第四章第四章曲线运动曲线运动万有引力定律与航天万有引力定律与航天第第1节节 曲线运动曲线运动 运动的合成与分解运动的合成与分解例例1.1.互成角度互成角度(0,180)(0,180)的一个匀速直的一个匀速直线运运动和一个匀和一个匀变速直速直线运运动的合运的合运动 ( ) ( )A A 有能有能够是直是直线运运动B B 一定是曲一定是曲线运运动C C 有能有能够是匀速运是匀速运动D D 一定是一定是变加速运加速运动【点【点拨】a合、合、v合的方向关系合的方向关系运运动轨迹迹a合的合的变化情况化情况运运动性性质【解析】互成角度的一个匀速直【解析】互成角度的一个匀速直线运运动与一个匀与一个匀变速直速直线运运动合成后，加速度不合成后，加速度不变是匀是匀变速运速运动，且，且合速度的方向与合加速度的方向不在一条直合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，上，故做曲故做曲线运运动，只需，只需选项B、D正确正确.【答案】【答案】BD1. 1. 一一质点在某段点在某段时间内做曲内做曲线运运动，那么在，那么在这段段时间内内( )( )A A 速度一定不断地改速度一定不断地改动，加速度也一定不断地改，加速度也一定不断地改动B B 速度一定不断地改速度一定不断地改动，加速度可以不，加速度可以不变C C 速度可以不速度可以不变，加速度一定不断地改，加速度一定不断地改动D. D. 速度可以不速度可以不变，加速度也可以不，加速度也可以不变【解析】【解析】质点做曲点做曲线运运动时，速度一定，速度一定发生生变化，但加速度化，但加速度不一定不一定变化如平抛运化如平抛运动. .所以所以选项A A、C C、D D错误，选项B B正确正确. .【答案】【答案】B B例例2.(20212.(2021聊城模聊城模拟) )在抗洪在抗洪抢险中，中，战士士驾驶冲冲锋舟救人，舟救人，假假设江岸是平直的，洪水沿江而下，水的流速江岸是平直的，洪水沿江而下，水的流速为5 m/s5 m/s，冲，冲锋舟在静水中的航速舟在静水中的航速为10 m/s10 m/s，战士救人的地点离岸士救人的地点离岸边最近点最近点的的间隔隔为50 m50 m，问：(1)(1)战士要想在最短的士要想在最短的时间将人送上岸，求最短将人送上岸，求最短时间为多多长? ? (2)(2)战士要想士要想经过最短的航程将人送上岸，冲最短的航程将人送上岸，冲锋舟的舟的驾驶员应将船将船头与江岸成多少角度与江岸成多少角度? ?(3)(3)假假设水的流速是水的流速是10 m/s10 m/s，而船的航速，而船的航速( (静水中静水中) )为5 m/s5 m/s，战士想士想经过最短的最短的间隔将人送上岸，求隔将人送上岸，求这个最短的个最短的间隔隔【点【点拨】(1)不不论水流速度多大，船身垂直于江岸开水流速度多大，船身垂直于江岸开动时，渡河渡河时间最短最短(2)当当v1v2时，合运，合运动方向与船身垂直方向与船身垂直时，航程最短，航程最短【解析】【解析】(1)(1)根据运根据运动的独立性可知，当冲的独立性可知，当冲锋舟垂直于江岸舟垂直于江岸时，时间最短，最短，设船在静水中的速度船在静水中的速度为v2,v2,水速水速为v1,v1,最短的最短的时间为t=d/v2=5 s.t=d/v2=5 s.(2)(2)当合速度的方向垂直于江岸当合速度的方向垂直于江岸时，战士到达江岸的士到达江岸的过程航程最程航程最短，船短，船头必需斜向上，必需斜向上，设与江岸的与江岸的夹角角为，如，如图甲所示，甲所示，那么那么cos =v1/v2=0.5cos =v1/v2=0.5，=60.=60.(3)(3)在在v1v2v1v2的条件下，船只能斜向下游到江岸，此的条件下，船只能斜向下游到江岸，此时v2v2能能够的的方向如方向如图乙所示，乙所示，v v合与合与v2v2垂直垂直时角最大，位移最短，角最大，位移最短，此此时sin =v2/v1=0.5sin =v2/v1=0.5，那么，那么=30=30，最短最短间隔隔为x=d/sin 30=100 m.x=d/sin 30=100 m.2. 2. 某人横渡一河流，船划行速度和水流某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人速度一定，此人过河最短河最短时间为T1T1；假；假设此船用最短的位移此船用最短的位移过河，那么河，那么过河河时间为T2T2，假，假设船速大于水速，那么船速与水速之比船速大于水速，那么船速与水速之比为 ( )( )【解析】【解析】设船速船速为v1v1，水速，水速为v2v2，河，河宽为d d，那，那么由么由题意可知：意可知：T1=d/v1T1=d/v1当此人用最短位移当此人用最短位移过河河时，即合速度，即合速度v v合方向合方向应垂直于河岸，如下垂直于河岸，如下图， 联立立可得：可得： ，进一步得一步得 , ,应选A.A.