第第3 3章章 图像增强图像增强第二讲第二讲 3.1.1 3.1.1 直方图直方图 3.1.2 3.1.2 直方图修改技术的基础直方图修改技术的基础 3.1.3 3.1.3 直方图均衡化处理直方图均衡化处理 3.1.4 3.1.4 直方图规定化处理直方图规定化处理 3.1.5 3.1.5 图像对比度处理图像对比度处理 直方图均衡化处理方法是行之有效的增直方图均衡化处理方法是行之有效的增强方法之一，但是由于它的变换函数采用强方法之一，但是由于它的变换函数采用的是累积分布函数，它只能产生近似均匀的是累积分布函数，它只能产生近似均匀的直方图这样一种结果。这样就必须会限的直方图这样一种结果。这样就必须会限制它的效能。制它的效能。 有时需要具有特定的直方图的图像，以便能有时需要具有特定的直方图的图像，以便能够对图像中的某些灰度级加以增强。直方图够对图像中的某些灰度级加以增强。直方图规定化方法就是针对上述思想提出来的一种规定化方法就是针对上述思想提出来的一种直方图修正增强方法。直方图修正增强方法。 下面讨论直方图规定下面讨论直方图规定化的基本思想。化的基本思想。 假设假设 pr( ( r ) ) 是原始图像灰度分布的概率是原始图像灰度分布的概率密度函数，密度函数， pz( ( z ) ) 是希望得到的图像的概率是希望得到的图像的概率密度函数。如何建立密度函数。如何建立 pr( ( r ) ) 和和 pz( ( z ) ) 之间之间的联系是直方图规定化处理的关键。的联系是直方图规定化处理的关键。 所以，直方图规定化处理的关键思路是寻找所以，直方图规定化处理的关键思路是寻找一个一个 pr( r ) 和和 pz( z ) 间的中介，在间的中介，在 pr(r ) ， pz(z )间搭建一座桥梁，建立间搭建一座桥梁，建立 r 与与 z 的关系。的关系。 首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即：首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即： (3(320)20) 假定已经得到了所希望的图像，并且它的概率假定已经得到了所希望的图像，并且它的概率密度函数是密度函数是 Pz(z) 。对这幅图像也作均衡化处。对这幅图像也作均衡化处理，即：理，即：(3(321)21) 因为对于两幅图同样做了均衡化处理，所以因为对于两幅图同样做了均衡化处理，所以 ps(s) 和和 pu(u) 具有同样的均匀密度。其中式具有同样的均匀密度。其中式(321)的逆过程为的逆过程为 (3(322)22) 这样，如果用从原始图像中得到的均匀灰这样，如果用从原始图像中得到的均匀灰度级度级 s 来代替逆过程中的来代替逆过程中的 u ，其结果灰度级将，其结果灰度级将是所要求的概率密度函数是所要求的概率密度函数 Pz(z) 的灰度级。的灰度级。 根据以上思路，可以总结出直接直方图规定化根据以上思路，可以总结出直接直方图规定化增强处理的步骤如下：增强处理的步骤如下： (1)(1)、用直方图均衡化方法将原始图像作均衡化用直方图均衡化方法将原始图像作均衡化 处理；处理； (2)(2)、规定希望的灰度概率密度函数规定希望的灰度概率密度函数 pz(z)，并，并 用式用式 (321)求得变换函数求得变换函数 G(u) ； (3)、将逆变换函数将逆变换函数 zG-1( s) 用到步骤用到步骤(1)中中 所得到的灰度级。所得到的灰度级。（4）、）、z G-1T(r) 以上三步得到了原始图像的另一种处理方法。以上三步得到了原始图像的另一种处理方法。在这种处理方法中得到的新图像的灰度级具有事先在这种处理方法中得到的新图像的灰度级具有事先规定的概率密度函数。规定的概率密度函数。 下面通过例子来说明处理过程。下面通过例子来说明处理过程。 例如，这里仍用例如，这里仍用64646464像素的图像，其灰度像素的图像，其灰度级仍然是级仍然是8 8级。其直方图如图级。其直方图如图3 37(a)7(a)所示，所示，(b)(b)是是规定的直方图，规定的直方图，(c)(c)为变换函数，为变换函数，(d)(d)为处理后的为处理后的结果直方图。原始直方图和规定的直方图之数值结果直方图。原始直方图和规定的直方图之数值分别列于表分别列于表3 32 2和表和表3 33 3中，经过直方图均衡化中，经过直方图均衡化处理后的直方图数值列于表处理后的直方图数值列于表3 34 4。 