第四章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)一元微分学英国数学家 Newton一、引例一、引例二、二、导数的定数的定义三、三、导数的几何意数的几何意义四、函数的可四、函数的可导性与性与连续性的关系性的关系五、五、单侧导数数第一节导数第一节导数机动目录上页下页返回结束导数的概念导数的概念 第四章 导数思想最早由法国数学家 Fermat 在研究极值问题中提出.一、一、 引例引例1. 变速直速直线运运动的速度的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动机机动目目录上上页下下页返回返回结束束 2. 曲曲线的切的切线斜率斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率机动目录上页下页返回结束两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动目录上页下页返回结束二、二、导数的定数的定义定定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可可导, 在点的导数数. 机动目录上页下页返回结束运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率说明明: 在经济学中, 边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.机动目录上页下页返回结束若上述极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意注意:就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .机动目录上页下页返回结束例例1. 求函数(C 为常数) 的导数. 解解:即例例2. 求函数解解:机动目录上页下页返回结束说明：明：对一般幂函数( 为常数) 例如，例如，（以后将证明）机动目录上页下页返回结束例例3. 求函数的导数. 解解:则即类似可证得机动目录上页下页返回结束例例4. 求函数的导数. 解解: 即或机动目录上页下页返回结束原式是否可按下述方法作:例例5. 证明函数在 x = 0 不可导. 证:不存在 , 例例6. 设存在, 求极限解解: 原式机动目录上页下页返回结束三、三、 导数的几何意数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点点;若切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的切切线方程方程:法法线方程方程:机动目录上页下页返回结束例例7. 问曲线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线平行 ? 写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1) , (1,1) 处与直线平行的切线方程分别为即故在原点 (0 , 0) 有垂直切线机动目录上页下页返回结束四、四、 函数的可函数的可导性与性与连续性的关系性的关系定理定理1.证: 设在点 x 处可导,存在 , 因此必有其中故所以函数在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可未必可导.反例反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.即机动目录上页下页返回结束在点的某个右右 邻域内五、五、 单侧导数数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x = 0 处有定定义2 . 设函数有定义,存在,机动目录上页下页返回结束定理定理2. 函数在点且存在简写为在点处右右 导数存在定理定理3. 函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在 , 则称显然:在闭区间 a , b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且机动目录上页下页返回结束内容小内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2. 增量比的极限;切线的斜率;机动目录上页下页返回结束思考与思考与练习1. 函数 在某点 处的导数区别:是函数 ,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系 ?？与导函数机动目录上页下页返回结束在 处连续, 且存在， 证明:在处可导.证：因为存在， 则有又在处连续,所以即在处可导.2. 设故机动目录上页下页返回结束备用用题 解解: 因为1. 设存在, 且求所以机动目录上页下页返回结束2. 设存在 , 则3. 已知则4. 若时, 恒有问是否在可导?解解: 由题设由夹逼准则故在可导, 且机动目录上页下页返回结束5. 设, 问 a 取何值时,在都存在 , 并求出解解:故时此时在都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 .机动目录上页下页返回结束第二节目录上页下页返回结束