基础知识基础知识一、函数的奇偶性一、函数的奇偶性1一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内每一个，如果对于定义域内每一个x，都有，都有f(x)，那么函数，那么函数f(x)就叫奇函数；都有就叫奇函数；都有f(x)，函数，函数f(x)叫偶函数，奇偶函数的定义域是叫偶函数，奇偶函数的定义域是(大前提大前提)f(x)f(x)关于原点对称的关于原点对称的2函数可分函数可分为(按奇偶性按奇偶性)：、任何一个定任何一个定义域域对称的非称的非奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)奇函数奇函数偶函数偶函数既奇既奇且偶函数且偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数3基本性基本性质：在公共定：在公共定义域上，两函数有：奇域上，两函数有：奇奇奇，偶，偶偶偶，奇，奇奇奇，偶，偶偶偶，奇，奇奇奇，偶，偶偶偶(分母不分母不为零零)奇函数的反函数是奇函数的反函数是 ，若奇函数的定，若奇函数的定义域包含域包含0时，则.4图象特征：奇函数象特征：奇函数图象关于象关于对称；偶函数称；偶函数图象关于象关于对称；反之亦然称；反之亦然奇奇偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶奇函数奇函数f(0)0原点原点y轴轴5判定方法：首先看函数的判定方法：首先看函数的，若，若对称，再看：称，再看：f(x)是奇函数是奇函数f(x)f(x)f(x)图象象对称；称；f(x)是偶函数是偶函数f(x)f(x)f(x) f(x)f(|x|)图象关于象关于对称称定义域是否关于原点定义域是否关于原点对称对称f(x)01(f(x)0)关于原点关于原点f(x)01(f(x)0)f(x)y轴轴6推广：推广：yf(ax)是偶函数是偶函数f(ax)f(x)f(x)关于关于对称；称；类似地，似地，f(ax)f(bx)f(x)关于关于x对称称yf(bx)是奇函数是奇函数f(bx)f(x)关于关于 成中心成中心对称称图形；形；类似地，似地，f(ax)f(bx)f(x)关于关于( ，0)中心中心对称称f(ax)f(2ax)xaf(bx)(b,0)7一些重要一些重要类型的奇偶函数：型的奇偶函数：函数函数f(x)axax为函数，函数函数，函数f(x)axax为 函函数；数；函数函数f(x)(a0且且a1)为函函数；数；函数函数f(x)loga为函数；函数；函数函数f(x)loga(x)为函数函数奇奇奇奇奇奇奇奇偶偶二、函数的周期性二、函数的周期性1对于函数对于函数f(x)，如果存在一个，如果存在一个常数常数T，使得当，使得当x取定义域内取定义域内的的值时，都有值时，都有，那么函数，那么函数f(x)叫做周期函数，非零叫做周期函数，非零常数常数T叫叫f(x)的的如果所有的周期中存在一个如果所有的周期中存在一个，那，那么这个么这个就叫就叫f(x)的最小正周期的最小正周期2周期函数周期函数有最小正周期，若有最小正周期，若T0是是f(x)的周期，则的周期，则kT(k Z，k0)也一定是也一定是f(x)的周期，周期函数的定义域无的周期，周期函数的定义域无界界非零非零每一个每一个f(xT)f(x)周期周期最小的正数最小的正数最小正数最小正数不一定不一定上、下上、下3设a为非零常数，若非零常数，若对f(x)定定义域内的任意域内的任意x，恒有下列条件之，恒有下列条件之一成立：一成立：f(xa)f(x)；f(xa)；f(xa)；f(xa)；f(xa)；f(xa)f(xa)，则f(x)是是函数，函数，是它的是它的一个周期一个周期(上述式子分母不上述式子分母不为零零)周期周期2a若若f(x)同同时关于关于xa与与xb对称称(a0)，则f( )_.解析：解析： f( )f()又又f()f(T)f( )故故f( )0.答案：答案：05(2009重庆，重庆，12)若若f(x)a是奇函数，则是奇函数，则a_.解析：解析： f(x)为奇函数，为奇函数， f(x)f(x)，答案：答案：【例【例1】判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性命题意图命题意图本题主要考查对函数奇偶性定义的理解本题主要考查对函数奇偶性定义的理解解答解答(1)由由0，得定义域为，得定义域为1,1)，不关于原点对称，故，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数(3)当当x0，则，则f(x)(x)2(x)x2xf(x)当当x0时，时，x1，f(3)a，则，则()Aa3Ca1解析解析 f(x5)f(x)， f(3)f(25)f(2)，又，又 f(x)为奇函为奇函数，数， f(2)f(2)，又，又f(2)1， a1，选择，选择C.答案答案C设f(x)是定是定义在在R上的奇函数，且上的奇函数，且yf(x)的的图象关于直象关于直线x对称，称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.解析：解析： f(x)在在R上为奇函数，上为奇函数， f(x)f(x)，且有，且有f(0)0.又又 yf(x)的图象关于的图象关于x对称，对称， f( x)f( x)，f(1x)f ( x)f ( x)f(x)f(x) f(2x)f(1x) f(2x)f(x) 函数的周期为函数的周期为2，且，且f(1)0. f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(1)f(0)f(1)f(0)f(1)0.