表表3 32 2 原始直方图数据原始直方图数据 表表3 33 3 规定的直方图数据规定的直方图数据 表表3 34 4 均衡化处理后的直方图数据均衡化处理后的直方图数据 （1 1）对原始图像进行直方图均衡化映射处理的数）对原始图像进行直方图均衡化映射处理的数 值列于表值列于表3 34 4的栏目内。的栏目内。（2 2）利用式）利用式(3(321)21)计算变换函数。计算变换函数。计算步骤如下：计算步骤如下： 以此类推求得以此类推求得 （3 3）用直方图均衡化中的）用直方图均衡化中的 sk 进行进行 G 的反变换的反变换求求 z。 这一步实际上是近似过程。也就是找出这一步实际上是近似过程。也就是找出 Sk 与与G(zk) 的最接近的值。的最接近的值。例如：例如：与它最接近的是与它最接近的是 ，所以可写成，所以可写成 用这样方法可得到下列变用这样方法可得到下列变换值。换值。 （4 4）用）用 z= G-1T(r) 找出找出 r 与与 z 的映射关系的映射关系 表表3 35 5 结果直方图数据结果直方图数据 （5 5）根据这样的映射重新分配像素，）根据这样的映射重新分配像素，并用并用n=4096=4096去除，可得到最后的直方图去除，可得到最后的直方图。 图图4 47 7 直方图规定化处理方法直方图规定化处理方法 由图由图3 37 7可见，结果直方图并不很接近希望的形状，可见，结果直方图并不很接近希望的形状，与直方图均衡化的情况一样，这种误差是多次近似与直方图均衡化的情况一样，这种误差是多次近似造成的。只有在连续的情况下，求得准确的反变换造成的。只有在连续的情况下，求得准确的反变换函数才能得到准确的结果。函数才能得到准确的结果。 在灰度级减少时，规定的和最后得到的直方在灰度级减少时，规定的和最后得到的直方图之间的误差趋向于增加。但是实际处理效图之间的误差趋向于增加。但是实际处理效果表明，尽管是一种近似的直方图也可以得果表明，尽管是一种近似的直方图也可以得到较明显的增强效果。到较明显的增强效果。 利用直方图规定化方法进行图像增强的主利用直方图规定化方法进行图像增强的主要困难在于如何构成有意义的直方图。要困难在于如何构成有意义的直方图。 一般有两种方法，一种是给定一个规定的概一般有两种方法，一种是给定一个规定的概率密度函数，如高斯，瑞利等函数。一些常率密度函数，如高斯，瑞利等函数。一些常用的直方图修正转换函数列于表用的直方图修正转换函数列于表3 36 6中。中。 表表3 36 6 直方图修正转换函数直方图修正转换函数 另一种方法是规定一个任意可控制的直另一种方法是规定一个任意可控制的直方图，其形状可由一些直线所组成，得到方图，其形状可由一些直线所组成，得到希望的形状后，将这个函数数字化。这种希望的形状后，将这个函数数字化。这种方法如图方法如图3 39 9所示。所示。图图3 39 9 直方图参量规定化法直方图参量规定化法 3.1.1 直方图 3.1.2 直方图修改技术的基础 3.1.3 直方图均衡化处理 3.1.4 直方图规定化处理 3.1.5 3.1.5 图像对比度处理图像对比度处理 由于图像的亮度范围不足或非线性会使图像由于图像的亮度范围不足或非线性会使图像的对比度不甚理想，可用像素幅值重新分配的方的对比度不甚理想，可用像素幅值重新分配的方法来改善图像对比度。扩大图像的亮度范围可以法来改善图像对比度。扩大图像的亮度范围可以用线性映射的方法，这种方法如图用线性映射的方法，这种方法如图3 31010所示。由所示。由图可以看出原图像的范围较小，经映射后的图像图可以看出原图像的范围较小，经映射后的图像亮度范围展宽了。亮度范围展宽了。 图图3 310 10 数字图像对比度增强数字图像对比度增强 在这种转换中，设计转换函数应考虑到在这种转换中，设计转换函数应考虑到灰度量化问题，如果原始图像的灰度级为灰度量化问题，如果原始图像的灰度级为 k 级，映射后输出图像的灰度级仍然是级，映射后输出图像的灰度级仍然是 k 级，级，这样由于输出图像的灰度范围加大了。这样由于输出图像的灰度范围加大了。 在对比度处理法中，根据不同的目的可以设计在对比度处理法中，根据不同的目的可以设计出不同的转换函数。图出不同的转换函数。图3 31111是线性转换函数，这种是线性转换函数，这种函数将图像在整个灰度范围内作线性映射函数将图像在整个灰度范围内作线性映射。 图图3 311 11 图像灰度的线性映射变换图像灰度的线性映射变换 另外一种映射转换函数如图另外一种映射转换函数如图3 31212所示。这所示。