11.3 统计知识预习知识预习一、简单随机抽样一、简单随机抽样1 相关概念：总体、个体、样本、样本容量相关概念：总体、个体、样本、样本容量2 基本思想：用样本估计总体基本思想：用样本估计总体3 简单随机抽样概念简单随机抽样概念一般的，设一个总体含有一般的，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放个个体，从中逐个不放回地抽取回地抽取n个个体作为样本（个个体作为样本（nN），如果每次抽取），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。种抽样方法叫做简单随机抽样。其特点是：其特点是： 总体的个数有限总体的个数有限；逐个抽取；逐个抽取；不放回抽不放回抽 样；样；等可能抽样。等可能抽样。4 抽样方法抽样方法 抽签法；抽签法；随机数表法随机数表法1 定义：当总体由定义：当总体由差异明显差异明显的几部分组成时，为了的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反应总体情况，我们经常将总使抽取的样本更好地反应总体情况，我们经常将总体中各个个体体中各个个体按某种特征按某种特征分成若干个分成若干个互不重叠互不重叠的几的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所所占比例占比例进行简单随机抽样。进行简单随机抽样。二、分层抽样二、分层抽样2 适用特征：适用特征： 总体由差异明显的几部分组成；总体由差异明显的几部分组成； 分成的各层互分成的各层互不重叠；不重叠；各层抽取的比例等于样本容量在总体中各层抽取的比例等于样本容量在总体中的比例的比例三、用样本估计总体三、用样本估计总体1 用样本的频率分布估计总体的频率分布用样本的频率分布估计总体的频率分布2 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）有关概念）有关概念 众数：频率分布最大值所对应的样本数据（或出众数：频率分布最大值所对应的样本数据（或出 现次数最多的那个数据现次数最多的那个数据中位数：累积频率为中位数：累积频率为0.5时，所对应的样本数据。时，所对应的样本数据。平均数（数学期望）：平均数（数学期望）：（2）样本方差与样本标准差）样本方差与样本标准差 样本方差：样本方差： 样本方差体现样本差异和波动性大小样本方差体现样本差异和波动性大小。 样本标准差：样本方差的算术平方根样本标准差：样本方差的算术平方根 s=双基自测A96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 第8题图 1.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测. 右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘 制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106， 样本数据分组为96，98），98，100), 100，102)， 102，104),104，106,已知样本中产品净重小于100克的 个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产 品的个数是( ). A. 90 B.75 C. 60 D.45A（09川文）川文）设矩形的长为设矩形的长为a，宽为，宽为b，其比满足，其比满足b a =，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初工矩形宽度与长度的比值样本：工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.6390.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.6200.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值与标准值0.6180.618比较，正确结论是比较，正确结论是 A. A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近甲批次的总体平均数与标准值更接近 B. B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近乙批次的总体平均数与标准值更接近 C. C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D. D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 （20092009年上海卷理）在发生某公共卫生事件期间，年上海卷理）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为规模群体感染的标志为“连续连续1010天，每天新增疑天，每天新增疑似病例不超过似病例不超过7 7人人”。根据过去。根据过去1010天甲、乙、丙、天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 D D（A A）甲地：总体均值为）甲地：总体均值为3 3，中位数为，中位数为4 4 （B B）乙地：总体均值为）乙地：总体均值为1 1，总体方差大于，总体方差大于0 0 （C C）丙地：中位数为）丙地：中位数为2 2，众数为，众数为3 3 （D D）丁地：总体均值为）丁地：总体均值为2 2，总体方差为，总体方差为3 3 【解析解析】根据信息可知，连续根据信息可知，连续1010天内，每天的新增疑似天内，每天的新增疑似病例不能有超过病例不能有超过7 7的数，选项的数，选项A A中，中位数为中，中位数为4 4，可能存在，可能存在大于大于7 7的数；同理，在选项的数；同理，在选项C C中也有可能；选项中也有可能；选项B B中的总体中的总体方差大于方差大于0 0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于大于7 7的数；选项的数；选项D D中，根据方差公式，如果有大于中，根据方差公式，如果有大于7 7的数的数存在，那么方差不会为存在，那么方差不会为3 3，故答案选，故答案选 D.D.4 4（上海卷（上海卷1010）已知总体的各个体的值由小到大依次为）已知总体的各个体的值由小到大依次为2 2，3 3，3 3，7 7，a a，b b，1212，13.713.7，18.318.3，2020，且总体的中，且总体的中位数为位数为10.510.5若要使该总体的方差最小，则若要使该总体的方差最小，则a a、b b的取值的取值分别是分别是 课堂讲练结合课堂讲练结合题型一题型一 概念问题概念问题例例1 1 (2009 (2009山东卷文山东卷文) )（本小题满分（本小题满分1212分）分） 一汽车厂生产一汽车厂生产A,B,CA,B,C三三类轿车类轿车, ,每类轿车均有舒适每类轿车均有舒适型和标准型两种型号型和标准型两种型号, ,某月某月的产量如下表的产量如下表( (单位单位: :辆辆):):轿车轿车A A轿车轿车B B轿车轿车C C舒适型舒适型100100150150z z标准型标准型300300450450600600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取5050辆辆, ,其中有其中有A A类轿车类轿车1010辆辆. .1.1.