出方程数列出方程, ,化复数问题为实数问题得以解决化复数问题为实数问题得以解决. .【变式训练】【变式训练】已知关于已知关于x x的方程的方程x x2 2+(1-2i)x+(3m-i)=0+(1-2i)x+(3m-i)=0有实根有实根, ,求实数求实数m m的值的值. .【解析】【解析】设设x=ax=a为方程的一个实数根为方程的一个实数根. .则有则有a a2 2+(1-2i)a+(3m-i)=0,+(1-2i)a+(3m-i)=0,即即(a(a2 2+a+3m)-(2a+1)i=0.+a+3m)-(2a+1)i=0.因为因为a,mR,a,mR,由复数相等的充要条件由复数相等的充要条件故实数故实数m m的值为的值为【补偿训练】【补偿训练】已知已知P=-1,1,4i,M=1,(mP=-1,1,4i,M=1,(m2 2-2m)+(m-2m)+(m2 2+m-2)i.+m-2)i.若若MP=P,MP=P,求实数求实数m m的值的值【解析】【解析】因为因为MP=P,MP=P,所以所以M M P,P,即即(m(m2 2-2m)+(m-2m)+(m2 2+m-2)i=-1+m-2)i=-1或或(m(m2 2-2m)+(m-2m)+(m2 2+m-2)i=4i.+m-2)i=4i.由由(m(m2 2-2m)+(m-2m)+(m2 2+m-2)i=-1+m-2)i=-1得得m m2 2-2m=-1,m-2m=-1,m2 2+m-2=0,+m-2=0,解得解得m=1.m=1.由由(m(m2 2-2m)+(m-2m)+(m2 2+m-2)i=4i+m-2)i=4i得得m m2 2-2m=0,m-2m=0,m2 2+m-2=4,+m-2=4,解得解得m=2.m=2.综上可知综上可知,m=1,m=1或或m=2.m=2.【拓展类型】【拓展类型】含有虚数单位含有虚数单位i i的不等式的不等式【备选例题】【备选例题】若若z z1 1=m=m2 2-(m-(m2 2-3m)i,z-3m)i,z2 2=(m=(m2 2-4m+3)i+10(mR),-4m+3)i+10(mR),z z1 1zz2 2, ,求实数求实数m m的值的值. .【解析】【解析】因为因为z z1 1zz2 2, ,所以所以z z1 1,z,z2 2均为实数均为实数. .所以解得所以解得m=3.m=3.又又z z1 1=m=m2 2=9z=9z2 2, ,故故m=3,m=3,符合题意符合题意. .所以所以m=3.m=3.【方法技巧】【方法技巧】隐含条件的应用隐含条件的应用两个虚数不能比较大小两个虚数不能比较大小, ,若两个复数能够比较大小若两个复数能够比较大小, ,则这两个则这两个复数一定为实数复数一定为实数, ,即复数的虚部为即复数的虚部为0.0.【易错误区】【易错误区】明晰复数概念明晰复数概念, ,正确判断命题正确判断命题【典例】【典例】在下列命题中在下列命题中, ,正确命题的个数是正确命题的个数是( () )(1)(1)两个复数不能比较大小两个复数不能比较大小; ;(2)(2)若若z z1 1和和z z2 2都是虚数都是虚数, ,且它们的虚部相等且它们的虚部相等, ,则则z z1 1=z=z2 2; ;(3)(3)若若a,ba,b是两个相等的实数是两个相等的实数, ,则则(a-b)+(a+b)i(a-b)+(a+b)i必为纯虚数必为纯虚数. .A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析】【解析】选选A.A.两个复数，当两个复数，当它们都是实数时它们都是实数时，是可以比较大，是可以比较大小的，故小的，故(1)(1)是错误的；是错误的；设设z z1 1a abi(abi(a，bRbR，b0)b0)，z z2 2c cdi(cdi(c，dRdR，且，且d0)d0)，因为，因为b bd d，所以，所以z z2 2c cbi.bi.当当a ac c时，时，z z1 1z z2 2，当，当acac时时，z z1 1zz2 2，故，故(2)(2)是错误的是错误的; ;(3)(3)当当a ab0b0时，时，a ab b(a(ab)ib)i是纯虚数，是纯虚数，当当a ab b0 0时，时，a ab b(a(ab)ib)i0 0是实数，故是实数，故(3)(3)错误，因此选错误，因此选A.A.【常见误区】【常见误区】错解错解错因剖析错因剖析选选D D处两个复数处两个复数, ,当它们都是实数时当它们都是实数时, ,是可以比较大小的是可以比较大小的; ;处虚数与纯虚数概念混淆处虚数与纯虚数概念混淆, ,事实上纯虚数集是虚数集的真子集事实上纯虚数集是虚数集的真子集; ;处误认为只要实部为处误认为只要实部为0,0,复数就是纯虚数复数就是纯虚数【防范措施】【防范措施】1.1.明确关系明确关系: :解决与复数相关的问题时解决与复数相关的问题时, ,要明确复数与实数间的要明确复数与实数间的从属关系从属关系. .如本例如本例(1)(1)是区分复数是哪一类数是区分复数是哪一类数. .2.2.分清概念分清概念: :虚数与纯虚数概念混淆虚数与纯虚数概念混淆, ,事实上纯虚数集是虚数集事实上纯虚数集是虚数集的真子集的真子集, ,在代数形式上在代数形式上, ,纯虚数为纯虚数为bi(bRbi(bR且且b0),b0),虚数为虚数为a+bi(a,bR,a+bi(a,bR,且且b0).b0).【类题试解】【类题试解】下面几个命题正确的个数为下面几个命题正确的个数为( () )00比比-i-i大大;若若aR,aR,则则(a+1)i(a+1)i是纯虚数是纯虚数; ;x+yi=1+ix+yi=1+i的充要条件为的充要条件为x=y=1.x=y=1.A.0 B.1 C.2 D.3A.0 B.1 C.2 D.3【解析】【解析】选选A.0A.0比比-i-i大大, ,实数与虚数不能比较大小实数与虚数不能比较大小;若若a=-1a=-1则则(a+1)i=0(a+1)i=0为实数为实数;x+yi=1+i;x+yi=1+i的充要条件为的充要条件为x=y=1x=y=1是错误的是错误的, ,因为没有表明因为没有表明x,yx,y是否是实数是否是实数. .