创新型、开放型问题 曾庆坤曾庆坤例例1.比较下面的两列算式结果的大小：比较下面的两列算式结果的大小：(在横线上填在横线上填“”、“ (2) (3) (4) = 结论：对于任意两个实数结论：对于任意两个实数a和和b，一定有，一定有 a2+b22ab证明：证明：(a-b)20， 即即a2-2ab+b20， a2+b22ab例例2.如图：已知如图：已知ABC为为 O的内接三角形，的内接三角形， O1过过C点与点与AC交点交点E，与，与 O交交于点于点D，连结，连结AD并延长与并延长与 O1交于点交于点F与与BC的延长的延长线交于点线交于点G，连结，连结EF,要使要使EFCG，ABC应满足应满足什么条件？请补充上你认什么条件？请补充上你认为缺少的条件后，证明为缺少的条件后，证明EFGC(要求补充的条件要求补充的条件要明确，但不能要明确，但不能 多余多余)分析：要使分析：要使EFGC，需知，需知FEC=ACB，但，但从图中可知从图中可知FEC=FDC，FDC=B，所，所以以FEC=B，故当，故当B=ACB时，可得证时，可得证EFGC要使要使EFGC，ABC应应满足满足AB=AC或或ABC=ACB证明：连结证明：连结DC，则，则FDC=FEC，FDC=B，FEC=B，B=ACB，FEC=ACB，EFGC例例3.如图：已知如图：已知 O1与与 O2相交于相交于A.B两点，经过两点，经过A点点的直线分别交的直线分别交 O1. O2于于C.D两点两点(D.C不与不与B重合重合).连连结结BD，过，过C点作点作BD的平行线交的平行线交 O1于点于点E，连结，连结BE(1)求证：求证：BE是是 O2的切线的切线(2)如图如图2，若两圆圆心在公，若两圆圆心在公共弦共弦AB的同侧，其他条件不的同侧，其他条件不变，判断变，判断BE与与 O2的位置关的位置关系系(不要求证明不要求证明)(3)若点若点C为劣弧为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结的中点，其他条件不变，连结AB.AE，AB与与CE交于点交于点F，如图，如图3 写出图中所有的写出图中所有的相似三角形相似三角形(不另外连线，不要求证明不另外连线，不要求证明)要证要证BE是是 O2的切线，需知的切线，需知EBO2=90，不妨过，不妨过B点作点作 O2的直径的直径BF交交 O2于于F点，点，则则BAF=90，即，即F+ABF=90，F=ADB，EBO2=EBA+ABF，要，要知知EBO2=90，需知，需知ABE=ADB，但，但ABE=ACE，由，由ECBD，得，得ACE=ADB，故，故ABE=ADB得证，从而知得证，从而知EBO2=90，因此，因此BE是是 O2的切线的切线证明：作直径证明：作直径BF交交 O2于于F ，连，连结结AB、AF，则，则BAF=90，即即F+ABF=90。F=ADB，ABF+ADB=90。ECBD，ACE=ADB，又又ACE=ABE，ABE=ADB，故，故ABF+ABE=90，即，即EBO2=90，EBBO2，EB是是 O2的切线的切线(2)分析：猜想分析：猜想EB与与 O2的关系的关系是相切的是相切的仍作仍作 O2的直径的直径BF，则，则FAB=90，同时，同时FAD+FBD=180，BAC+FBD=90。现只。现只需要得知需要得知FBE=90即可。由即可。由CEBD可知，可知，CEB+DBE=180，又，又，CEB=BAC，BAC+EBD=180，EBD-FBD=90，即，即FBE=90，故，故EB与与 O2是相是相切的切的证明：作证明：作 O2的直径的直径BF交交 O2于于F，则，则FAB=90且且FAD+FBD=180，BAD+FBD=90。但。但BAD=CEB，故，故CEB+FBD=90。CEDB，CEB+EBD=180，EBD-FBD=90，即，即FBE=90，EB是是 O2的切线的切线 证明证明ECDB，ACE=ADB，又，又ACE=ABE，ACE=ADB=ABE。C是劣弧是劣弧AB的中点，的中点，BAC=BEC=AEC，AFCABDEACEFB(3)若点若点C为劣弧为劣弧AB的中点，其他条件不变，的中点，其他条件不变，连结连结AB.AE，AB与与CE交于点交于点F，如图，如图3 写出写出图中所有的相似三角形图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求不另外连线，不要求证明）证明）例例4.如图直径为如图直径为13的的 O1经过原点经过原点O，并且与，并且与x轴、轴、y轴分别交于轴分别交于A、B两点，线段两点，线段OA、OB(OAOB)的长分别的长分别 是方程是方程x2+kx+60=0的两的两个根个根(1)求线段求线段OA、OB的长的长(2)已知点已知点C在劣弧在劣弧OA上，连结上，连结BC交交OA于于D，当，当OC2=CDCB时，时，求求C点的坐标点的坐标(3)在在 O1上是否存在点上是否存在点P， 使使SPOD=SABD？若存在，求出点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由(1)解：解：OA、OB是方是方程程x2+kx+60=0的两个根，的两个根，OA+OB=-k，OAOB=60OBOA，AB是是 O1的直径的直径OA2+OB2=132，又，又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OAOB，132=(-k)2-260 解解 之得：之得：k=17 OA+OB0，k9，所以假设错误，故这所以假设错误，故这样的点样的点P是不存在的是不存在的 分析：假设这样的点分析：假设这样的点P是存在的，是存在的，不妨设不妨设P(m，n)，则，则P到到x轴的距轴的距离可表示为离可表示为|n|，从已知中得知，从已知中得知P到到x轴的最大距离为轴的最大距离为9，所以，所以|n|9。又又SPOD=1/2OD|n|SABD=1/2ADOB,OD|n|=ADOB=(OA-OD)OB,即即OD|n|=(12-OD)5若能求出若能求出OD的长，就可得知的长，就可得知|n|。从而知从而知P点是否在点是否在 O1上由上由(2)知知OCDBCO，则，则从中可求出从中可求出OD的长的长在在 O1上不存在这样的上不存在这样的P点，点，使使SPOD=SABD。理由：假设在理由：假设在 O1上存在点上存在点P，使，使SPOD=SABD，不妨设，不妨设P(m，n)，则，则P到到x轴的距离轴的距离|n|9。由。由OCDBCO，得，得将将OB=5， 代入计算得代入计算得OD=10/3SABD=SPOD=65/3，即，即 |n|=139，P点不在点不在 O1上上故在故在 O1上不存在上不存在这样的点这样的点P。