【答案】【答案】A A例例. .如下如下图，人用，人用绳子子经过定滑定滑轮以不以不变的速度的速度v0v0拉程度面拉程度面上的物体上的物体A A，当，当绳与程度方向成与程度方向成角角时，求物体，求物体A A的速度的速度. .【错解】解】v0v0可分解可分解为程度分速度和程度分速度和竖直分速度，其程直分速度，其程度分速度度分速度为物体物体A A的速度，故的速度，故vA=v0cos .vA=v0cos .【分析】没有分清物体的合速度与分速度【分析】没有分清物体的合速度与分速度, ,物体的合运物体的合运动是物体的是物体的实践运践运动. .【正解】此【正解】此题可采用以下两种方法可采用以下两种方法. .分解法：解答此分解法：解答此题的关的关键是正确地是正确地找出物体找出物体A A的两个分运的两个分运动. .物体物体A A的运的运动( (即即绳的末端的运的末端的运动) )可看做两个分可看做两个分运运动的合成：一是沿的合成：一是沿绳的方向被的方向被牵引，引，绳长缩短，短，绳长缩短的速度短的速度v1=v0v1=v0；二是随着；二是随着绳以定滑以定滑轮为圆心心的的摆动，它不改，它不改动绳长，只改，只改动角角度度的的值. .这样就可以按就可以按图示方向示方向进展分解展分解. .所以所以v1v1及及v2v2实践上就是践上就是vAvA的的两个分速度，如两个分速度，如图甲所示，由此可甲所示，由此可得得vA=v1/cos =v0/cos .vA=v1/cos =v0/cos .微元法：物体在微元法：物体在该位置的速率即位置的速率即为瞬瞬时速率，需从速率，需从该时辰起取一小段辰起取一小段时间来求它的平均速度的大小，当来求它的平均速度的大小，当这一小一小段段时间趋于零于零时，该平均速度的大小平均速度的大小就就为所求速率所求速率. .设物体在物体在角位置角位置经tt时间向左挪向左挪动xx间隔，滑隔，滑轮右右侧的的绳长缩短短LL，如如图乙所示，当乙所示，当绳与程度方向的角度与程度方向的角度变化很小化很小时，ABCABC可近似看做不断角可近似看做不断角三角形，因此有三角形，因此有L=xcos L=xcos ，两，两边同同时除以除以tt得得Lt=xtcos .Lt=xtcos .即收即收绳速率速率v0=vA/cos v0=vA/cos ，因此物体，因此物体的速率的速率为vA=v0/cos .vA=v0/cos .第第2节节 平抛运动及其运用平抛运动及其运用例例.(2021.(2021福建福建)(15)(15分分) )如下如下图，射，射击枪程度放置，射程度放置，射击枪与与目的靶中心位于离地面足目的靶中心位于离地面足够高的同一程度高的同一程度线上，上，枪口与目口与目的靶之的靶之间的的间隔隔s=100 ms=100 m，子，子弹射出的程度速度射出的程度速度v=200 m/sv=200 m/s，子，子弹从从枪口射出的瞬口射出的瞬间目的靶由静止开目的靶由静止开场释放，不放，不计空空气阻力，取重力加速度气阻力，取重力加速度g g为10 m/s210 m/s2，求：，求：(1)(1)从子从子弹由由枪口射出开口射出开场计时，经多多长时间子子弹击中目的中目的靶？靶？(2)(2)目的靶由静止开目的靶由静止开场释放到被子放到被子弹击中，下落的中，下落的间隔隔h h为多多少？少？【点【点拨】(1)(1)把子把子弹的平抛运的平抛运动分解分解为程度和程度和竖直方向上直方向上的直的直线运运动. .(2)(2)对比子比子弹与靶运与靶运动的异同得出的异同得出击中中时间由子由子弹的程度的程度运运动决决议. .【解析】【解析】总分分值展展现：此此题调查平抛运平抛运动的知的知识. .(1)(1)子子弹做平抛运做平抛运动，它在程度方向的分运，它在程度方向的分运动是匀速直是匀速直线运运动，设子子弹经过时间t t击中目的靶，那么中目的靶，那么t=s/v 5t=s/v 5分分代入数据得代入数据得t=0.5 s 2t=0.5 s 2分分(2)(2)目的靶做自在落体运目的靶做自在落体运动，那么，那么h=1/2gt2 5h=1/2gt2 5分分代入数据得代入数据得h=1.25 m 3h=1.25 m 3分分1. 1. 如下如下图，在，在倾角角为3737的斜面底端的正上方的斜面底端的正上方H H处，平抛一小，平抛一小球，球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度的初速度. .