测量误差与数据处理测量误差与数据处理1物理实验基本程序和要求物理实验基本程序和要求1.1.实验课前预习实验课前预习(1)(1)预习与本实验相关的全部内容。预习与本实验相关的全部内容。(2)(2)写出预习报告（实验题目、目的、原理、写出预习报告（实验题目、目的、原理、 主要计算公式、原理简图）主要计算公式、原理简图）, ,准备原始实验准备原始实验 数据记录表格。数据记录表格。2.2.课堂实验操作课堂实验操作(1)(1)上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等。上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等。(2)(2)必须在了解仪器的工作原理、使用方法、必须在了解仪器的工作原理、使用方法、注意事项的基础上，方可进行实验。注意事项的基础上，方可进行实验。 2(3)(3)仪器安装调试后经教师检查无误后方可进仪器安装调试后经教师检查无误后方可进 行实验操作。行实验操作。(4)(4)注意观察实验现象，认真记录测量数据，注意观察实验现象，认真记录测量数据， 将数据填入实验记录表格将数据填入实验记录表格, ,数据须经指导老师数据须经指导老师检查及签字。检查及签字。(5)(5)实验后请将使用的仪器整理好，归回原处。实验后请将使用的仪器整理好，归回原处。 经教师允许后方可离开实验室。经教师允许后方可离开实验室。(6)(6)课后按要求完成实验报告课后按要求完成实验报告, ,并在下次实验时并在下次实验时 交来。交来。3第一章第一章 目目 录录第第1节节 测量与误差测量与误差第第2节节 随机误差的处理随机误差的处理第第3节节 实验错误数据的剔除实验错误数据的剔除第第4节节 测量不确定度及估算测量不确定度及估算第第5节节 有效数字及运算规则有效数字及运算规则第第6 6节节 实验数据处理基本方法实验数据处理基本方法4一、测量一、测量一、测量一、测量测量就是测量就是借助仪器将待测量与同类标准量进行比借助仪器将待测量与同类标准量进行比较，确定待测量是该同类单位量的多少倍的过程较，确定待测量是该同类单位量的多少倍的过程称作测量。测量数据要写明数值的大小和计量单称作测量。测量数据要写明数值的大小和计量单位。位。测量的要素：对象，单位，方法，准确度。测量的要素：对象，单位，方法，准确度。倍数倍数 读数读数+ +单位单位数据数据 1 测量与误差测量与误差1 1、测量的含义、测量的含义5在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家不同时期，不同的国家， 乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同 的计量单位的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、 市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大 会于1960年确定了国际单位制（SI），它规定 了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎 德拉作为基本单位基本单位，其他物理量（如力、能 量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单 位的导出单位导出单位。62.2.2.2.测量的分类测量的分类测量的分类测量的分类按方法分类：按方法分类：按条件分类：按条件分类：直接测量直接测量间接测量间接测量 等精度测量等精度测量非等精度测量非等精度测量7测量测量直接测量直接测量间接测量间接测量数值数值单位单位8二、误差二、误差任何测量结果都有误差！任何测量结果都有误差！ 1、真值：待测量客观存在的值、真值：待测量客观存在的值( (绝对绝对) )误差误差：真值真值测量值测量值相对误差相对误差: :9.相对误差常用百分比表示。它表示绝对误差在整个物理量中所占的比重，它是无单位的一个纯数，所以既可以评价量值不同的同类物理量的测量，也可以评价不同物理量的测量，从而判断它们之间优劣。如果待测量有理论值或公认值，也可用百分差来表示测量的好坏。即:102 2 2 2、误差的分类、误差的分类、误差的分类、误差的分类随机误差随机误差随机性随机性可通过多次测量来减小可通过多次测量来减小系统误差系统误差恒定性恒定性可用特定方法来消除或减小可用特定方法来消除或减小11 系统误差系统误差保持不变或以可预知方式变化的误差分量保持不变或以可预知方式变化的误差分量 来源来源: :仪器固有缺陷仪器固有缺陷; ; 实验理论近似或方法不完善；实验理论近似或方法不完善； 实验环境、测量条件不合要求；实验环境、测量条件不合要求； 操作者生理或心理因素。操作者生理或心理因素。123、测量的精密度、准确度、精确度、测量的精密度、准确度、精确度1）精密度。