一轮复习讲义一轮复习讲义一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 二次函数与二次不等式二次函数与二次不等式二次函数与二次不等式二次函数与二次不等式一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用一元二次不等式的实际应用与一元二次不等式有关的恒成立问题与一元二次不等式有关的恒成立问题1.分式不等式与一元二次不等式的关系分式不等式与一元二次不等式的关系:2. 不等式不等式 ax2+bx+c0 恒成立问题恒成立问题 ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立 f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立 f(x)min0( (xm, n) ) ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立 f(x)=ax2+bx+c0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立3. 二次函数二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在在m, n上的最值上的最值(2)若若 m, n, 则则当当 x0n 时时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).(1)若若 m, n, 则则 f(x)min= f(x0)=4. 二次方程二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 实根分布问题实根分布问题记记 f(x)=ax2+bx+c(a0)方程方程 f(x)=0 有两正根有两正根 方程方程 f(x)=0 有两负根有两负根 方程方程 f(x)=0 有一正根一负根有一正根一负根 根的分布根的分布图象图象充要条件充要条件根的分布根的分布图象图象充要条件充要条件根的分布根的分布图象图象充要条件充要条件两个实根有两个实根有且仅有一根且仅有一根在区间在区间 内内 R原不等式的解集为原不等式的解集为原不等式的解集为原不等式的解集为原不等式的解集为原不等式的解集为开始开始将原不等式化成一般形式将原不等式化成一般形式 结束结束是是否否是是否否例例1.已知关于已知关于x的不等式的不等式ax2+bx+c0的解集的解集.解解: 由已知得由已知得 的两个根，且的两个根，且a0，解得解得 不等式不等式 即为即为 即不等式即不等式 ax2-bx+c0的解集为的解集为【1】若不等式若不等式x2+ax+40时，时，当当 a0时，时，综上综上, 当当a0时，时，原不等式解集为原不等式解集为例例4.4.解关于解关于x的不等式的不等式 解解:原不等式等价于原不等式等价于(1)当当a1时时,(2)当当a1时时,当当a=0时时, 原不等式为原不等式为(x- -2)2 0, 当当0a1时时, 当当a1时时, 原不等式解集为原不等式解集为当当0a1时时, 原不等式解集为原不等式解集为当当 a=0时时, 原不等式解集为原不等式解集为 ;当当 a0的解集为的解集为 x|0ax .则关于则关于x的不等式的不等式cx2+bx+a0的解集为的解集为_ _.（1）变量分离法）变量分离法(分离参数分离参数)例例5. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_. 【评注评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题为解关于参数的不等式的问题23y.xo（2）转换求函数的最值）转换求函数的最值例例5. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.23y.xo例例5. 关于关于x的不等式的不等式 在区间在区间 2, 3上上恒成立恒成立,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_.（）数形结合思想（）数形结合思想 【1】若不等式若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于xR恒成立恒成立,则则实数实数m 的取值范围的取值范围时时 . 【2】若不等式若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于x- -1,1恒成立恒成立,则则实数实数m 的取值范围的取值范围是是_. 【3】若不等式若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 对于对于m- -1,1恒成立恒成立,则则实数实数x 的取值范围的取值范围是是_. 【4】设不等式设不等式 mx2- -2x- - m+10 对于满足对于满足|m|2的的一切一切值都值都恒成立，恒成立，则则实数实数 x 的取值范围的取值范围是是_.解解: 设f(m)=mx2- -2x- -m+1,【点评点评】解决解决恒成立恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数范围，谁就是参数. 则则 f(m)是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当- -2m2时，线段在时，线段在x轴下轴下方方,所以所以实数实数 x 的取值范围的取值范围是是 此此题题若若把把它它看看成成关关于于x的的二二次次函函数数,由由于于a, x都都要要变变,则则函函数数的的最最小小值值很很难难求求出出,思思路路受受阻阻.若若视视a为为主主元元,则给解题带来转机则给解题带来转机.2（1） 解解题题是是一一种种实实践践性性技技能能, ,就就像像游游泳泳、滑滑雪雪、弹弹钢钢琴琴一一样样，只只能能通通过过模模仿仿和和实实践来学到它！践来学到它！ 波利亚波利亚