选修选修3-63-6三等分角与数域的扩充三等分角与数域的扩充一一.开课准备开课准备收集资料收集资料研读、研读、设计教案设计教案精疲力尽精疲力尽这是上课用这是上课用讲义资料讲义资料参考部分书目参考部分书目n兴趣是最好的老师n好奇心是学习的源动力定义出发定义出发从问题出发从问题出发二二. .教学策略教学策略三三. .课程内容概述课程内容概述n1 1个历史（个历史（尺规作图历史尺规作图历史）n2 2个人物（个人物（高斯和伽罗瓦高斯和伽罗瓦）n3 3个难题（个难题（尺规作图三大尺规作图三大难题难题）使用没有刻度标记的直尺，过给定的不同两点作一条直线；使用没有刻度标记的直尺，过给定的不同两点作一条直线；圆规，以给定点为圆心，任意长为半径作一个圆。圆规，以给定点为圆心，任意长为半径作一个圆。一个历史一个历史尺规作图的发展历史尺规作图的发展历史 n n史记卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩” n n.赵爽注周髀算经中有“禹治洪水，望山川之形，定高下之势，乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.n n墨子卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”n n孟子卷四中说“公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.n n古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.数学天才：数学天才：伽罗瓦伽罗瓦两个人物之一：伽罗瓦两个人物之一：伽罗瓦两个人物之一：伽罗瓦两个人物之一：伽罗瓦正正17边形的尺规作图问题边形的尺规作图问题-高斯高斯19岁时发现（我辈只能膜拜）岁时发现（我辈只能膜拜）两个人物之一：高斯两个人物之一：高斯倍立方体倍立方体：求作一个立方体的边，使该：求作一个立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍立方体的体积为给定立方体的两倍. .化圆为方化圆为方：求作一个正方形，使其面积：求作一个正方形，使其面积与一个给定的圆的面积相等与一个给定的圆的面积相等. .三等分角三等分角：求作一个角，使其等于给定：求作一个角，使其等于给定的角的三分之一的角的三分之一. .3.古希腊三大几何作图问题古希腊三大几何作图问题（四）对三等分角问题的分析（四）对三等分角问题的分析 n n方法一：阿基米德的作法；采取小组合作学习的采取小组合作学习的模式，在读懂阿基米模式，在读懂阿基米德三等分角作法的基德三等分角作法的基础上，制作实物模型础上，制作实物模型调查市场上的调查市场上的三等分角绘图仪三等分角绘图仪n n本实用新型涉及一种三等分本实用新型涉及一种三等分角绘图仪，其特征在于是由角绘图仪，其特征在于是由丁字尺、直角尺及辅助直尺丁字尺、直角尺及辅助直尺组成，丁字尺的尺头两端分组成，丁字尺的尺头两端分别设有一铰轴，丁字尺的尺别设有一铰轴，丁字尺的尺身工作边与两铰轴的轴心距身工作边与两铰轴的轴心距离的中点位于同一直线；直离的中点位于同一直线；直角尺竖直边上端铰接于丁字角尺竖直边上端铰接于丁字尺尺头一端的铰轴上，直角尺尺头一端的铰轴上，直角尺竖直边上从铰轴的轴心到尺竖直边上从铰轴的轴心到直角尺水平边底边缘的垂直直角尺水平边底边缘的垂直距离等于丁字尺的两铰轴的距离等于丁字尺的两铰轴的轴心距离的二分之一；辅助轴心距离的二分之一；辅助直尺铰接于尺头的另一铰轴直尺铰接于尺头的另一铰轴上，其工作边与铰轴轴心位上，其工作边与铰轴轴心位于同一直线。本实用新型的于同一直线。本实用新型的有益效果是：通过将丁字尺、有益效果是：通过将丁字尺、直尺及直角尺的巧妙组合，直尺及直角尺的巧妙组合，提供出一种无须计算、准确提供出一种无须计算、准确快速三等分任意角的绘图仪，快速三等分任意角的绘图仪，结构简单，操作容易，为平结构简单，操作容易，为平面几何制图带来方便。面几何制图带来方便。 发明设计人：赵建科专利代理机构：天津市三利有限责任专利代理事务所如何通过二分法近似作出三等分角如何通过二分法近似作出三等分角方法二：二分法；方法二：二分法；方法三n n和劳技课结合，根据上面的分析，让学生动手做一个三等分角的工具模型 用尺规作图能做什么线段？用尺规作图能做什么线段？ 用尺规作图能做什么线段？用尺规作图能做什么线段？因此，已知线段a、b，用尺规作图可以作出经过有理运算及开平方运算 表示的线段，进而，已知线段经过有限次运算（加减乘除和开平方）得到的新线段，都可以用尺规作图经过有限次作出. 用尺规作图能做什么线段？用尺规作图能做什么线段？ 用尺规作图能做什么线段？用尺规作图能做什么线段？可以作出圆的内接十边形可以作出圆的内接十边形问题的背景就是如何用尺规作图作出线段的黄金分割点问题的背景就是如何用尺规作图作出线段的黄金分割点尺规作图能作出什么样的实数n n引理1：设S1是包含1的已知的实数的集合。则由尺规作图可以作出S1中的任意两数的和差积商以及S1中任意正实数的平方根n n引理2：设S0是包含1的已知的实数的集合。X是任意实数，则由S0出发经过尺规作图可以作出x的充要条件是由S0中的数经过有限次的加减乘除和开平方运算可以得到xn n引理3：由已知数1出发，经过尺规作图可以作出所有的有理数对三等分角问题的分析对三等分角问题的分析实际上该方程没有有理根实际上该方程没有有理根需要给学生介绍复数的知识需要给学生介绍复数的知识