表示重重复复测测量量所所得得数数据据的的相相互互接近程度接近程度（离散程度）。2）准确度，表示测测量量数数据据的的平平均均值值与与真真值值的接近程度的接近程度。3）精确度。是对测测量量数数据据的的精精密密度度和和准准确确度度的综合评定。13 以打靶为例来比较说明精密度、准确度、精确度三者之间的关系。图中靶心为射击目标，相当于真真值值，每次测量测量相当于一次射击。 （a）准确度高、 （b）精密度高、 （c）精密度、准确 精密度低 准确度低 度均高 14一、随机误差的正态分布规律一、随机误差的正态分布规律大量大量的随机误差服从的随机误差服从正态分布正态分布规律规律 0 0 正态分布正态分布正态分布正态分布误差误差概率密度函数概率密度函数标准误差标准误差2 随机误差的处理随机误差的处理15随机误差介于随机误差介于小区间内的概率为小区间内的概率为：的物理意义的物理意义: :0 0随机误差介于区间随机误差介于区间(-a,a)内的概率为内的概率为- -a aa a(-a,a)为为置信区间置信区间、P为为置信概率置信概率16满足归一化条件满足归一化条件可以证明：可以证明：极限误差极限误差0 0总面积总面积=1=11718对称性对称性单峰性单峰性 有界性有界性正态分布特征：正态分布特征：0 0抵偿性抵偿性即即19二、随机误差估算二、随机误差估算标准偏差标准偏差误差：误差：偏差：偏差：标准误差标准误差标准偏差：标准偏差：20的物理意义的物理意义: :作任作任一次测量，随机误差落在区一次测量，随机误差落在区间间 的概率为的概率为 。 小，小误差占优，数据集中，重复性好。小，小误差占优，数据集中，重复性好。大，数据分散，随机误差大，重复性差。大，数据分散，随机误差大，重复性差。 2.2.标准偏差的物理含义标准偏差的物理含义21总面积总面积=1=122三、测量结果最佳值三、测量结果最佳值算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值是真值的最佳估计值是真值的最佳估计值 多次测量求平均值可以减小随机误差多次测量求平均值可以减小随机误差23对于服从正态分布的随机误差，出现在S区间内概率为68.3%，与此相仿，同样可以计算，在相同条件下对某一物理量进行多次测量，其任意一次测量值的误差落在 -3S到+3S区域之间的可能性（概率）。其值为1. 拉依达判据3 实验中错误数据的剔除实验中错误数据的剔除24如果用测量列的算术平均替代真值，则测量列中约有99.7%的数据应落在区间内，如果有数据出现在此区间之外，则我们可以认为它是错误数据，这时我们应把它 舍舍去去，这样以标准偏差Sx的3倍为界去决定数据的取舍就成为一个剔剔除除坏坏数数据据的的准准则则，称为拉依达准则。但要注意的是数据少于数据少于1010个时此准则无效个时此准则无效。25对于服从正态分布的测量结果，其偏差出现在3S附近的概率已经很小，如果测量次数不多，偏差超过3S几乎不可能，因而，用拉依达判据剔除疏失误差时，往往有些疏失误差剔除不掉。另外，仅仅根据少量的测量值来计算S，这本身就存在不小的误差。因此当测量次数不多时，不宜用拉依达判据，但可以用肖维勒准则。按此判据给出一个数据个数n相联系的系数Gn，当已知数据个数n，算术平均值和测量列标准偏差S，则可以保留的测量值xi的范围为2.肖维勒准则26Gn系数表 n Gn n Gn n Gn 3 1.38 11 2.00 25 2.33 4 1.54 12 2.03 30 2.39 5 1.65 13 2.07 40 2.49 6 1.73 14 2.10 50 2.58 7 1.80 15 2.13 100 2.80 8 1.86 16 2.15 9 1.92 18 2.20 10 1.96 20 2.2427一、不确定度基本概念一、不确定度基本概念被测量的真值所处的量值范围作一评定被测量的真值所处的量值范围作一评定 测量结果：测量结果：mm (P=0.68)真值以真值以68%68%的概率落在的概率落在区间内区间内4 测量不确定度及估算测量不确定度及估算测量值测量值X和不确定度和不确定度单位单位置信度置信度28二、不确定度简化估算方法二、不确定度简化估算方法A类分量类分量 ：多次测量用统计方法评多次测量用统计方法评定的分量定的分量29只考虑只考虑仪器误差仪器误差 测量值与真值之间可测量值与真值之间可能产生的最大误差能产生的最大误差常用仪器误差见常用仪器误差见下表下表B类分量类分量 ： 用其它非统计方法评定的分量用其它非统计方法评定的分量30仪器名称仪器名称量量 程程分度值分度值仪器误差仪器误差钢钢直尺直尺0300mm1mm0.1mm钢钢卷尺卷尺01000mm1mm0.5mm游标卡尺游标卡尺0300mm0.02, 0.05mm分度值分度值螺旋测微计螺旋测微计0100mm0.01mm0.004mm物理天平物理天平1000g100mg50mg水银温度计水银温度计 -303001 ,0.2 ,0.1分度值分度值读数显微镜读数显微镜0.01mm0.004mm数字式电表数字式电表最末一位的最末一位的一个单位一个单位指针式电表指针式电表0.1, 0.2, 0.5, 1.01.5, 2.5, 5.0量程量程a%31仪器不确定度的估计仪器不确定度的估计. .