答案：答案：0总结评述：总结评述：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性等函数性质本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性等函数性质.【例【例3】(2009朝阳模朝阳模拟)已知函数已知函数f(x)是定是定义域域为R的奇函数，且的奇函数，且它的它的图象关于直象关于直线x1对称称(1)求求f(0)的的值；(2)证明函数明函数f(x)是周期函数；是周期函数；(3)若若f(x)x(0x1)，求，求x R时，函数，函数f(x)的解析式，并画出的解析式，并画出满足足条件的函数条件的函数f(x)至少一个周期的至少一个周期的图象象解析解析(1)因因为函数函数f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以f(x)f(x)，又，又f(x)的的定定义域域为R，令，令x0，则f(0)f(0)，所以，所以f(0)0.(2)证明：因明：因为函数函数f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以f(x)f(x)又又f(x)关于直关于直线x1对称，所以称，所以f(x)f(2x)，即即f(x2)f(x)所以所以f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)所以所以f(x)是以是以4为周期的周期函数周期的周期函数. (3)解：解：设1x0，则0x1，所以，所以f(x)x，又，又f(x)f(x)，所以当所以当1x0时，f(x)x，即，即f(x)x.又因又因为f(0)0，所以当所以当1x1时，f(x)x.当当1x3时，3x1，则12x1，所以所以f(2x)2x，而，而f(x)关于直关于直线x1对称，称，所以所以f(2x)f(x)，所以，所以f(x)2x(1x3)，则f(x)则f(x)总结提示总结提示(1)若奇函数若奇函数f(x)在在x0处有定义，则处有定义，则f(0)0.(2)若函若函数数f(x)对定义域内的任意对定义域内的任意x都有都有f(ax)f(ax)，则函数，则函数f(x)的图的图象关于直线象关于直线xa对称，反之也成立对称，反之也成立函数函数f(x)的定的定义域域为Dx|x0，且，且满足足对于任意于任意x1、x2 D，有，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求求f(1)的的值；(2)判断判断f(x)的奇偶性并的奇偶性并证明；明；(3)如果如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且，且f(x)在在(0，)上是增上是增函数，求函数，求x的取的取值范范围解：解：(1)令令x1x21，有，有f(11)f(1)f(1)，解得，解得f(1)0.(2)令令x1x21，有，有f(1)(1)f(1)f(1)解得解得f(1)0.令令x11，x2x，有，有f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x) f(x)为偶函数为偶函数(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.又又 f(3x1)f(2x6)3即即f(3x1)(2x6)f(64)(*) f(x)在在(0，)上是增函数，上是增函数， (*)等价不等式等价不等式组或或即即或或 3x5或或总结评述：总结评述：这种利用函数满足某一等式，判断其奇偶性问题，主这种利用函数满足某一等式，判断其奇偶性问题，主要是利用取特殊值法，如本题中可令要是利用取特殊值法，如本题中可令x11，x2x，使式子中，使式子中出现出现f(x)与与f(x)，然后再一步步地考虑还需求，然后再一步步地考虑还需求f(1)，f(1)，仍然，仍然用取特殊值法求解抽象函数不等式，主要是利用函数的单调性用取特殊值法求解抽象函数不等式，主要是利用函数的单调性再结合函数其他性质脱去符号再结合函数其他性质脱去符号“f”1奇偶性是函数在定义域上的整体性质，因此讨论函数奇偶性首奇偶性是函数在定义域上的整体性质，因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原先要看其定义域函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，一个函数是奇点对称，一个函数是奇(偶偶)函数的充要条件是其函数图象关于原点函数的充要条件是其函数图象关于原点(y轴轴)对称对称2奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一，为了便于判断，奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变形式：有时需要将函数进行化简，或应用定义的变形式：f(x)f(x) 3解解题中要注意以下性中要注意以下性质的灵活运用：的灵活运用：(1)f(x)为偶函数偶函数f(x)f(|x|)；(2)若奇函数若奇函数f(x)在在x0处有定有定义，则f(0)0.4函数周期性函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常，并掌握一些常见的确定函数周期的条件的确定函数周期的条件 请同学们认真完成课后强化作业