1.1命题第一章第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语 “数学是思维的科学数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学逻辑是研究思维形式和规律的科学. . 逻辑用语是我们必不可少的工具逻辑用语是我们必不可少的工具. . 通过学习和使用常用逻辑用语通过学习和使用常用逻辑用语, ,掌握常掌握常用逻辑用语的用法用逻辑用语的用法, ,纠正出现的逻辑错误纠正出现的逻辑错误, ,体会体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性捷性. .思思考考? 下列语句的表述形式有什么特点下列语句的表述形式有什么特点?你能判断你能判断它们的真假吗它们的真假吗?(1)若直线若直线ab,则直线则直线a和直线和直线b无公共点无公共点;(2)2+4=7;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)若若x2=1,则则x=1;(5)两个全等三角形的面积相等两个全等三角形的面积相等;(6)3能被能被2整除整除.以上均为陈述句以上均为陈述句,(1)(3)(5)为真为真,(2)(4)(6)为假为假.命题的概念命题的概念 一般地一般地, ,在数学中在数学中, ,我们把用语言、符我们把用语言、符号或式子表达的号或式子表达的, ,可以判断真假的陈述句叫可以判断真假的陈述句叫做命题做命题. . 其中判断为真的语句叫做真命题其中判断为真的语句叫做真命题, ,判断判断为假的语句叫做假命题为假的语句叫做假命题. . 例例1 1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？假命题？(1)空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集;(2)若整数若整数a是素数，则是素数，则a是奇数是奇数;(3)指数函数是增函数吗？指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行;(5) ;(6)x15.(7)祝大家新年快乐！祝大家新年快乐！真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题判断判断判断判断 一个语句是不是命题，关键判断：一个语句是不是命题，关键判断：一个语句是不是命题，关键判断：一个语句是不是命题，关键判断：（1 1）是否为陈）是否为陈）是否为陈）是否为陈述句；（述句；（述句；（述句；（2 2）能否判断真假。）能否判断真假。）能否判断真假。）能否判断真假。例例1 1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？假命题？(1)空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集;(2)若整数若整数a是素数，则是素数，则a是奇数是奇数;(3)指数函数是增函数吗？指数函数是增函数吗？(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行;(5) ;(6)x15.上面上面上面上面(2)(4)(2)(4)具有具有具有具有“ “若若若若p p, ,则则则则q q” ”的形式的形式的形式的形式. .在数学中，这种形式的命题在数学中，这种形式的命题在数学中，这种形式的命题在数学中，这种形式的命题是常见的是常见的是常见的是常见的. .“ “若若若若p p, ,则则则则q q” ”也可写成也可写成也可写成也可写成“ “如果如果如果如果p p, ,那么那么那么那么q q”“”“只要只要只要只要p p, ,就有就有就有就有q q” ”等形式等形式等形式等形式. .其中其中其中其中p叫做命题的叫做命题的叫做命题的叫做命题的条件条件条件条件, ,q叫做命题的叫做命题的叫做命题的叫做命题的结论结论结论结论. .例例2 2 指出下列命题中的条件指出下列命题中的条件p和结论和结论q;(1)若整数若整数a能被能被2整除整除,则则a是偶数是偶数;(2)若四边形是菱形若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分则它的对角线互相垂直且平分. 有一些命题表面上不是有一些命题表面上不是有一些命题表面上不是有一些命题表面上不是“ “若若若若p,p,则则则则q”q”的形式的形式的形式的形式, ,但但但但可以改写成可以改写成可以改写成可以改写成“ “若若若若p,p,则则则则q”q”的形式的形式的形式的形式, ,例如例如例如例如: :垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行. .解：解：(1)条件条件p:整数整数a能被能被2整除整除,结论结论q：整数：整数a是偶数是偶数;(2)条件条件p:四边形是菱形四边形是菱形,结论结论q：四边形的对角线互：四边形的对角线互相垂直且平分相垂直且平分.若两个平面垂直于同一条直线若两个平面垂直于同一条直线若两个平面垂直于同一条直线若两个平面垂直于同一条直线, ,则这两个平面平行则这两个平面平行则这两个平面平行则这两个平面平行. .例例3 将下列命题改写成将下列命题改写成“若若p,则则q”的形式的形式,并判断并判断真假真假;(1)垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)负数的立方是负数负数的立方是负数;(3)对顶角相等对顶角相等;(4)等腰三角形两腰的中线相等等腰三角形两腰的中线相等;(5)偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称轴对称;(6)垂直于同一个平面的两个平面平行垂直于同一个平面的两个平面平行.思思考考? 