根据说明书根据说明书. .由仪器的准确度级别来计算由仪器的准确度级别来计算举例举例: :323334. .未给出仪器误差时估计未给出仪器误差时估计: :连续可读仪器连续可读仪器: :非连续可读仪器非连续可读仪器: :最小分度最小分度/2/2最小分度最小分度取末位取末位11数字式的仪器数字式的仪器: :举例举例: :3536A.A.由仪器的准确度表示由仪器的准确度表示. .仪器误差仪器误差 的确定：的确定：37数字秒表数字秒表: :最小分度最小分度=0.01s=0.01sC.C.未给出仪器误差时未给出仪器误差时非连续可读仪器非连续可读仪器38总不确定度：总不确定度：由由A类分量和类分量和B类分量按类分量按“方、和、根方、和、根”方法合方法合成成 三、总不确定度的合成三、总不确定度的合成39四、测量结果表达式：四、测量结果表达式：单次单次多次多次40间接测量量的最佳值为：1、间接测量量的最佳值 直接测量量 的 最佳值为五、间接测量量的不确定度五、间接测量量的不确定度412、间接测量量不确定度的合成不确定度传递系数42例如：例如：间接测量量的不确定度是每一个直接测量量的合成。间接测量量的不确定度是每一个直接测量量的合成。两边求微分得两边求微分得: :43 总总 结结一、直接测量量不确定度评定步骤一、直接测量量不确定度评定步骤1 1、修正可定系统误差、修正可定系统误差多次测量估算步骤多次测量估算步骤 对等精度测量列对等精度测量列 运算如下运算如下2 2、计算、计算444 4、按肖维勒准则剔除异常值后，重、按肖维勒准则剔除异常值后，重复步骤复步骤2 2、3 3，直到无异常值。，直到无异常值。5、计算、计算3、计算、计算6、计算、计算458 8、最终结果：、最终结果：7、计算总不确定度、计算总不确定度（单位）单位）46二、间接测量结果不确定度评定步骤二、间接测量结果不确定度评定步骤1 1、计算、计算2 2、计算、计算3 3、计算、计算4 4、最后结果、最后结果47直接测量量数据处理举例直接测量量数据处理举例 某长度测6次,分别为29.18 29.19 29.27 29.25 29.26 29.24(cm) 仪=0.05cmcmcm2 2、计算、计算解：解：1 1、无可定系统误差、无可定系统误差3 3、计算、计算48挑选最大最小值比较挑选最大最小值比较4 4、剔除异常值、剔除异常值所以无异常值所以无异常值5 5、计算、计算49不确定度有效数字保留不确定度有效数字保留1 1位位, ,且与平且与平均值的最后一位对齐均值的最后一位对齐. .8 8、最后结果：、最后结果：6 6、计算：、计算：7 7、计算：、计算：50间接测量量数据处理举例间接测量量数据处理举例 测得某园柱体质量测得某园柱体质量M M，直径直径D D，高度高度H H值如值如下，计算其密度及不确定度。下，计算其密度及不确定度。51代入数据代入数据计算密度计算密度52相对不确定度相对不确定度53总总不确定度不确定度测量结果测量结果545. .有效数字及运算规则有效数字及运算规则数据左起第一位非零数起数据左起第一位非零数起, ,到第一位到第一位欠准数止的全部数字。欠准数止的全部数字。有效数字有效数字= =准确数字准确数字+ +欠准数位欠准数位一、有效数字的一般概念一、有效数字的一般概念55 有效数字来源有效数字来源于测量时所用的于测量时所用的仪器。我们的任仪器。我们的任务是使测量值尽务是使测量值尽可能准确地反映可能准确地反映出它的真实值。出它的真实值。有两个特征：有两个特征：（2 2）在最小刻度之间）在最小刻度之间可可估计一位估计一位。欠准位欠准位准确位准确位（1 1）以刻度为依据可）以刻度为依据可读到读到最小刻度最小刻度所在位。所在位。56 35 36 (cm) 11位置为位置为35.00cm35.00cm, ,不能写成不能写成 35cm35cm。1122位置为位置为35.40cm35.40cm22 3333位置介于位置介于35.7-35.7-35.835.8之间之间, , 可以估可以估计为计为35.75. 35.7635.75. 35.7635.7735.77，不妨取，不妨取35.76cm35.76cm。 估计值只有一位，所以也叫欠准数位估计值只有一位，所以也叫欠准数位或可疑数位。或可疑数位。57有效数字的特点有效数字的特点（1 1）位数与）位数与单位变换或单位变换或小数点位置无关。小数点位置无关。