这种转换是将图像中两个极端的灰度值加以限幅，种转换是将图像中两个极端的灰度值加以限幅，这种限幅的比例也是可以选择的。这种限幅的比例也是可以选择的。 图图3 312 12 限幅的线性映射变换限幅的线性映射变换 除此之外，为了不同的目的还有其他一些除此之外，为了不同的目的还有其他一些类型的转换函数。这些转换函数的形式如图类型的转换函数。这些转换函数的形式如图3 313(a)13(a)、(b)(b)、（、（c c）所示。）所示。 图图3 313 13 其他一些转换函数其他一些转换函数 灰度变换的效果如图灰度变换的效果如图3 314 (a) (b) 14 (a) (b) 所示，其所示，其中（中（a a）是原像，）是原像，(b)(b)是处理后的图像。是处理后的图像。 图图 3 314 14 灰度变换处理效果灰度变换处理效果 灰度反转的转换函数是把图像的低亮度区域灰度反转的转换函数是把图像的低亮度区域转到较高的亮度区，而高亮度区转换为低亮度区，转到较高的亮度区，而高亮度区转换为低亮度区，其效果如图其效果如图3 31515所示，其中所示，其中(a)(a)是原像，是原像，(b)(b)是是处理后的图像。处理后的图像。 图图 3 315 15 灰度反转处理效果灰度反转处理效果 锯齿形转换可以把几段较窄的输入灰度区间锯齿形转换可以把几段较窄的输入灰度区间都扩展到整个输出灰度范围内，这种处理可以把都扩展到整个输出灰度范围内，这种处理可以把灰度变化较平缓的区域也较鲜明地显示出来。其灰度变化较平缓的区域也较鲜明地显示出来。其效果如图效果如图3 31616所示，其中（所示，其中（a a）是原像，（）是原像，（b b）是处理后的图像，这里选是处理后的图像，这里选 n=2 n=2 。 图图 3 316 16 锯尺状变换函数处理效果（锯尺状变换函数处理效果（n=2n=2） 开窗式转换的目的是只对部分输入灰度区间进开窗式转换的目的是只对部分输入灰度区间进行转换，通过窗口位置的选择可以观察某些灰度区行转换，通过窗口位置的选择可以观察某些灰度区间的灰度分布，并且对这一区域的灰度进行映射变间的灰度分布，并且对这一区域的灰度进行映射变换。当然，图换。当然，图3 31313只是举出几种常用的转换函数只是举出几种常用的转换函数的形状。根据不同的需要还可以设计出更多的转换的形状。根据不同的需要还可以设计出更多的转换函数，其基本原理都是一样的，只不过处理效果不函数，其基本原理都是一样的，只不过处理效果不同罢了同罢了。 经开窗式转换函数处理的图像效果如图经开窗式转换函数处理的图像效果如图3 31717所示，图所示，图(a)(a)是原像是原像 (b)(b)是处理后的图像。是处理后的图像。 图图 3 317 17 经开窗变换函数处理的效果经开窗变换函数处理的效果 利用直方图修正技术增强图像简便而有效。直方利用直方图修正技术增强图像简便而有效。直方图均衡化处理可大大改善图像灰度的动态范围，利用图均衡化处理可大大改善图像灰度的动态范围，利用直方图规定化方法能得到更加符合需要的结果，通过直方图规定化方法能得到更加符合需要的结果，通过对比度转换函数的正确设计可以方便灵活地改善图像。对比度转换函数的正确设计可以方便灵活地改善图像。因此，这种方法在数字图像处理中得到广泛应用。因此，这种方法在数字图像处理中得到广泛应用。( (a)a)为原始图像为原始图像 (b) (b)为均衡化处为均衡化处 理后的图像理后的图像 (c) (c)为原始图像为原始图像 (d) (d)为均衡化处为均衡化处 理后的图像理后的图像图图4 418183.2 3.2 图像平滑化处理图像平滑化处理 一幅图像可能存在着各种寄生效应。这些一幅图像可能存在着各种寄生效应。这些寄生效应可能在传输中产生，也可能在量化寄生效应可能在传输中产生，也可能在量化等处理过程中产生。一个较好的平滑方法应等处理过程中产生。一个较好的平滑方法应该是既能消掉这些寄生效应又不使图像的边该是既能消掉这些寄生效应又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊。这就是研究图像平滑缘轮廓和线条变模糊。这就是研究图像平滑化处理要追求的主要目标。化处理要追求的主要目标。 图像平滑化处理方法有空域法和频域法两大类。图像平滑化处理方法有空域法和频域法两大类。主要有主要有: 邻域平均法，邻域平均法， 低通滤波法，低通滤波法， 多图像平均法等等。多图像平均法等等。3.2.1 3.2.1 邻域平均法邻域平均法 3.2.2 低通滤波法 3.2.3 多图像平均法 邻域平均法是简单的空域处理方法。