角平分线的性质角平分线的性质驶向胜利的彼岸探究角平分线的性质探究角平分线的性质 (1)实验实验：画一个画一个AOB,用尺规作出用尺规作出AOB的平的平分线分线OP,过过P作作PD OA,PE OB问题：问题：比较比较PD和和PE 的大小关系（量一量）。的大小关系（量一量）。 PD=PE 再换一个新的位置看看情况会怎样？再换一个新的位置看看情况会怎样？活活 动动1(2)(2)猜猜想想: : 角角的的平平分分线线上上的的点到角的两边的距离相等点到角的两边的距离相等. .P PA AO OB BC CE ED D证明证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已证）（已证） 1= 2 （已证）（已证） OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知已知：如图，如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点DD，PEOBPEOB于于点点E E求证求证: PD=PE: PD=PE(3)验证验证猜想猜想角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知已知“一个点在一个角的平分线上一个点在一个角的平分线上”。结论为。结论为“这个点到这个角两边得距离相这个点到这个角两边得距离相等等”角平分线上角平分线上的点到角两的点到角两边的距离相边的距离相等。等。得到得到角平角平分线的性分线的性质：质： 利利用用此此性性质质怎怎样书写推理过程样书写推理过程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（角平分线（角平分线的性质）的性质）P PA AO OB BC CE ED D12归纳：归纳： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）解决问题S公路公路铁路铁路DCs公路公路铁路铁路O解解： 设设OD=Xm 则由题得则由题得 = 解得解得x=0.025m 即即OD=2.5cm 作夹角的角平分线作夹角的角平分线OC，截取，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。即为所求。ACDEBF 分分析析:要要证证CF=EB,首首先先我我们们想想到到的的是是要要证证它它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还还需需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (因因为为角角的的平平分分线线的的性性质质) 再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！已知：如图，ABC中 C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。应用与提高应用与提高证明证明：AD平分平分CABDEAB，C90（已知）（已知）CDDE (角平分线的性质角平分线的性质)在在tCDF和和RtEDB中中, CD=DE （已证）（已证） DF=DB （已知）（已知） RtCDF RtEDB (HL) CF=EB （全等三角形对应边（全等三角形对应边相等）相等）ACDEBF如图，如图，E是是AOB的角平分线的角平分线OC上的上的一点，一点， EMOB垂足为垂足为M，且，且EM=3cm，求点，求点E 到到OA的距离的距离分析分析：点点E 到到OA的距离是过点的距离是过点E作作OA的垂线段，再根据角的平分的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点线的性质，可知点E到到OA的距离。的距离。解解：过过E作作ENOA垂足为垂足为N E是是AOB的角平分线上的一点，的角平分线上的一点， EMOB， ENOA，EM=EN又又 EM=3cm，EN=3cm即点即点E 到到OA的距离为的距离为3cm。E EB BO OA AC C课堂练习课堂练习MMN N 做一做做一做w已知已知:如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.w求证求证:EB=FC.EB=FC. BAEDCF证明证明： AD平分平分CABDEAB ，DFAC(已知已知)DE=DF (角平分线的性质角平分线的性质)在在tBED和和RtCFD中中, BD=CD （已证）（已证） DE=DF （已知）（已知） Rt BED RtCFD (HL) BE=FC （全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）回味无穷回味无穷w性质性质 角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等. .w几何语言几何语言： OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线, , P P是是OCOC上任意一点上任意一点 PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,ED,E( (已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等).).课堂 小结P PA AO OB BC CE EDD12课本：习题课本：习题11.3 第第5题题再见再见