内装订线外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_人教版2024-2025学年度第一学期第一次月考测试卷高三 数学（满分：150分 时间：120分钟）题号一二三四总分分数一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A.B.C.D.2.已知复数z满足,则( )A.B.C.D.3.从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条,则这3条线段能构成一个三角形的概率是( )A.B.C.D.4.设命题p：若数列是公差不为0的等差数列,则点必在一次函数图象上；命题q：若正项数列是公比不为1的等比数列,则点必在指数函数图象上.下列说法正确的是( )A.p、q均为真命题B.p、q均为假命题C.p真q假D.p假q真5.某人从A地到B地,乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3,0.3,0.4,乘火车迟到的概率为0.2,乘轮船迟到的概率为0.3,乘飞机迟到的概率为0.4,则这个人从A地到B地迟到的概率是( )A.0.16B.0.31C.0.4D.0.326.已知把物体放在空气中冷却时,若物体原来的温度是,空气的温度是,则后物体的温度满足公式(其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数).某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中,冷却后牛奶的温度是,则下列说法正确的是( )A.B.C.牛奶的温度降至还需D.牛奶的温度降至还需7.已知,分别是椭圆()的左,右焦点,M,N是椭圆C上两点,且,则椭圆C的离心率为( )A.B.C.D.8.记,则a,b,c的大小关系是( )A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知一组样本数据,()均为正数,且.,若由生成一组新的数据,则这组新数据与原数据的( )可能相等.A.极差B.平均数C.中位数D.标准差10.已知O为抛物线的顶点,直线l交抛物线于M,N两点,过点M,N分别向准线作垂线,垂足分别为P,Q,则下列说法正确的是( )A.若直线l过焦点F,则N,O,P三点不共线B.若直线l过焦点F,则C.若直线l过焦点F,则抛物线C在M,N处的两条切线的交点在某定直线上D.若,则直线l恒过点11.已知正四面体的棱长为2,下列说法正确的是( )A.正四面体的外接球表面积为B.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值C.正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为D.正四面体在正四面体的内部,且可以任意转动,则正四面体的体积最大值为12.若是定义在R上的偶函数,其图象关于直线对称,且对任意,都有,则下列说法正确的是( )A.一定为正数B.2是的一个周期C.若,则D.若在上单调递增,则三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的展开式中的系数是_.14.已知的两条直角边分别为3,4,以斜边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是_.15.小王准备在单位附近的某小区买房,若小王看中的高层住宅总共有n层(,),设第1层的“环境满意度”为1,且第k层(,)比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”,设第1层的“高层恐惧度”为1,且第k层(,)比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下,若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为,记小王对第k层“购买满意度”为,且,则小王最想买第_层住宅.(参考公式及数据：,)16.已知,过x轴上一点P分别作两圆的切线,切点分别是M,N,当取到最小值时,点P坐标为_.四、解答题：本题共6小题,第17小题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数.()若函数是偶函数,求实数m的值；()若,使得.成立,求实数m的取值范围.18.(12分)西梅以“梅”为名,实际上不是梅子,而是李子,中文正规名叫“欧洲李”,素有“奇迹水果”的美誉.因此,每批西梅进入市场之前,会对其进行检测,现随机抽取了10箱西梅,其中有4箱测定为一等品.()现从这10箱中任取3箱,求恰好有1箱是一等品的概率；()以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况,若从这一批西梅中随机抽取3箱,记表示抽到一等品的箱数,求的分布列和期望.19.(12分)如图,在四棱柱中,底面和侧面均为矩形,.()求证：；()求与平面所成角的正弦值.20.(12分)已知数列满足,()判断数列是否是等比数列？若是,给出证明；否则,请说明理由；()若数列的前10项和为361,记,数列的前n项和为,求证：.21.(12分)已知双曲线与直线有唯一的公共点M.