这种邻域平均法是简单的空域处理方法。这种方法的基本思想是用几个像素灰度的平均值方法的基本思想是用几个像素灰度的平均值来代替每个像素的灰度。假定有一幅来代替每个像素的灰度。假定有一幅NN个个像素的图像像素的图像 f(x,y) ，平滑处理后得到一幅图，平滑处理后得到一幅图像像 g(x,y) 。 g(x,y) 由下式决定由下式决定 式中，式中，S 是是 (x,y) 点邻域中点的坐标的集合，但点邻域中点的坐标的集合，但其中不包括其中不包括 (x,y) 点，点， 是集合内坐标点的总数。是集合内坐标点的总数。 (3(32 23)3)式式(323)说说明明，平平滑滑化化的的图图像像 g(x,y) 中中的的每每个个像像素素的的灰灰度度值值均均由由包包含含在在 (x,y) 的的预预定定邻邻域域中中的的f(x,y) 的的几几个个像像素素的的灰灰度度值值的的平均值来决定。平均值来决定。 例例如如，可可以以以以点点 (x,y) 为为中中心心，取取单单位位距距离离构构成一个邻域，其中点的坐标集合为：成一个邻域，其中点的坐标集合为：图图(a)(a)的方法是一个点的邻域，定义为以该的方法是一个点的邻域，定义为以该点为中心的一个圆的内部或边界上的点的集点为中心的一个圆的内部或边界上的点的集合。图中像素间的距离为合。图中像素间的距离为x x ，选取选取x x 为半径作圆，那么，点为半径作圆，那么，点 R 的灰度值就是圆的灰度值就是圆周上四个像素灰度值的平均值。周上四个像素灰度值的平均值。 图图(b)是选是选 为半径的情况下构成的为半径的情况下构成的点点 R 的邻域，选择在圆的边界上的点和的邻域，选择在圆的边界上的点和在圆内的点为在圆内的点为S的集合。的集合。 图图319 在数字图像中选取邻域的方法在数字图像中选取邻域的方法 四邻域：四邻域：八邻域：八邻域： 处理结果表明，上述选择邻域的方法对抑处理结果表明，上述选择邻域的方法对抑制噪声是有效的，但是随着邻域的加大，制噪声是有效的，但是随着邻域的加大，图像的模糊程度也愈加严重。为克服这一图像的模糊程度也愈加严重。为克服这一缺点，可以采用阈值法减少由于邻域平均缺点，可以采用阈值法减少由于邻域平均所产生的模糊效应。所产生的模糊效应。其基本方法由下式决定：其基本方法由下式决定：（3 32424） 式中式中 T 就是规定的非负的阈值。这个表达式的物就是规定的非负的阈值。这个表达式的物理概念是：理概念是：当一些点和它的邻域内的点的灰度的平当一些点和它的邻域内的点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值均值的差不超过规定的阈值 T 时，就仍然保留其时，就仍然保留其原灰度值不变，如果大于阈值原灰度值不变，如果大于阈值 T 时就用它们的平均时就用它们的平均值来代替该点的灰度值。值来代替该点的灰度值。这样就可以大大减少模糊这样就可以大大减少模糊的程度。的程度。 实现方法：实现方法： 以（以（a)和和(b)作模板，扫过全部图像，即可完成作模板，扫过全部图像，即可完成平滑处理。平滑处理。 边缘处理：边缘处理： 1）、在原图像上补上行和列，在处理；）、在原图像上补上行和列，在处理； 2）、处理后重复一下边缘行或列的结果。）、处理后重复一下边缘行或列的结果。3.2.1 邻域平均法 3.2.2 3.2.2 低通滤波法低通滤波法 3.2.3 多图像平均法 这种方法是一种这种方法是一种频域处理法频域处理法。在分析图在分析图像信号的频率特性时，一幅图像的边缘、跳像信号的频率特性时，一幅图像的边缘、跳跃部分以及颗粒噪声代表图像信号的高频分跃部分以及颗粒噪声代表图像信号的高频分量，而大面积的背景区则代表图像信号的低量，而大面积的背景区则代表图像信号的低频分量。用滤波的方法滤除其高频部分就能频分量。用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声，使图像得到平滑。去掉噪声，使图像得到平滑。 由卷积定理可知由卷积定理可知 (3(325)25) 其中其中: F(u,v) 是含有噪声的图像的傅立叶变换是含有噪声的图像的傅立叶变换; G(u,v) 是平滑处理后的图像之傅立叶变换是平滑处理后的图像之傅立叶变换; H(u,v)是传递函数。是传递函数。 选择传递函数选择传递函数 H(u,v) ，利用，利用 H(u,v)使使 F(u,v) 的高频分量得到衰减，得到的高频分量得到衰减，得到 G(u,v), 后再经反后再经反傅立叶变换就可以得到所希望的平滑图像傅立叶变换就可以得到所希望的平滑图像 g(x,y) 了。