正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法交错项级数及其审敛法交错项级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛小结小结一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. .2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :显然部分和数列显然部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列. .证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界3.比较审敛法比较审敛法不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.解解由图可知由图可知重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .证明证明4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 = =1nnu与与 = =1nnv都是正项级数都是正项级数, , 假如假如那么那么(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，假设时，假设收敛收敛, , 那么那么收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 假设假设 = =1nnv发散发散, , 那么那么 = =1nnu发散发散; ;解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.的敛散性的敛散性. 例例3. 判别级数判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有参考级数须有参考级数. 证明证明收敛收敛发散发散比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:解解比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. .证明证明满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.收敛收敛收敛收敛用用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性判别法判别下列级数的敛散性:收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散发散收敛收敛收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .证明证明上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.内容小结内容小结2. 2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件必要条件不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法收收 敛敛发发 散散不定不定 比较审敛法比较审敛法用它法判别用它法判别部分和极限部分和极限3. 3. 任意项级数和交错级数审敛法任意项级数和交错级数审敛法为收敛级数为收敛级数LeibnizLeibniz判别法判别法: :则交错级数则交错级数收敛收敛概念概念: :绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛作业P268 习题12-2 11）（3）（5） 21）（3）； 41）（3）（5） 51）（2）思考题思考题思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.练练 习习 题题练习题答案练习题答案