【解析】小球程度位移【解析】小球程度位移为x=v0t,x=v0t,竖直位移直位移为y=1/2gt2,y=1/2gt2,由由题图可知，可知，tan 37=(H-1/2gt2)/v0ttan 37=(H-1/2gt2)/v0t，又又tan 37=v0/gttan 37=v0/gt分解速度，消去分解速度，消去t t解之得：解之得：v0=0.73(gH)1/2.v0=0.73(gH)1/2.例例2.2.如下如下图，光滑斜面，光滑斜面长为a a，宽为b b，倾角角为.一物一物块从斜面上方从斜面上方顶点点P P程度射入，而从右下方的点程度射入，而从右下方的点Q Q分开斜面，分开斜面，求物求物块入射的初速度入射的初速度. .【点【点拨】根据物体的受力与初速度，把此运】根据物体的受力与初速度，把此运动分解分解为程程度方向与沿斜面向下两个方向上的直度方向与沿斜面向下两个方向上的直线运运动，这是解答是解答此此题的关的关键. .【解析】物体在光滑斜面上只受重力和斜面【解析】物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持物体的支持力，因此物体遭到的合力大小力，因此物体遭到的合力大小为F Fmgsin mgsin ，方向沿斜，方向沿斜面向下面向下. .根据牛根据牛顿第二定律，那么物体沿斜面方向的加速度第二定律，那么物体沿斜面方向的加速度应为a a物物=F/m=gsin =F/m=gsin ，又由于物体的初速度与，又由于物体的初速度与a a垂直，所以物垂直，所以物体的运体的运动可分解可分解为两个方向的运两个方向的运动，即程度方向是速度，即程度方向是速度为v0v0的匀速直的匀速直线运运动，沿斜面向下的是初速度，沿斜面向下的是初速度为零的匀加速零的匀加速直直线运运动. .因此在程度方向上有因此在程度方向上有a=v0ta=v0t，沿斜面向下的方向上有，沿斜面向下的方向上有b b1/2a1/2a物物t2t2；故；故v0=at=a(gsin /2b)1/2.v0=at=a(gsin /2b)1/2.2. 2. 在离地面高在离地面高为h h，离，离竖直光滑直光滑墙的程度的程度间隔隔为s1s1处，有一，有一小球以小球以v0v0的速度向的速度向墙程度抛出，如下程度抛出，如下图. .小球与小球与墙碰撞后落地，碰撞后落地，不不计碰撞碰撞过程中的能量程中的能量损失，也不思索碰撞的失，也不思索碰撞的时间，那么落，那么落地点到地点到墙的的间隔隔s2s2为多少？多少？【解析】小球撞【解析】小球撞墙的速度的速度v v斜向下，其程度分量斜向下，其程度分量为v0v0，如下，如下图，由于碰撞无能量，由于碰撞无能量损失，故碰撞后小球的速度大小不失，故碰撞后小球的速度大小不变，vv与与v v关于关于墙面面对称，故称，故vv的程度分量仍的程度分量仍为v0v0，故，故s2s2等于等于小球没有撞小球没有撞墙时的程度位移的程度位移s2s2，所以，所以s2s2s ss1s1，s s为平抛平抛运运动的整个位移，由的整个位移，由s=v0ts=v0t，h=1/2gt2,h=1/2gt2,可得可得s=v0(2h/g)1/2s=v0(2h/g)1/2，那么，那么s2=v0(2hg)1/2-s1.s2=v0(2hg)1/2-s1.例例. .如下如下图，ABAB为斜面，斜面，倾角角为3030，小球从，小球从A A点以初速度点以初速度v0v0程度程度抛出，恰好落到抛出，恰好落到B B点点. .求：求：(1)AB(1)AB间的的间隔隔. .(2)(2)物体在空中物体在空中飞行的行的时间. .(3)(3)从抛出开从抛出开场经多少多少时间小球与小球与斜面斜面间的的间隔最大隔最大? ?【错解】小球在解】小球在B B点的速度方向与程度方向点的速度方向与程度方向夹角角为3030，得，得vy=v0sin 30=gtvy=v0sin 30=gt，可得，可得飞行行时间t=v02g.t=v02g.由平抛运由平抛运动得得x=v0t=v20/2g,y=1/2gt2=v20/8gx=v0t=v20/2g,y=1/2gt2=v20/8g，ABAB间间隔隔s=(x2+y2)1/2=(v20/2g)2+(v20/8g)21/2=v20/8g(17)1/2.s=(x2+y2)1/2=(v20/2g)2+(v20/8g)21/2=v20/8g(17)1/2.求求(3)(3)中中时间方法一：将方法一：将v0v0和重力加速度和重力加速度g g沿平行于斜面和垂直沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解于斜面方向正交分解, ,如如图甲所示甲所示. .