了。 根据前面的分析，显然根据前面的分析，显然 H(u,v) 应该具有低通滤波特性，所以这种方法应该具有低通滤波特性，所以这种方法叫叫低通滤波法平滑化处理低通滤波法平滑化处理。低通滤波平低通滤波平滑化处理流程如图滑化处理流程如图3 32020所示。所示。 FFTH(u,v)IFFT图图3 320 20 线性滤波器处理框图线性滤波器处理框图 常用的低通滤波器有如下几种：常用的低通滤波器有如下几种： 理想低通滤波器理想低通滤波器 布特沃斯（布特沃斯（ButterworthButterworth）低通滤波器）低通滤波器 指数低通滤波器指数低通滤波器 梯形低通滤波器梯形低通滤波器 一个理想的二维低通滤波器的传递函数由下式表示：一个理想的二维低通滤波器的传递函数由下式表示： 理想低通滤波器理想低通滤波器 (4(426)26) 式中式中 D0 是一个规定的非负的量，叫做理想低是一个规定的非负的量，叫做理想低通滤波器的截止频率。通滤波器的截止频率。D(u,v) 是从频率颊的是从频率颊的原点到原点到( (u,v) )点的距离，即点的距离，即 (3(32727) H(u,v) 对对 (u,v) 来说是一幅三维图形。来说是一幅三维图形。 H(u,v) 的剖面图如图的剖面图如图321所示。将剖面图所示。将剖面图绕纵轴旋转绕纵轴旋转360就可以得到整个滤波器的传就可以得到整个滤波器的传递函数。递函数。 所谓理想低通滤波器是指以截频所谓理想低通滤波器是指以截频 D0 为半径的圆内为半径的圆内的所有频率都能无损地通过，而在截频之外的频率的所有频率都能无损地通过，而在截频之外的频率分量完全被衰减。分量完全被衰减。理想低通滤波器可以用计算机模理想低通滤波器可以用计算机模拟实现，但是却不能用电子元器件来实现。拟实现，但是却不能用电子元器件来实现。 图图3 321 21 理想低通滤波器剖面图理想低通滤波器剖面图 理想低通滤波器平滑处理的概念是清晰的，但理想低通滤波器平滑处理的概念是清晰的，但在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。这种现象正是由于傅立叶变换的性质决定的。因这种现象正是由于傅立叶变换的性质决定的。因为滤波过程是由式（为滤波过程是由式（3 32828）描述的，由卷积定）描述的，由卷积定理可知在空域中则是一种卷积关系，即理可知在空域中则是一种卷积关系，即 ：(3(328)28)式中式中 ， ， 分别是，分别是， ， 的傅里叶反变换。的傅里叶反变换。 既然既然 H(u,v) 是理想的矩形特性，那么是理想的矩形特性，那么它的反变换它的反变换 h(x,y) 的特性必然会产生无限的特性必然会产生无限的振铃特性。经与的振铃特性。经与 f(x,y) 卷积后则给卷积后则给 g(x,y) 带来模糊和振铃现象，带来模糊和振铃现象，D0 越小这种现象越严越小这种现象越严重，当然，其平滑效果也就较差。这是理想低重，当然，其平滑效果也就较差。这是理想低通不可克服的弱点。通不可克服的弱点。 一个一个 阶布特沃斯低通滤波器的传递函数由下式阶布特沃斯低通滤波器的传递函数由下式表示表示 布特沃斯（布特沃斯（ButterworthButterworth）低通滤波器）低通滤波器 (3(329) 29) 式中式中 D0 为截止频率，为截止频率， D(u,v) 的值由下式决定的值由下式决定 (3(330)30) 布特沃斯低通滤波器又称最大平坦滤波器。布特沃斯低通滤波器又称最大平坦滤波器。它的通带与阻带之间没有明显的不连续性。也它的通带与阻带之间没有明显的不连续性。也就是说，在通带和阻带之间有一个平滑的过渡就是说，在通带和阻带之间有一个平滑的过渡带。通常把带。通常把 H(u,v) 下降到某一值的那一点定为下降到某一值的那一点定为截止频率截止频率 D D0 0 。在式（。在式（3 32929）中是把）中是把 H(u,v) 下降到原来值的下降到原来值的1/2 1/2 时的时的 D(u,v) 定为截频点定为截频点 D0 0 。一般情况下常常采用下降到一般情况下常常采用下降到 H(u,v) 最大值的最大值的 那一点为截止频点。这样，式那一点为截止频点。这样，式(427)可修改可修改为式为式(331)的形式的形式 (3(331)31) 布特沃斯低通滤波器布特沃斯低通滤波器 H(u,v) 的剖面图如的剖面图如图图3 32222所示。