下列四个命题中下列四个命题中,命题命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条件和的条件和结论之间分别有什么关系结论之间分别有什么关系? (1)若若f(x)是正弦函数是正弦函数,则则f(x)是周期函数是周期函数; (2)若若f(x)是周期函数是周期函数,则则f(x)是正弦函数是正弦函数; (3)若若f(x)不是正弦函数不是正弦函数,则则f(x)不是周期函数不是周期函数; (4)若若f(x)不是周期函数不是周期函数,则则f(x)不是正弦函数不是正弦函数; 命题命题命题命题(1)(1)和和和和(2)(2)叫做互逆命题叫做互逆命题叫做互逆命题叫做互逆命题. .其中一个命题叫做原命题其中一个命题叫做原命题其中一个命题叫做原命题其中一个命题叫做原命题, ,另一个叫做原命题的逆命题另一个叫做原命题的逆命题另一个叫做原命题的逆命题另一个叫做原命题的逆命题. . 如果原命题为如果原命题为如果原命题为如果原命题为 “ “若若若若p,p,则则则则q”,q”,那么它的逆命题为那么它的逆命题为那么它的逆命题为那么它的逆命题为 “ “若若若若q,q,则则则则p”.p”.原命题与其逆原命题与其逆原命题与其逆原命题与其逆命题的真假是命题的真假是命题的真假是命题的真假是否存在相关性否存在相关性否存在相关性否存在相关性呢呢呢呢? ? 命题命题命题命题(1)(1)和和和和(3)(3)叫做互否命题叫做互否命题叫做互否命题叫做互否命题. .其中其中其中其中一个命题叫做原命题一个命题叫做原命题一个命题叫做原命题一个命题叫做原命题, ,另一个叫做原命题的另一个叫做原命题的另一个叫做原命题的另一个叫做原命题的否命题否命题否命题否命题. . 如果原命题为如果原命题为如果原命题为如果原命题为 “ “若若若若p,p,则则则则q”, q”, 那么它的否命题为那么它的否命题为那么它的否命题为那么它的否命题为 “ “若若若若p,p,则则则则q”.q”.原命题与其否原命题与其否原命题与其否原命题与其否命题的真假是命题的真假是命题的真假是命题的真假是否存在相关性否存在相关性否存在相关性否存在相关性呢呢呢呢? ? 命题命题命题命题(1)(1)和和和和(4)(4)叫做互为逆否命题叫做互为逆否命题叫做互为逆否命题叫做互为逆否命题. .其中一个命题叫做原其中一个命题叫做原其中一个命题叫做原其中一个命题叫做原命题命题命题命题, ,另一个叫做原命题的逆否命题另一个叫做原命题的逆否命题另一个叫做原命题的逆否命题另一个叫做原命题的逆否命题. . 如果原命题为如果原命题为如果原命题为如果原命题为 “ “若若若若p,p,则则则则q”, q”, 那么它的逆否命题为那么它的逆否命题为那么它的逆否命题为那么它的逆否命题为 “ “若若若若q,q,则则则则p”.p”.原命题与其逆原命题与其逆原命题与其逆原命题与其逆否命题的真假否命题的真假否命题的真假否命题的真假是否存在相关是否存在相关是否存在相关是否存在相关性呢性呢性呢性呢? ?原命题：原命题： 逆命题逆命题： 四种命题形式：四种命题形式：否命题：否命题： 逆否命题逆否命题： 若若p则则q.若若q则则p.若若p则则q.若若q则则p. 点拨：要正确表示四种命题首点拨：要正确表示四种命题首先把条件和结论显化先把条件和结论显化四种命题之间真假关系：四种命题之间真假关系：四种命题之间真假关系：四种命题之间真假关系：1.原命题与它的逆命题和否命题的真假性没有关原命题与它的逆命题和否命题的真假性没有关系系.2.原命题与它的原命题与它的逆否命题逆否命题的真假性的真假性相同相同.四种命题间的相互关系：四种命题间的相互关系：原命题原命题原命题原命题若若若若p p则则则则q q逆命题逆命题逆命题逆命题若若若若q q则则则则p p否命题否命题否命题否命题若若若若pp则则则则qq逆否命题逆否命题逆否命题逆否命题若若若若qq则则则则pp互逆互逆互逆互逆互互否否互互否否互为互为 逆否逆否互为互为 逆否逆否说明：说明：四种命题的关系相对的四种命题的关系相对的点拨：正难则反，看逆否命题点拨：正难则反，看逆否命题正面叙述的词语及其否定正面叙述的词语及其否定正面词语正面词语等于等于大于大于 小于小于是是都是都是否定否定不等于不等于 不大于不大于 不小于不小于不是不是 不都是不都是至多有一个至多有一个 至少有一个至少有一个 任意的任意的所有的所有的至少有两个至少有两个 一个也没有一个也没有 存在存在某些某些或或或或且且且且用反证法证明命题的一般步骤：用反证法证明命题的一般步骤：用反证法证明命题的一般步骤：用反证法证明命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.理论根据：理论根据：理论根据：理论根据：原命题与其逆否命题的等价性原命题与其逆否命题的等价性.反证法反证法 例例7.证明：圆的两条不是直径的相交弦不证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分能互相平分. .OPABCD 已知：已知：在在 O中，弦中，弦AB、CD相相交于交于P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：求证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分证明：证明： 假设弦假设弦ABAB、CDCD被被P P平分，平分，则则P是是AB、CD 的中点，的中点， 连接连接OP，由垂径定理的推论，可得：由垂径定理的推论，可得：OPAB，OPCD. 这与这与“在平面上过一点有且只有一条直线与在平面上过一点有且只有一条直线与已知直线垂直已知直线垂直”相矛盾相矛盾.弦弦AB、CD不被不被P平分平分.课堂小结一课堂小结一想一想想一想原命题原命题： 逆命题逆命题： 否命题：否命题： 逆否命题逆否命题： 若若p则则q.若若q则则p.若若p则则q.若若q则则p. 3 3、四种命题形式：、四种命题形式：1 1、命题的概念、命题的概念2 2、能指出命题的条件和结论、能指出命题的条件和结论课堂小结二课堂小结二想一想想一想原命题原命题： 逆命题逆命题： 否命题：否命题： 逆否命题逆否命题： 若若p则则q.若若q则则p.若若p则则q.若若q则则p. 1 1、四种命题形式：、四种命题形式：2 2、四种命题间的相互关系及、四种命题间的相互关系及其真假性的关系：其真假性的关系：