那么当物体在垂直于斜面方向速度那么当物体在垂直于斜面方向速度为零零时与斜面与斜面间隔最大，隔最大，即即v0sin 30-gcos 30t=0v0sin 30-gcos 30t=0，所以，所以t=(3)1/2v0/3g.t=(3)1/2v0/3g.方法二：当平抛运方法二：当平抛运动的速度与斜面平行的速度与斜面平行时，物体离斜面最，物体离斜面最远，如，如图乙所示乙所示. .那么那么v=v0tan 30=gt,t=v0tan v=v0tan 30=gt,t=v0tan 30/g=(3)1/2v0/3g.30/g=(3)1/2v0/3g.【正解】【正解】(1)(1)、(2)(2)中，由小球落在中，由小球落在B B点点时其位移其位移与程度方向与程度方向夹角角为3030，得得1/2gt21/2gt2lABsin 30 lABsin 30 v0t=lABcos 30 v0t=lABcos 30 解得解得t=2v0tan 30/gt=2v0tan 30/g2gv0/(3)1/2,2gv0/(3)1/2,lAB=v0/tcos 30=4v20/3g.lAB=v0/tcos 30=4v20/3g.(3)(3)该问解答正确解答正确, ,见上面解析上面解析. .第第3节节 圆周运动及其运用圆周运动及其运用例例1.1.如下如下图，一种向自行，一种向自行车车灯供灯供电的小的小发电机的上端有机的上端有一半径一半径r0=1.0 cmr0=1.0 cm的摩擦小的摩擦小轮，小，小轮与自行与自行车车轮的的边缘接接触触. .当当车轮转动时，因摩擦而，因摩擦而带动小小轮转动，从而，从而为发电机机提供提供动力力. .自行自行车车轮的半径的半径R1=35 cmR1=35 cm，小，小齿轮的半径的半径R2=4.0 cmR2=4.0 cm，大，大齿轮的半径的半径R3=10.0 cm.R3=10.0 cm.求大求大齿轮的的转速速n1n1和摩擦小和摩擦小轮的的转速速n2n2之比之比.(.(假定摩擦小假定摩擦小轮与自行与自行车车轮之之间无相无相对滑滑动) )【点【点拨】(1)(1)大小大小齿轮间、摩擦小、摩擦小轮和和车轮之之间和皮和皮带传动原理一原理一样，即，即线速度大小一速度大小一样. .(2)(2)小小齿轮和和车轮同同轴转动角速度一角速度一样. .【解析】大小【解析】大小齿轮间、摩擦小、摩擦小轮和和车轮之之间和皮和皮带传动原理一原理一样，即两，即两轮边缘各点的各点的线速度大小相等速度大小相等. .由由v=2nrv=2nr可知在可知在v v不不变时，转速速n n和半径和半径r r成反比；小成反比；小齿轮和和车轮同同轴转动，两，两轮上各点的上各点的转速一速一样. .由由这三次三次传动可以找出大可以找出大齿轮和摩擦小和摩擦小轮间的的转速关系：速关系：2n11035/4=2n21,2n11035/4=2n21,可得可得n1n2=2175.n1n2=2175.1. 1. 如下如下图，A A、B B是两个是两个圆盘，它，它们能能绕共同的共同的轴以一以一样的的角速度角速度转动，两，两盘相距相距为L.L.有一有一颗子子弹以一定速度垂直以一定速度垂直盘面面射向射向A A盘后又穿后又穿过B B盘，子，子弹分分别在在A A、B B盘上留下的上留下的弹孔所在孔所在的半径之的半径之间的的夹角角为.现测得得转轴的的转速速为n r/minn r/min，求子，求子弹飞行的速度行的速度.(.(设在子在子弹穿穿过A A、B B两两盘过程中，两程中，两盘转动均均未超越一周未超越一周) )【解析】子【解析】子弹从从A A盘穿至穿至B B盘，圆盘转过的角度的角度为.由于由于转轴的的转速速为n r/minn r/min，所以，所以圆盘转动角速度角速度=2n/60 =2n/60 rad/s=n/30 rad/s,rad/s=n/30 rad/s,子子弹在在A A、B B盘间运运动的的时间等于等于圆盘转过角所用的角所用的时间，故，故t=/=30/n s,t=/=30/n s,所以子所以子弹的的飞行速度行速度为v=L/t=nL/30 m/s.v=L/t=nL/30 m/s.例例2.2.如下如下图，用，用细绳一端系着的一端系着的质量量为M=0.6 kgM=0.6 kg的物体的物体A A静止在程度静止在程度转盘上，上，细绳另一端另一端经过转盘中心的光滑小中心的光滑小孔孔O O吊着吊着质量量为m=0.3 kgm=0.3 kg的小球的小球B B，A A的重心到的重心到O O点的点的间隔隔为0.2 m0.2 m假假设A A与与转盘间的最大静摩擦力的最大静摩擦力为Ff=2 NFf=2 N，为使小球使小球B B坚持静止，求持静止，求转环绕中心中心O O旋旋转的角速度的角速度的取的取值范范围( (取取g=10 m/s2).g=10 m/s2).