与理想低通滤波器的处理结果相所示。与理想低通滤波器的处理结果相比，经布特沃斯滤波器处理过的图像模糊程度比，经布特沃斯滤波器处理过的图像模糊程度会大大减少。因为它的会大大减少。因为它的 H(u,v) 不是陡峭的截不是陡峭的截止特性，它的尾部会包含有大量的高频成分。止特性，它的尾部会包含有大量的高频成分。图图3 322 22 布特沃斯低通滤波器剖面图布特沃斯低通滤波器剖面图 布特沃斯低通滤波器的特点：布特沃斯低通滤波器的特点： 1 1）、由于有平缓的过渡带，图像将不会有振铃现）、由于有平缓的过渡带，图像将不会有振铃现 象。象。 2 2）、模糊程度大大减小。）、模糊程度大大减小。 指数低通滤波器指数低通滤波器 在图像处理中常用的另一种平滑滤波器是在图像处理中常用的另一种平滑滤波器是指数低通滤波器。它的传递函数如下式表示指数低通滤波器。它的传递函数如下式表示 (3(332)32) 式中式中 D0 为截频，为截频， D(u,v) 由下式决定由下式决定 (3(333)33) 式中的式中的 是决定衰减率的系数。从式（是决定衰减率的系数。从式（3 33232）可见，如果可见，如果 则则 (3(334)34) 如果仍然把截止频率定在如果仍然把截止频率定在 最大值最大值的的 处，那么，公式可作如下修改处，那么，公式可作如下修改 由于指数低通滤波器有更快的衰减率，所以，经由于指数低通滤波器有更快的衰减率，所以，经指数低通滤波的图像比布特沃斯低通滤波器处理指数低通滤波的图像比布特沃斯低通滤波器处理的图像稍模糊一些。由于指数低通滤波器的传递的图像稍模糊一些。由于指数低通滤波器的传递函数也有较平滑的过渡带，所以图像中也没有振函数也有较平滑的过渡带，所以图像中也没有振铃现象。铃现象。 图图323 指数低通滤波器传递函数径向剖面图指数低通滤波器传递函数径向剖面图 梯形低通滤波器梯形低通滤波器 梯形低通滤波器传递函数的形状介于理想梯形低通滤波器传递函数的形状介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤波器低通滤波器和具有平滑过渡带的低通滤波器之间。它的传递函数由下式表示之间。它的传递函数由下式表示 (3(335)35) 其中其中 D(u,v)=u2+v21/2 ，在规定，在规定D0 和和 D1 时要时要满足满足 D0 D1 的条件。一般为了方便，把传的条件。一般为了方便，把传递函数的第一个转折点递函数的第一个转折点 D0 定义为截止频率；定义为截止频率；第二个变量第二个变量 D1 可以任意选取只要可以任意选取只要 D1 大于大于 D0 就可以。梯形低通滤波器传递函数的剖就可以。梯形低通滤波器传递函数的剖面如图面如图324所示。所示。 图图3 324 24 梯形低通滤波器传递函数剖面图梯形低通滤波器传递函数剖面图 由于梯形滤波器的传递函数特性介于理想低通滤波由于梯形滤波器的传递函数特性介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带滤波器之间，所以其处理效果器和具有平滑过渡带滤波器之间，所以其处理效果也介于其两者中间。梯形滤波法的结果有一定的振也介于其两者中间。梯形滤波法的结果有一定的振铃现象。铃现象。 用低通滤波器进行平滑处理可以使噪声伪轮用低通滤波器进行平滑处理可以使噪声伪轮廓等寄生效应减低到不显眼的程度，但是由于低廓等寄生效应减低到不显眼的程度，但是由于低通滤波器对噪声等寄生成分滤除的同时，对有用通滤波器对噪声等寄生成分滤除的同时，对有用高频成分也滤除，因此，这种去噪的美化处理是高频成分也滤除，因此，这种去噪的美化处理是以牺牲清晰度为代价而换取的以牺牲清晰度为代价而换取的。3.2.1 邻域平均法 3.2.2 低通滤波法 3.2.3 3.2.3 多图像平均法多图像平均法 如果一幅图像包含有加性噪声，这些噪声对如果一幅图像包含有加性噪声，这些噪声对于每个坐标点是不相关的，并且其平均值为零，于每个坐标点是不相关的，并且其平均值为零，在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去掉噪声的目的。掉噪声的目的。 设设 g(x,y)为有噪声图像为有噪声图像,n(x,y) 为噪声，为噪声，f(x,y) 为原始图像，可用下式表示：为原始图像，可用下式表示：多图像平均法是把一系列有噪声的图像多图像平均法是把一系列有噪声的图像 g gj j( (x,y)迭加起来，然后再取平均值以达到平滑的目的。