三 角 函 数 1.21.2任意角的三角函数任意角的三角函数1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数1理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值2理解并掌握三角函数线的几何表示，能利用三角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围3体会单位圆在整个解题过程中的作用基础梳理基础梳理一、任意角的三角函数1单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为_2三角函数的定义：设角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合在直角坐标系中，角终边与单位圆交于一点P(x，y)，则r|OP|1.那么：(1)y叫做_，记作sin ，即ysin ；(2)x叫做_，记作cos ，即xcos ；(3) 叫做_，记作tan ，即 tan (x0)一、1.单位圆2(1)的正弦(2)的余弦(3)的正切正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为_练习1：已知角A的终边与单位圆的交点为P0 ，求角的正弦、余弦和正切值三角函数 思考应用思考应用1三角函数的值与点P在终边上的位置有关系吗？ 解析：利用三角形的相似性可知任意角的三角函数值只与有关，而与点P的位置无关对于角的终边上任意一点P，设其坐标为(x，y)，点P到原点的距离r 0.(1) 比值叫做的正弦，记作sin ，即sin ；(2) 比值叫做的余弦，记作cos ，即cos ；(3) 比值叫做的正切，记作tan ，即tan .点P在单位圆上是一种特殊情形二、三角函数值在各个象限内的符号1由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号sin ，其中r0，于是sin 的符号与y的符号相同，即：当是第_象限角时，sin 0；当是第_象限角时，sin 0，于是cos 的符号与x的符号相同，即：当是第_象限角时，cos 0；当是第_象限角时，cos 0；当是第 _象限角时，tan 0.二、四一、二三、四一、四二、三一、三2根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin ：上正下负横为0；cos ：左负右正纵为0；tan ：交叉正负”形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余弦”练习2：已知角的终边过点P0(3，4)，求角的正弦、余弦和正切值思考应用思考应用2你知道形象的识记口诀的意思吗？解析： 口诀：“一全二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值_，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(2k)tan ，(kZ)相等 思考应用思考应用3公式一中的角一定是锐角吗？解析：公式一中的角为任意角，公式一都成立四、三角函数线1有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是_、 _的在直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负2正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段有向线段的_表示三角函数值的_，有向线段的_表示三角函数值的绝对值的_三角函数线的作法如下：设角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM就分别是角的正弦线与余弦线，即MPysin ，OMxcos .四、1.有长度、有正负2.方向正负长度大小过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT就是角的正切线，即ATtan .3填写下表中三角函数的定义域、值域函数定义域值域ysin ycos ytan R 1,1R 1,1 R思考应用思考应用4三角函数线有哪些特征？应用三角函数线体现了什么数学思想方法？解析： (1)三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面应用三角函数线解决问题体现了数形结合的思想方法自测自评自测自评1若 0，则点Q(cos ，sin )位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析： 0，sin 0，则是第一或第二象限角；若是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos .其中，不正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析： 正确；不正确；不正确，例： 也成立；不正确故选C.答案：C利用三角函数的定义求三角函数值利用三角函数的定义求三角函数值 已知角的终边过点P(3,2)，求sin ，cos ，tan 的值分析：本题考查角的三角函数值，已知x3，y2，先求出r，然后根据三角函数的定义求解跟踪训练跟踪训练1在平面直角坐标系中，若角终边经过点P(3,4)，则cos 的值为 ()2已知角的终边落在直线y2x上，求sin ，cos ，tan 的值分析： 因为角的终边是一条射线，故应分两种情况进行讨论可在直线上取一特殊点转化成例1类似的问题，进而求解应用诱导公式应用诱导公式(一一)进行化简、求值进行化简、求值 求下列各三角函数的值：(1)cos(1050)；(2)sin .点评：解答此类问题的方法是先把已知角化归到2k，(00，cos 0，则点P(sin ，cos )在第四象限；当角是第三象限角时，sin 0，cos 0，则点P(sin ，cos )在第三象限；当角是第四象限角时，sin 0，则点P(sin ，cos )在第二象限答案：四、三、二(2)依据三角函数线，作出如下四个判断：其中判断正确的有() A1个 B2个 C3个 D4个序号判断正确，答案选B.答案：B点评：此类问题的关键在于牢记各象限内的三角函数值的符号，尤其是以弧度制给出角时，判断角所在的象限位置特别重要解析：在平面直角坐标系中作单位圆，依次作相关角的三角函数线，由图象可知跟踪训练跟踪训练4判断下列各三角函数值的符号：sin 3，cos 4，tan 5.解析： 3，4 ， 50，cos 40，tan 5cos 1 Bsin 1cos 1Csin 1cos 1 D不能确定解析： 1 OPM，MPOM，故得sin 1cos 1，答案选A.答案：A点评：此类问题的解题思路在于将三角函数值化为单位圆中的某些线段，再用几何关系来判断大小它的实质是数形结合的思想跟踪训练跟踪训练5当x 时，求证：sin xxtan x.分析：本题可以分别利用单位圆中角x的正弦线、所对的弧长、正切线来表示sin x，x和tan x，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决解析：如下图，设角x的终边与单位圆交于点P，单位圆与x轴交于点A，作PMx轴，垂足为M，作ATx轴，交射线OP于T，由三角函数定义知sin xMP，tan xAT，x弧AP的长D B 1利用三角函数定义求值常有两类题：一类是已知终边上一点的坐标，求三角函数值终边上的已知点的坐标确定，三角函数值唯一终边上的已知点的坐标以参数形式给出，需判断角所在的象限位置，若不能确定，还需对参数分类讨论另一类是已知角的终边在某条固定直线上，求角的三角函数值，应对角分两种情况讨论，并在射线上找一特殊点，使之转化为熟悉的类型题2利用三角函数线解不等式常常是先找到取等号时角的终边的位置，再借助单位圆中的三角函数线找出角的终边所在的区域，然后写出角的集合此类题目体现了数形结合的数学思想