【点【点拨】(1)(1)正确分析物体正确分析物体A A、B B的运的运动形状形状. .(2)(2)正确分析物体正确分析物体A A向心力的来源向心力的来源. .(3)(3)正确分析角速度最大、最小正确分析角速度最大、最小时物体物体A A的受力情况的受力情况. .【解析】要使【解析】要使B B静止，静止，A A必需相必需相对于于转盘静止，即具有与静止，即具有与转盘一一样的角速度的角速度A A需求的向心力由需求的向心力由绳拉力和静摩擦力提供拉力和静摩擦力提供. .角速度取最大角速度取最大值时，A A有离心有离心趋势，静摩擦力指向，静摩擦力指向圆心心O O；角速度取最小角速度取最小值时，A A有向心运有向心运动的的趋势，静摩擦力背叛，静摩擦力背叛圆心心O O对于于B B，FT=mg,FT=mg,对于于A A，角速度取最大，角速度取最大值时有有FT+Ff=Mr21,FT+Ff=Mr21,解得解得1=6.5 rad/s.1=6.5 rad/s.角速度取最小角速度取最小值时有有FT-Ff=Mr22,FT-Ff=Mr22,解得解得2=2.9 rad/s.2=2.9 rad/s.所以所以2.9 rad/s6.5 rad/s.2.9 rad/s6.5 rad/s.2. 2. 如下如下图，在匀速，在匀速转动的的圆筒内壁上，有一筒内壁上，有一物体随物体随圆筒一同筒一同转动而未滑而未滑动. .当当圆筒的角速筒的角速度增大以后，以下度增大以后，以下说法正确的法正确的选项是是 ( ( ) )A. A. 物体所受物体所受弹力增大，摩擦力也增大了力增大，摩擦力也增大了B. B. 物体所受物体所受弹力增大，摩擦力减小了力增大，摩擦力减小了C. C. 物体所受物体所受弹力和摩擦力都减小了力和摩擦力都减小了D. D. 物体所受物体所受弹力增大，摩擦力不力增大，摩擦力不变 【解析】物体受重力、【解析】物体受重力、弹力、摩擦力三个力的作用，其中力、摩擦力三个力的作用，其中重力和摩擦力平衡，两者大小相等重力和摩擦力平衡，两者大小相等, ,弹力指向力指向圆心提供向心心提供向心力，有力，有FN=m2r,FN=m2r,故故弹力随角速度的增大而增大力随角速度的增大而增大. .故故D D正确正确. .【答案】【答案】D D例例3.(20213.(2021潍坊模坊模拟) )游游乐场的的过山山车的运的运动过程可以程可以笼统为如下如下图模型模型. .弧形弧形轨道下端与道下端与圆轨道相接，使小球从弧形道相接，使小球从弧形轨道上端道上端A A点静止滑下，点静止滑下，进入入圆轨道后沿道后沿圆轨道运道运动，最后分，最后分开开. .试分析分析A A点离地面的高度点离地面的高度h h至少要多大，小球才可以至少要多大，小球才可以顺利利经过圆轨道最高点道最高点( (知知圆轨道的半径道的半径为R R，不思索摩擦等阻力，不思索摩擦等阻力).).【点【点拨】确定】确定临界条件界条件求出最高点的速度求出最高点的速度根据机械根据机械能守恒能守恒求出求出A A点最小高度点最小高度【解析】由机械能守恒定律得：【解析】由机械能守恒定律得：mghmgh2mgR2mgR1/2mv2 1/2mv2 在在圆轨道最高道最高处：mgmgmv20/R mv20/R v vv0 v0 由由可得可得h h5R/2.5R/2.3. 3. 如下如下图，细杆的一端与一小球相杆的一端与一小球相连，可可绕过O O点的程度点的程度轴自在自在转动. .现给小球小球一初速度使它做一初速度使它做圆周运周运动，图中中a a、b b分分别表示小球表示小球轨道的最低点和最高点，那道的最低点和最高点，那么杆么杆对球的作用力能球的作用力能够是是( )( )A.aA.a处为拉力，拉力，b b处为拉力拉力B.aB.a处为拉力，拉力，b b处为推力推力C.aC.a处为推力，推力，b b处为拉力拉力D.aD.a处为推力，推力，b b处为推力推力【解析】小球在【解析】小球在竖直平面内做直平面内做圆周运周运动，在最低点，在最低点时，小，小球受力除重力外，球受力除重力外，还受杆的作用力，只需杆受杆的作用力，只需杆对小球向上拉小球向上拉时，小球才干，小球才干绕O O点做点做圆周运周运动，故杆，故杆对小球只能是拉力小球只能是拉力. .小球在最高点的速度大小不能确定，由前面分析可知，杆小球在最高点的速度大小不能确定，由前面分析可知，杆对小球能小球能够是向下的拉力，也能是向下的拉力，也能够是向上的推力，故是向上的推力，故A A、B B正确正确. .【答案】【答案】ABAB例例. .