迭加起来，然后再取平均值以达到平滑的目的。 (336) 具体做法如下：具体做法如下： 取取 M 幅内容相同但含有不同噪声的图像，将它幅内容相同但含有不同噪声的图像，将它们迭加起来，然后作平均计算，如下式所示们迭加起来，然后作平均计算，如下式所示 (3(337)37) 由此得出由此得出 (3(338) 38) (3(339)39) 式中式中 是是 的数学期望，的数学期望， 和和 是是 和和 在在 坐标上的方坐标上的方差。在平均图像中任一点的均方差可由下式差。在平均图像中任一点的均方差可由下式得到得到 (3(340)40) 由上二式可见，由上二式可见，M 增加则像素值的方差就减小，增加则像素值的方差就减小，这说明由于平均的结果使得由噪声造成的像素灰度这说明由于平均的结果使得由噪声造成的像素灰度值的偏差变小。当作平均处理的噪声图像数目增加值的偏差变小。当作平均处理的噪声图像数目增加时，其统计平均值就越接近原始无噪声图像。时，其统计平均值就越接近原始无噪声图像。 这种方法在实际应用中的最大困难在于把多这种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来，以便使相应的像素能正确幅图像配准起来，以便使相应的像素能正确地对应排列。地对应排列。 图图3 325 25 示出了图像平滑处理的效果，其中示出了图像平滑处理的效果，其中（a a）是待处理图像，（）是待处理图像，（b b）是处理后的图像。）是处理后的图像。 图图 3 325 25 图像平滑处理效果图像平滑处理效果 3.3 3.3 图像尖锐化处理图像尖锐化处理(Image Sharpening)(Image Sharpening) 图像尖锐化处理主要用于增强图像的边缘图像尖锐化处理主要用于增强图像的边缘及灰度跳变部分。通常所讲的勾边增强方法就及灰度跳变部分。通常所讲的勾边增强方法就是图像尖锐化处理。与图像平滑化处理一样，是图像尖锐化处理。与图像平滑化处理一样，图像尖锐化处理同样也有空域和频域两种处理图像尖锐化处理同样也有空域和频域两种处理方法。方法。 3.3.1 3.3.1 微分尖锐化处理微分尖锐化处理 3.3.2 零交叉边缘检测 3.3.3 高通滤波法 在图像平滑化处理中，主要的空域处在图像平滑化处理中，主要的空域处理法是采用邻域平均法，这种方法类似于理法是采用邻域平均法，这种方法类似于积分过程，积分的结果使图像的边缘变得积分过程，积分的结果使图像的边缘变得模糊了。积分既然使图像细节变模糊，那模糊了。积分既然使图像细节变模糊，那么，微分就会产生相反的效应。因此，微么，微分就会产生相反的效应。因此，微分法是图像尖锐化方法之一。分法是图像尖锐化方法之一。 微分尖锐化的处理方法最常用的是微分尖锐化的处理方法最常用的是梯度梯度法法。由场论理论知道，数量场的梯度是这样由场论理论知道，数量场的梯度是这样定义的：定义的：设一数量场设一数量场 u ，u=u(x,y,z) ，把大小是在，把大小是在某一点方向导数的最大值，方向是取得方某一点方向导数的最大值，方向是取得方向导数最大值的方向的向导数最大值的方向的矢量矢量叫数量场的梯叫数量场的梯度。度。 由这个定义出发，如果给定一个函数由这个定义出发，如果给定一个函数 f(x,y) ，在坐，在坐标标 (x,y) 上的梯度可定义为一个矢量上的梯度可定义为一个矢量 (3(341)41) 由梯度的定义可知它有两个特点：由梯度的定义可知它有两个特点：（）矢量（）矢量 gradf(x,y) 是指向是指向f(x,y) 最大增加率最大增加率 的方向；的方向；（）如果（）如果 Gf(x,y) 用来表示用来表示 gradf(x,y) 的幅的幅 度，那么度，那么 (3(342)42) 这就是说这就是说 Gf(x,y) 等于在等于在 gradf(x,y) 的方的方向上每单位距离向上每单位距离 f(x,y) 的最大增加率。显然，式的最大增加率。显然，式(342)是一个标量函数，并且是一个标量函数，并且Gf(x,y) 永远是正永远是正值。因此，值。因此，在后续讨论中将笼统地称在后续讨论中将笼统地称“梯度的梯度的模模”为梯度。为梯度。 在数字图像处理中，仍然要采用离散形式，在数字图像处理中，仍然要采用离散形式，为此用差分运算代替微分运算。式为此用差分运算代替微分运算。