()若点在直线l上,求直线l的方程；()过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于,y轴于两点.是否存在定点G,H,使得M在双曲线上运动时,动点使得为定值.22.(12分)已知函数.()讨论的单调性；()若两个不相等的正实数a,b满足,求证：；()若,求证：.参考答案与评分细则题号123456789101112答案ABACBDCDBCBCDABDBCD一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.A【解析】由,得.故选A.2.B【解析】,故选B.3.A【解析】从5条线段中任取3条,可能的情况有：,共有10种可能,其中,能构成三角形的只有,共3种可能,所以,能构成三角形的概率为.选A.4.C【解析】若数列是公差不为0的等差数列,则,故点必在一次函数图像上,故p真；若,则数列是公比为2的等比数列,不恒在指数函数图像上,故q假.故C正确.5.B【解析】设事件A表示“乘火车”,事件B表示“乘轮船”,事件C表示“乘飞机”,事件D表示“迟到”,则,由全概率公式得：.选B.6.D【解析】由条件及公式,得,故,AB错误；又由,得,故牛奶的温度从降至需,从降至还需.故选D.7.C【解析】连接,设,则,在中,在中,又,故选C.8.D【解析】设,则在R上单调递增,故,即；设,则,在.单调递减,故,即；综上得,故D正确.二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.BC【解析】极差分别为和,故A错误；由知,当时,平均数相等,故B正确；当时,中位数分别为与,同理可知当时,中位数相等,当时,中位数分别为与,同理可知当时,中位数相等,故C正确；由.,知,标准差不可能相等,故D错误.综上,选BC.10.BCD【解析】设直线,联立方程,得设,则选项A若直线l过焦点F,则,又,三点共线,A错选项B由抛物线的定义和平行线的性质知：,又,所以B对；选项C抛物线C在点M处的切线为抛物线C在点N处的切线为,联立得解得：抛物线在点M,N处的切线的交点在定直线上,所以C对选项D因为,将韦达定理代入得：所以直线l恒过点,所以D对11.ABD【解析】A.棱长为2的正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球半径相同,设为R,则：,所以,所以A对B.设四面体内任意一点到四个面的距离分别为,设四面体的高为d,由等体积法可得：,所以为定值.所以B对C.设中点为D,连接,则为求,所以正弦值为,所以C错D.要使正四面体在四面体的内部,且可以任意转动,则正四面体的外接球在四面体内切球内部,当正四面体的外接球恰好为四面体内切球时,正四面体的体积最大值,由于正四面体的外接球与内切球半径之比为,所以正四面体的外接球半径为,设正四面体为a,则,所以,故体积,所以D对因此：正确答案为ABD12.BCD【解析】因为符合条件,故A.错误；因为偶函数的图象关于直线对称,所以,故B正确；因为对任意,都有,所以对任意,取得；若,即,故,由2是的周期得,故C正确；假设,由及,得,故.这与在.上单调递增矛盾,故D正确.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.-40【解析】,所以的系数为14.【解析】由勾股定理知斜边为5,斜边上的高为,该几何体为两个同底面的圆锥,底面半径为,两个圆锥的高之和为5,所以该几何体体积为15.10【解析】依题意,且,；,所以.【注】利用,()求解更易.,故小王对第k层住宅的购买满意度.【方法一】由.即解得,所以同理有,小王最想购买第10层住宅.【方法二】设,则故时单调递增；时单调递减.由于,故最大,小王最想购买第10层住宅.16.【解析】设则,取,则此时,直线：令,则,四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】()由函数是偶函数知,.故,即,化简得,恒成立.故,实数m的值为1.()若,使得,则,即,能成立.于是,由指数函数单调性,得故实数m的取值范围为.【方法二】若,使得,则,即,能成立.于是,由指数函数单调性,得解得,故实数m的取值范围为.18.【解析】(1)设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件,则；因此,从这10箱中任取3箱,恰好有1箱是一等品的概率为,(2)由题意可知,从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率,由题可知的所有可能取值为0,1,2,3,则,所以的分布列为0123P.19.()证明：四边形和四边形均为矩形,又平面平面,.()设,过C点作垂直交于点M,由(1)可知平面,平面,平面,设与平面所成的角为,又,平面,到平面的距离等于3在平行四边形中,与平面所成角的正弦值,20.【解析】()数列成等比数列.根据得；,即数列成等比数列.()由()得,故由,得.显然,单调递增,且,故,.,当时,综上,知.21.【解析】(1)联立,则又点在直线上,所以：,时,则：所以：,即,则当时,；所以：直线l的方程：()联立,则,因为,M是双曲线与直线的唯一公共点,所以,化简得,解得点M的坐标为,即为于是,过点M且与l垂直的直线为,可得,即,于是即P的轨迹方程为：所以存