35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km（2 2）0 0 的地位的地位0.0003576 3.005 3.000 0.0003576 3.005 3.000 都是四位都是四位（3 3）特大或特小数用科学计数法）特大或特小数用科学计数法58二、有效数字的读取二、有效数字的读取 进行直接测量时，由于仪器多种多样，进行直接测量时，由于仪器多种多样，正确读取有效数字的方法大致归纳如下：正确读取有效数字的方法大致归纳如下：1 1、一般读数应读到最小分度以下再估一、一般读数应读到最小分度以下再估一位。位。例如，例如，1/21/2，1/51/5，1/41/4，1/101/10等。等。2 2、有时读数的估计位，就取在最小分度、有时读数的估计位，就取在最小分度位。位。例如，仪器的最小分度值为例如，仪器的最小分度值为0.50.5，则，则0.1-0.4,0.6-0.90.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到都是估计的，不必估到下一位。下一位。593 3、游标类量具，读到卡尺分度值。、游标类量具，读到卡尺分度值。多不估多不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。读，特殊情况估读到游标分度值的一半。5 5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定器的灵敏阈决定。例如在。例如在“灵敏电流计研灵敏电流计研究究”中，测临界电阻时，调节电阻箱中，测临界电阻时，调节电阻箱“ “ ”，仪器才刚有反应，尽管最小步进为，仪器才刚有反应，尽管最小步进为0.10.1电阻值只记录到电阻值只记录到“ ”“ ”。4 4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。6 6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可、若测值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。疑位。60三三. .有效数字的运算规则有效数字的运算规则准准 准准 准准欠欠 欠欠 欠欠11加减：与位数最加减：与位数最 高者对齐。高者对齐。 22乘除：一般可与位乘除：一般可与位 数最少者相同。数最少者相同。33幂运算、对数（指数）、三角函数幂运算、对数（指数）、三角函数( (反反 三角）不改变有效数字位数。三角）不改变有效数字位数。61加、减法加、减法约简约简 可见，约简不影响计算结果。在加减法可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。位数最高者对齐。62乘、除法乘、除法 在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，特殊情况比最少者多（少）一位。特殊情况比最少者多（少）一位。多一位的情况多一位的情况全部欠准时，商所在位即为全部欠准时，商所在位即为为欠准数位。为欠准数位。比位数最少者比位数最少者少一位的情况。少一位的情况。63有效数字位数与底数的相同有效数字位数与底数的相同乘方、立方、开方乘方、立方、开方64初等函数运算初等函数运算四位有效数字，经正弦运算后得几位？四位有效数字，经正弦运算后得几位？ 问题是在问题是在 位上有波动，比如为位上有波动，比如为 ，对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准数所在位。数所在位。 根据微分在近似计算中的应用，可知：根据微分在近似计算中的应用，可知：第四位为欠准数位。第四位为欠准数位。65不参与有效数字运算不参与有效数字运算常数常数661. 1. 不确定度的有效数字不确定度的有效数字 一般情况下一般情况下不确定度不确定度的有效数字取一位，的有效数字取一位，精密测量情况下，可取二位。精密测量情况下，可取二位。2. 2. 测量结果的有效数字测量结果的有效数字 测量结果最佳值的有效数字的末位与测量结果最佳值的有效数字的末位与不确定度不确定度首位取齐。首位取齐。3. 3. 舍入规则：舍入规则： 四舍六入五凑偶四舍六入五凑偶四、舍入法则四、舍入法则67当当实实验验结结果果的的有有效效数数字字位位数数较较多多时时，进行取舍一般采用进行取舍一般采用1/21/2修约规则修约规则。（1） 需需舍舍去去部部分分的的总总数数值值大大于于0.5时，所留末位需加时，所留末位需加1，即进。，即进。（2） 需需舍舍去去部部分分的的总总数数值值小小于于0.5时，末位不变，即舍。时，末位不变，即舍。（3） 需需舍舍去去部部分分的的总总数数值值等等于于0.5时，所留部分末位应凑成偶数。时，所留部分末位应凑成偶数。即即末末位位为为偶偶数数(0、2、4、6、8)，数数字字舍舍去去；末末位位为为奇奇数数(1、3、5、7、9)，数字入进变为偶数。，数字入进变为偶数。