式(3(342)42)可用可用下面的差分公式来近似下面的差分公式来近似 (4(443)43) (4(444)44) 在用计算机计算梯度时，通常用绝对值运算代替式在用计算机计算梯度时，通常用绝对值运算代替式(343)，所以，近似公式，所以，近似公式 图图3 32626示出了式示出了式(4(444)44)中像素间的关系。中像素间的关系。应该注意到，对一幅应该注意到，对一幅 NN 个像素的图像计算个像素的图像计算梯度时，对图像的最后一行，或者最后一列不梯度时，对图像的最后一行，或者最后一列不能用式能用式(3(344)44)来求解，解决方法是对这个区域来求解，解决方法是对这个区域的像素在的像素在 x=N, y=N 时重复前一行和前一列的时重复前一行和前一列的梯度值。梯度值。 图图3 326 26 计算二维梯度的一种方法计算二维梯度的一种方法 关于梯度处理的另一种方法是所谓的罗伯关于梯度处理的另一种方法是所谓的罗伯特梯度（特梯度（Robert gradient）法。这是一种交叉差）法。这是一种交叉差分法。其近似计算值如下式分法。其近似计算值如下式 (4(445)45) (4(446) 46) 用绝对值近似计算式如下用绝对值近似计算式如下 式式(4(445)45)和和(4(446)46)式中像素间的关系如图式中像素间的关系如图3 32727所示所示 图图3 327 27 罗伯特梯度法罗伯特梯度法 由上面的公式可见，梯度的近似值都和相邻由上面的公式可见，梯度的近似值都和相邻像素的灰度差成正比。这正象所希望的那样，像素的灰度差成正比。这正象所希望的那样，在一幅图像中，边缘区梯度值较大，平滑区梯在一幅图像中，边缘区梯度值较大，平滑区梯度值较小，对于灰度级为常数的区域梯度值为度值较小，对于灰度级为常数的区域梯度值为零。由于梯度运算的结果，使得图像中不变的零。由于梯度运算的结果，使得图像中不变的白区变为零灰度值，黑区仍为零灰度值，只留白区变为零灰度值，黑区仍为零灰度值，只留下了灰度值急剧变化的边沿处的点。下了灰度值急剧变化的边沿处的点。 图图3 328 28 二值图像及计算梯度的结果二值图像及计算梯度的结果 这个简单方法的缺点是使这个简单方法的缺点是使 f(x,y) 中所有平滑区中所有平滑区域在域在 g(x,y) 中变成暗区，因为平滑区内各点梯度中变成暗区，因为平滑区内各点梯度很小。很小。 当选定了近似梯度计算方法后，可以有多种当选定了近似梯度计算方法后，可以有多种方法产生梯度图像方法产生梯度图像 g(x,y) 。最简单的方法是让坐。最简单的方法是让坐标标 (x,y) 处的值等于该点的梯度，即处的值等于该点的梯度，即 (3(347)47) 为克服这一缺点可采用阈值法（或叫门限法）。为克服这一缺点可采用阈值法（或叫门限法）。其方法如下式表示其方法如下式表示 (3(348)48) 也就是说，事先设定一个非负的门限值也就是说，事先设定一个非负的门限值 T ，当，当梯度值大于或等于梯度值大于或等于 T 时，时， 则这一点就取其梯度值作为灰度值，如果梯度值小则这一点就取其梯度值作为灰度值，如果梯度值小于于 T 时则仍保留原时则仍保留原 f(x,y) 值。这样，通过合理地值。这样，通过合理地选择选择 T 值，就有可能既不破坏平滑区域的灰度值值，就有可能既不破坏平滑区域的灰度值又能有效地强调了图像的边缘。又能有效地强调了图像的边缘。 基于上述思路的另一种作法是给边缘处的像素基于上述思路的另一种作法是给边缘处的像素值规定一个特定的灰度级值规定一个特定的灰度级 L LG G ，即即 (3(34949) ) 这种处理会使图像边缘的增强效果更加明显。这种处理会使图像边缘的增强效果更加明显。 当只研究图像边缘灰度级变化时，要求不当只研究图像边缘灰度级变化时，要求不受背景的影响，则用下式来构成梯度图像受背景的影响，则用下式来构成梯度图像 (3(350)50) 式中式中 LB 是规定的背景灰度值。是规定的背景灰度值。 另外，如果只对边缘的位置感兴趣，则可采另外，如果只对边缘的位置感兴趣，则可采用下式的规定产生图像。用下式的规定产生图像。 (3(351)51) 计算方法框图如图计算方法框图如图3 32525所示。所示。 图图3 325 25 梯度法尖锐化处理计算框图梯度法尖锐化处理计算框图 一种典型的边缘增强图像如图一种典型的边缘增强图像如图3 32626所示。所示。 图图 3 326 26 图像尖锐化处理的例子图像尖锐化处理的例子 （a a）是原像）是原像（b b）是）是soblesoble算子处理的结果算子处理的结果（c c）是拉普拉斯算子处理结果）是拉普拉斯算子处理结果（d d）是个向异性处理结果）是个向异性处理结果