求求z z的值的值. . 2 2用分层抽样的方法在用分层抽样的方法在C C类轿车中抽取一个容量为类轿车中抽取一个容量为5 5的样本的样本. . 将该样本看成一个总体将该样本看成一个总体, ,从中任取从中任取2 2辆辆, ,求至少有求至少有1 1辆舒适辆舒适 型轿车的概率型轿车的概率; ; 3 3 用随机抽样的方法从用随机抽样的方法从B B类舒适型轿车中抽取类舒适型轿车中抽取8 8辆辆, ,经检测经检测 它们的得分如下它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3,:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 9.0, 8.2.把这把这8 8辆轿车的得分看作一个总体辆轿车的得分看作一个总体, ,从中任从中任 取一个数取一个数, ,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.50.5的概率的概率. .解解: (1).: (1).设该厂本月生产轿车为设该厂本月生产轿车为n n辆辆, ,由题意得由题意得, , 所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400(2) 设所抽样本中有设所抽样本中有m辆舒适型轿车辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法因为用分层抽样的方法在在C类轿车中抽取一个容量为类轿车中抽取一个容量为5的样本的样本,所以所以 解得解得m=2也就是抽取了也就是抽取了2辆舒适型轿车辆舒适型轿车,3辆标准型轿车辆标准型轿车,分别记作分别记作 S S1 1,S,S2 2;B;B1,1,B B2 2,B,B3 3, ,则从中任取则从中任取2 2辆的所有基本事件为辆的所有基本事件为(S(S1 1, B, B1 1), ), (S(S1 1, B, B2 2) , (S) , (S1 1, B, B3 3) (S) (S2 2 ,B ,B1 1), (S), (S2 2 ,B ,B2 2), (S), (S2 2 ,B ,B3 3),(S),(S1 1, S, S2 2),),(B(B1 1 ,B ,B2 2), (B), (B2 2 ,B ,B3 3) ,(B) ,(B1 1 ,B ,B3 3) )共共1010个个, ,其中至少有其中至少有1 1辆舒适型轿辆舒适型轿车的基本事件有车的基本事件有7 7个基本事件个基本事件: (S: (S1 1, B, B1 1), (S), (S1 1, B, B2 2) , (S) , (S1 1, B, B3 3) ) (S(S2 2 ,B ,B1 1), (S), (S2 2 ,B ,B2 2), (S), (S2 2 ,B ,B3 3),( (S),( (S1 1, S, S2 2),),所以从中任取所以从中任取2 2辆辆, ,至少有至少有1 1辆舒适型轿车的概率为辆舒适型轿车的概率为.(3)(3)样本的平均数为样本的平均数为 那么与样本平均数之差的绝对值不超过那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.50.5的数为的数为9.4, 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这这6 6个数个数, ,总的个数为总的个数为8,8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.50.5的概率为的概率为 （天津卷（天津卷1111）一个单位共有职工）一个单位共有职工200200人，其中不超过人，其中不超过4545岁岁的有的有120120人，超过人，超过4545岁的有岁的有8080人为了调查职工的健康状况，人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为2525的样本，的样本，应抽取超过应抽取超过4545岁的职工岁的职工 人人10练习练习 题型二题型二 分层抽样中的求概率问题分层抽样中的求概率问题 （20092009全国卷全国卷文）（本小题满分文）（本小题满分1212分）分）某车间甲组有某车间甲组有1010名工人，其中有名工人，其中有4 4名女工人；名女工人；乙组有乙组有1010名工人，其中有名工人，其中有6 6名女工人。现采用分层抽样名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取取4 4名工人进行技术考核。名工人进行技术考核。（）求从甲、乙两组各抽取的人数；）求从甲、乙两组各抽取的人数；（）求从甲组抽取的工人中恰有）求从甲组抽取的工人中恰有1 1名女工人的概率；名女工人的概率；（）求抽取的）求抽取的4 4名工人中恰有名工人中恰有2 2名男工人的概率。名男工人的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（解：（I I）由于甲、乙两组各有）由于甲、乙两组各有1010名工人，根据分层抽样原理，名工人，根据分层抽样原理， 要从甲、乙两组中共抽取要从甲、乙两组中共抽取4 4名工人进行技术考核，则从每名工人进行技术考核，则从每 组各抽取组各抽取2 2名工人。名工人。（IIII）记）记A A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1 1名女工人，则名女工人，则 （III） 设设B B表示事件：抽取的表示事件：抽取的4 4名工人中恰有名工人中恰有2 2名男工人。则名男工人。则P(B) 08 08四川（本小题满分四川（本小题满分1212分）分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.50.5，购买乙种商品的概率为购买乙种商品的概率为0.60.6，且购买甲种商品与购买乙种，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的（）求进入商场的）求进入商场的1 1位顾客购买甲、乙两种商品中的位顾客购买甲、乙两种商品中的 一种的概率；一种的概率；（）求进入商场的）求进入商场的3 3位顾客中，至少有位顾客中，至少有2 2位顾客既未购买位顾客既未购买 甲种也未购买乙种商品的概率甲种也未购买乙种商品的概率练习练习解（）记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品， C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两 种商品中的一种，则则 （）记）记 表示事件：进入该商场的3位顾客中恰有2位顾客 既未选购甲种商品，也未选购乙种商品，表示事件：进入该商场的3位顾客中都未选购甲种商品，也未选购乙种商品， D表示事件：进入该商场的1位顾客未选购甲种商品，也未选 购乙种商品，E表示事件：进入该商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品，也未选购乙种商品，则 ，2010.12.16