修约成修约成4位有效数字位有效数字3.14159 3.1426.378501 6.3792.71729 2.7174.51050 4.5105.6235 5.6243.21650 3.216四舍、六入、五凑偶68一、列表法一、列表法 表表1. .不同温度下的金属电阻值不同温度下的金属电阻值n n1 12 23 34 45 56 67 7t t( ( C C) )10.510.526.026.038.338.351.051.062.862.875.575.585.785.7R R( ( ) )10.42310.42310.89210.89211.20111.20111.58611.58612.02512.02512.34412.34412.67012.670物理量的名称物理量的名称( (符号符号) )和单位和单位有效数字正确有效数字正确6 实验数据处理基本方法实验数据处理基本方法69注意注意:1:1根据数据的分布范围，合理选择根据数据的分布范围，合理选择单位长度及坐标轴始末端的数值，单位长度及坐标轴始末端的数值，并以有效数字的形式标出。并以有效数字的形式标出。22将实验点的位置用符号将实验点的位置用符号X X或或 等标在图上，用铅笔连成光滑等标在图上，用铅笔连成光滑曲线或一条直线，并标出曲线曲线或一条直线，并标出曲线的名称。的名称。二二 作图及图解法作图及图解法7033线性关系数据求直线的斜率时线性关系数据求直线的斜率时, ,应在应在直线上选相距较远的两新点直线上选相距较远的两新点A.BA.B标明标明位置及坐标位置及坐标A(XA(X1 1 Y Y1 1), B(X), B(X2 2 Y Y2 2) ) 由此由此求得斜率。求得斜率。 作图法特点作图法特点: : 简单明了。简单明了。 缺点缺点: :有一定任意性（人为因素），故有一定任意性（人为因素），故不能求不确定度。不能求不确定度。非线性关系数据可进行曲线改直后再处理非线性关系数据可进行曲线改直后再处理71因因变量变量自变量自变量标度标度起点起点终点终点72(4)描点描点+ + + + + + + +(5)连线连线(6)注解说注解说明明73(7)求斜率求斜率B(83.5,12.600)B(83.5,12.600)+ + + + + + + +电阻电阻电阻电阻R R随温度随温度随温度随温度 t t变化曲线变化曲线变化曲线变化曲线A(13.0,10.500)A(13.0,10.500)74当当X X等间隔变化，且等间隔变化，且X X的误差可以不计的误差可以不计的条件下，的条件下，将其分成两组将其分成两组，进行逐差可求得：，进行逐差可求得： 对于对于 X X ：X X1 1 X Xn n X X2 2n n Y Y ：Y Y1 1 Y Yn n Y Y2 2n n 三、逐差法三、逐差法75砝码质量(Kg) 1.0002.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000弹簧伸长位置(cm) x1x2x3x4x5x6x7x876 是从统计的角度处理数据，并能得到测是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。量结果不确定度的一种方法。满足线性关系满足线性关系 y y= =a+bxa+bx 若若最简单的情况最简单的情况: :四、最小二乘法四、最小二乘法77由于每次测量均有误差，使由于每次测量均有误差，使 在所有误差平方和在所有误差平方和 为最小的条件下，得到的方程为最小的条件下，得到的方程 y y= =a+bxa+bx 的方法叫最小二乘法。的方法叫最小二乘法。78假定最佳方程为：假定最佳方程为：y=a0+b0x，其中其中a0和和b0是最佳系数。残差方程组为：是最佳系数。残差方程组为：79根根据据上上式式计计算算出出最最佳佳系系数数a0和和b0，得得到最佳方程为：到最佳方程为：y=a0+b0x80最小二乘法应用举例最小二乘法应用举例为为确确定定电电阻阻随随温温度度变变化化的的关关系系式式，测测得得不不同同温温度度下下的的电电阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：R = a + b t。 表一表一 电阻随温度变化的关系电阻随温度变化的关系t/19.025.030.136.040.045.150.0R/76.3077.8079.7580.80 82.3583.9085.10解：解：1. 列表算出：列表算出：2. 写出写出a、b的最佳值满足方程的最佳值满足方程81nt/R/t2/2R t/ 119.176.303651457225.077.806251945330.179.509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7 =245.3 =566.00 =9326 =20044823. 写出待求关系式：写出待求关系式：83