如下如下图，某，某圆筒筒绕中心中心轴线沿沿顺时针方向做匀速方向做匀速圆周周运运动，筒壁上有两个位于同一，筒壁上有两个位于同一圆平面内的小孔平面内的小孔A A、B B，A A、B B与与轴的垂直的垂直连线之之间的的夹角角为，一，一质点点( (质量不量不计) )在在某某时辰沿辰沿A A孔所在直径方向匀速射入孔所在直径方向匀速射入圆筒，恰从筒，恰从B B孔穿出，孔穿出，假假设质点匀速运点匀速运动的速度的速度为v v，圆筒半径筒半径为R R求求圆筒筒转动的角速度的角速度. .【错解】解】圆筒筒转过的角度的角度为=+=+对圆筒有筒有=t=t，对质点有点有2R=vt2R=vt，解得解得=+v/2Rv/2R【分析】【分析】对于此于此类问题，往往涉及多解，故答案不独一，往往涉及多解，故答案不独一. .【正解】由于【正解】由于圆周运周运动的周期性，的周期性，圆筒筒转过的角度能的角度能够为=+2n(n=+2n(n0,10,1，2)2)对圆筒有筒有=t=t对质点点有有2R=vt2R=vt解得：解得：=(2n+1)+ v/2R (n=(2n+1)+ v/2R (n0,10,1，2)2)【答案】【答案】 =(2n+1)+ v/2R (n =(2n+1)+ v/2R (n0,10,1，2)2)第第4节节 万有引力与航天万有引力与航天例例1.1.某行星自某行星自转周期周期T0=8 hT0=8 h，假，假设用一用一弹簧簧测力力计去丈量去丈量同一物体的重力，同一物体的重力，结果在行星赤道上比它在两极果在行星赤道上比它在两极处小小9%.9%.想象想象该行星自行星自转角速度加快角速度加快, ,在赤道上的物体将完全失重在赤道上的物体将完全失重. .那么此行星自那么此行星自转周期多大周期多大?(?(行星看做行星看做规范球体范球体) )【点【点拨】(1)(1)在赤道上万有引力等于重力和向心力之和在赤道上万有引力等于重力和向心力之和. .(2)(2)在两极万有引力等于重力在两极万有引力等于重力. .3 3在赤道和两极万有引力相等在赤道和两极万有引力相等. .【解析】在赤道上称的示数【解析】在赤道上称的示数: : F=GmM/R2-mR42/T20 F=GmM/R2-mR42/T20 在两极上称的示数在两极上称的示数:F=GmM/R2 :F=GmM/R2 且有且有F(1-9%)=F F(1-9%)=F 加快后周期加快后周期为T T，那么：，那么：GmM/R2=mR42/T2 GmM/R2=mR42/T2 由由得：得：T=0.3T0=2.4 h.T=0.3T0=2.4 h.1. (20211. (2021江江苏) )英国英国 (New Scientist)杂志志评选出了出了20192019年度世界年度世界8 8项科学之最，在科学之最，在XTEJ1650XTEJ1650500500双星双星系系统中中发现的最小黑洞位列其中，假的最小黑洞位列其中，假设某黑洞的半径某黑洞的半径R R约45 45 kmkm，质量量M M和半径和半径R R的关系的关系满足足M/R=c2/2G(M/R=c2/2G(其中其中c c为光速，光速，G G为引力常量引力常量) )，那么，那么该黑洞外表重力加速度的数量黑洞外表重力加速度的数量级为 ( ) ( )A. 108 m/s2 B. 1010 m/s2A. 108 m/s2 B. 1010 m/s2C. 1012 m/s2 D. 1014 m/s2C. 1012 m/s2 D. 1014 m/s2【解析】【解析】对黑洞外表的某一黑洞外表的某一质量量为m m物体，有物体，有GMm/R2=mgGMm/R2=mg，又有，又有MR=c2/2GMR=c2/2G，联立解得立解得g=c2/2Rg=c2/2R，代入数据得重力，代入数据得重力加速度的数量加速度的数量级为1012 m/s21012 m/s2，故，故C C正确正确. .【答案】【答案】C C例例1.(20211.(2021北京北京) )知地球半径知地球半径为R R，地球外表重力加速度，地球外表重力加速度为g g，不思索地球自，不思索地球自转的影响的影响. .(1)(1)推推导第一宇宙速度第一宇宙速度v1v1的表达式的表达式. .(2)(2)假假设卫星星绕地球做匀速地球做匀速圆周运周运动，运，运转轨道道间隔地面隔地面高度高度为h h，求，求卫星的运星的运转周期周期T.T.【点【点拨】(1)(1)第一宇宙速度是近地第一宇宙速度是近地卫星的星的环绕速度速度. .(2)(2)万有引力提供万有引力提供卫星做星做圆周运周运动的向心力的向心力. .(3)(3)运用黄金代运用黄金代换式式. .【解析】【解析】1 1设卫星的星的质量量为m,m,地球的地球的质量量为M,M,在地球外在地球外表附近表附近满足足GMm/R2=mg,GMm/R2=mg,得得GM=R2g GM=R2g 卫星做星做圆周运周运动的向心力等于它遭到的万有引力的向心力等于它遭到的万有引力即即mv21R=GMm/R2 mv21R=GMm/R2 将将式代入式代入式得到式得到v1=(Rg)1/2.v1=(Rg)1/2.2 2卫星遭到的万有引力星遭到的万有引力为F=GMm/(R+h)2=mgR2/(R+h)2F=GMm/(R+h)2=mgR2/(R+h)2由牛由牛顿第二定律第二定律F=m42(R+h)/ T2 F=m42(R+h)/ T2 联立立解得解得T=2/R(R+h)3/g1/2.T=2/R(R+h)3/g1/2.2. 20192. 2019年北京年北京时间1111月月7 7日早上日早上8 8时3434分，分，总分量达分量达2 300 2 300 kgkg的探月的探月卫星星“嫦娥一号嫦娥一号胜利利实施第三次近月制施第三次近月制动，进入入周期周期为127127分分钟圆形越极形越极轨道道经过调整后的整后的127127分分钟圆形越形越极极轨道将是道将是“嫦娥一号的最嫦娥一号的最终任任务轨道，道，这条条轨道道间隔月隔月面面200 km200 km高度，高度，经过月球的南北极上空由于月球的自月球的南北极上空由于月球的自转作作用，用，处于越极于越极轨道的道的“嫦娥一号可以完成包括月球南北极、嫦娥一号可以完成包括月球南北极、月球反面的全月探月球反面的全月探测任任务知月球半径知月球半径为1 738 km1 738 km，引力常，引力常量量G=6.6710-11 Nm2/kg2G=6.6710-11 Nm2/kg2由上述由上述资料根据所学的物理料根据所学的物理知知识可以估算出可以估算出 ( ) ( )A. A. 月球的月球的质量量 B. B. 月球的密度月球的密度C. C. 月球自月球自转的周期的周期 D. D. 月球外表的重力加速度月球外表的重力加速度【解析】根据【解析】根据GMm/(R+H)2=m(2T)2GMm/(R+H)2=m(2T)2R+HR+H，可得，可得M=1/G(2/T)2(R+H)3M=1/G(2/T)2(R+H)3，可知，可知A A正确；在距月球的外表上正确；在距月球的外表上时，有有m(2/T)2(R+H)=mgm(2/T)2(R+H)=mg，可得，可得g=(2/T)2(R+H)g=(2/T)2(R+H)，即是距月，即是距月球外表球外表200 km200 km处的重力加速度，再由的重力加速度，再由g/g0=GM/(R+H)2/GM/R2g/g0=GM/(R+H)2/GM/R2可求得地面可求得地面处的重力加速度的重力加速度g0.g0.可知可知D D正确；由正确；由=3=3R+HR+H3/GT2R33/GT2R3，可知，可知B B正确正确. .【答案】【答案】ABDABD例例3.3.如下如下图，某次，某次发射同步射同步卫星星时，先，先进入一个近地的入一个近地的圆轨道，然后在道，然后在P P点点火加速，点点火加速，进入入椭圆形形转移移轨道道( (该椭圆轨道的近地点道的近地点为近地近地圆轨道上的道上的P P，远地点地点为同步同步轨道上的道上的Q)Q)，到达，到达远地点地点时再次自再次自动点火加速并点火加速并进入同入同步步轨道道. .设卫星在近地星在近地圆轨道上运道上运转的速率的速率为v1v1，在，在P P点点短短时间加速后的速率加速后的速率为v2v2，沿，沿转移移轨道道刚到达到达远地点地点Q Q时的速率的速率为v3v3，在，在Q Q点短点短时间加速后加速后进入同步入同步轨道后的道后的速率速率为v4.v4.试比比较v1v1、v2v2、v3v3、v4v4的大小，并从大到小的大小，并从大到小将它将它们陈列起来列起来 . .【点【点拨】GMm/r2=mv2/rGMm/r2=mv2/r比比较v1v1、v4v4变轨的知的知识比比较v2v2和和v1v1、v4v4和和v3v3【解析】根据【解析】根据题意在意在P P、Q Q两点点火加速两点点火加速过程中，程中，卫星速度星速度将增大，故有将增大，故有v2v1v2v1、v4v3v4v3，而，而v1v1、v4v4是是绕地球做匀速地球做匀速圆周运周运动的人造的人造卫星的星的线速度，由于它速度，由于它们对应的的轨道半径道半径r1r4r1v4.v1v4.把以上不等式把以上不等式衔接起来，可得到接起来，可得到结论：v2v1v4v3.v2v1v4v3.卫星沿星沿椭圆轨道由道由P P向向Q Q运运转时，由于只需，由于只需重力做重力做负功，功，卫星机械能守恒，其重力星机械能守恒，其重力势能逐能逐渐增大，增大，动能逐能逐渐减小，因此有减小，因此有v2v3v2v3【答案】【答案】v2v1v4v3v2v1v4v33. 3. 据据报道，我国数据中道，我国数据中继卫星星“天天链一号一号0101星于星于20192019年年4 4月月2525日在西昌日在西昌卫星星发射中心射中心发射升空，射升空，经过4 4次次变轨控制后，于控制后，于5 5月月1 1日日胜利定点在利定点在东经7777赤道上空的同步赤道上空的同步轨道道. .关于关于胜利定点利定点后的后的“天天链一号一号0101星，以下星，以下说法正确的法正确的选项是是 ( ( ) )A. A. 运运转速度大于速度大于7.9 km/s7.9 km/sB. B. 离地面高度一定、相离地面高度一定、相对地面静止地面静止C. C. 卫星运星运转的角速度比月球的角速度比月球绕地球运地球运转的角速度大的角速度大D. D. 向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等【解析】由万有引力提供向心力得【解析】由万有引力提供向心力得GMm/r2=mv2/r,v=(GM/r)1/2GMm/r2=mv2/r,v=(GM/r)1/2，即，即线速度速度v v随随轨道半径道半径r r的增大的增大而减小，而减小，v=7.9 km/sv=7.9 km/s为第一宇宙速度即第一宇宙速度即围绕地球外表运地球外表运转的的速度；因同步速度；因同步卫星星轨道半径比地球半径大很多，因此其道半径比地球半径大很多，因此其线速速度度应小于小于7.9 km/s7.9 km/s，故，故A A错误；因同步；因同步卫星与地球自星与地球自转同步，同步，即即T T、一一样，因此其相，因此其相对地面静止，由公式地面静止，由公式GMm/(R+h)2=m(R+h)2GMm/(R+h)2=m(R+h)2，得，得h=(GM/2)1/3-R,h=(GM/2)1/3-R,因因G G、M M、R R均均为定定值，因此，因此h h一定一定为定定值，故，故B B正确；因同步正确；因同步卫星周期星周期T T同同=24=24小小时，因同步，因同步卫星周期星周期T T同同=24=24小小时，月球，月球绕地球地球转动周期周期T T月月=30=30天，即天，即T T同同T月，月，故故C C对；同步；同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，由公式由公式a a向向=r2=r2，可得：，可得：a a同同a a物物=(R+h)/R=(R+h)/R，因，因轨道半径不同，道半径不同，故其向心加速度不同，故故其向心加速度不同，故D D错误. .【答案】【答案】BCBC例例. .同步同步卫星离地心星离地心间隔隔为r r，运，运转速率速率为v1v1，加速度，加速度为a1a1；地球赤道上的物体随地球自；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度的向心加速度为a2,a2,第一宇第一宇宙速度宙速度为v2,v2,地球的半径地球的半径为R,R,那么以下比那么以下比值正确的正确的选项是是( ( ) )A. a1/a2=R/r B. a1/a2=(R/r)2A. a1/a2=R/r B. a1/a2=(R/r)2C. v1/v2=r/R D. v1/v2=(R/r)1/2C. v1/v2=r/R D. v1/v2=(R/r)1/2【错解】解】BD.BD.由由GMm/R2=ma=mv2/RGMm/R2=ma=mv2/R得得aR-2aR-2，故，故B B正确，正确，同理同理,v=(GM/R)1/2,v=(GM/R)1/2，故，故D D正确正确. .【分析】【分析】设地球地球质量量为M M，同步，同步卫星星质量量为m1m1，地球赤，地球赤道上的物体道上的物体质量量为m2m2，在地球外表运，在地球外表运转的物体的物体质量量为m3m3，由于地球同步，由于地球同步卫星周期与地球自星周期与地球自转周期一周期一样，那么，那么a1=r21,a2=R22a1=r21,a2=R22，1=2.1=2.所以所以a1a2=r/Ra1a2=r/R，故，故A A选项错误. .根据万有引力定律和向心力表达式可得：根据万有引力定律和向心力表达式可得：对m1:GMm1/r2=m1v21/rm1:GMm1/r2=m1v21/r，所以所以v1=(GM/r)1/2v1=(GM/r)1/2对m3:GMm3/R2=m3v22/Rm3:GMm3/R2=m3v22/R，所以，所以v2=(GM/R)1/2v2=(GM/R)1/2式除以式除以式得：式得：v1/v2=(R/r)1/2,v1/v2=(R/r)1/2,故故D D选项正确正确. .【答案】【答案】D D