第十三章 实数13.1 平方根13.2 立方根13.3 实 数新的运算新的运算: :-乘方的逆运算乘方的逆运算复习复习2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们的算术平方根。的算术平方根。100；1；36/121;0;0.0025;(-3)225；1.什么叫做算术平方根？什么叫做算术平方根？一般地，如果一个一般地，如果一个正数正数x的平方等于的平方等于a,即即,那么这个那么这个正数正数x叫做叫做a的的算术平方根算术平方根。a的算术平方根的算术平方根记为：记为：读作：读作：a叫做叫做“根号根号a”,被开方数被开方数。3.什么叫乘方？什么叫幂？什么叫乘方？什么叫幂？答：求相同因数的积的答：求相同因数的积的运算运算叫做乘方；乘叫做乘方；乘方的运算方的运算结果结果叫做幂。叫做幂。（1）42=，（，（4）2=；（2），；（3）（）（0.8）2=，（0.8）2=。16160.640.644.填空填空思考如果一个数的平方等于9，这个数是多少？如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3。填表：x21163649x显然显然乘方是已知乘方是已知底数底数和和指数指数，求，求幂幂。如：如：42已知已知底数底数4及及指数指数2，求，求幂幂16。反过来：反过来：如果已知一个数平方等于如果已知一个数平方等于1616，怎样，怎样求这个数？求这个数？即知已即知已指数指数2及及幂幂16，求，求底数底数？设这个数为设这个数为x则则x 2=164 4 2 2 = 16= 16，（，（4 4）2 2 = 16= 16 x = 4或或4因为因为4 4 、4 4的平方都等于的平方都等于1616，我们把，我们把4 4及及4 4叫做叫做1616的的平方根平方根。同理同理：的平方等于的平方等于。那么。那么叫叫的平的平方根。方根。0.8、0.8的平方等于的平方等于0.64。那么。那么叫叫的平方根。的平方根。0.8、0.80.64自学并讨论？自学并讨论？1.什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？2.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？3.如何求一个数的平方根？如何求一个数的平方根？4.平方根有什么性质？平方根有什么性质？5.平方根与算术平方根有什么异同？平方根与算术平方根有什么异同？让我们一个一个解决吧！好吗？让我们一个一个解决吧！好吗？自学并讨论？自学并讨论？1.什么叫平方根？什么叫平方根？p73一般的，一般的，如果如果一个数一个数X的的平方平方等于等于a，即，即x2=a那么那么这个数这个数X叫做叫做a的平方根的平方根（也叫做（也叫做二次方根二次方根）。）。 例如，因为例如，因为3 3和和-3-3的平方都等于的平方都等于9 9，我们就说，我们就说3 3和和- -3 3是是9 9的平方根。也可以说的平方根。也可以说: :9 9的平方根是的平方根是3.如何表示一个数的平方根？如何表示一个数的平方根？13=169（-13）=169，2叫做叫做4的平方根。的平方根。10叫做叫做100的平方根的平方根13叫做叫做169的平方根。的平方根。2=4，（，（-2）=4，10=100，（，（-10）=100，平方根的表示方法、读法平方根的表示方法、读法P74根号根号被开方数被开方数根指数可以省略又叫又叫a的算术平方根的算术平方根例如：自学并讨论？自学并讨论？2.什么叫开平方？见P45 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方是什么关系？见P45a的平方根的平方根底数幂被开方数被开方数互为互为逆运算逆运算指数根号根号已知底数和指数求幂已知底数和指数求幂已知幂和指数求底数已知幂和指数求底数平平方方运运算算开开平平方方运运算算求一个数求一个数a的平方根的运算，叫做的平方根的运算，叫做开平方开平方。所以平方与开平方互为逆运算，根据这种运算关系，可以求一所以平方与开平方互为逆运算，根据这种运算关系，可以求一个数的平方根。个数的平方根。平方平方开平方开平方+1-1+2-2+3-3+1-1+2-2+3-3149149开平方开平方与与平方的对比平方的对比填空填空正正正正数数数数与与与与零零零零任任何何数数幂幂平平方方根根开开方方平平方方运算运算符号符号适用适用范围范围运算结运算结果名称果名称性质性质正数有正数有正数有正数有个平方根个平方根个平方根个平方根, ,它们是它们是它们是它们是, ,零的平方根是零的平方根是零的平方根是零的平方根是,负数负数负数负数. .正数的平方是正数的平方是正数的平方是正数的平方是数数数数;零的平方是零的平方是零的平方是零的平方是;负数的平方是负数的平方是负数的平方是负数的平方是数数数数. .正正正正02互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数0没有平方根没有平方根没有平方根没有平方根自学并讨论？自学并讨论？3.如何求一个数的平方根？见见P45例例4例例2.求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：（1）81；（；（2）；（3）0.49;解解 ： (1) (9)2=81，（2）的平方根是的平方根是 ，(3)(0.7)2=0.49，0.49的平方根为的平方根为0.7即即81的平方根为的平方根为9即：即：即即自学并讨论？自学并讨论？自学并讨论？自学并讨论？4.平方根有什么性质？见见P74 议一议议一议 （1）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？（2）0有几个平方根？有几个平方根？（3）一个负数呢？）一个负数呢？(1)144的平方根是什么的平方根是什么?(2)0的平方根是什么的平方根是什么?(3)的平方根是什么的平方根是什么?(4)-4的平方根是什么的平方根是什么?为什么为什么?从上面的回答中从上面的回答中,你发现了什么你发现了什么?试一试试一试:1208/11没有平方根没有平方根平方根的性质平方根的性质一个正数一个正数a有两个平方根有两个平方根,它们互为相反数它们互为相反数;0只有一个平方根，它是只有一个平方根，它是0本身；本身；负数没有平方根负数没有平方根.记一记！记一记！牢记这个牢记这个性质！性质！知道知道思考？思考？5.平方根与算术平方根有什么异同？平方根与算术平方根有什么异同？议一议！议一议！我们知道，正数我们知道，正数a的算术平方根可以用的算术平方根可以用 表示；正数表示；正数a的负的负的平方根，可以用符号的平方根，可以用符号“ ”表示，正数表示，正数a的平方根可以用的平方根可以用符号符号“ ”表示，读作表示，读作“正、负根号正、负根号a”。讨论讨论平方根与算术平方根之间有什么关系？平方根与算术平方根之间有什么关系？ 总结：总结：1、平方根与算术平方根之间的区别、平方根与算术平方根之间的区别 (1)定义不同：如果定义不同：如果x2=a ，那么，那么x叫做叫做a的平方根。一个正数有的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是有一个平方根，是0本身；负本身；负数没有平方根。数没有平方根。如果如果x2=a ，并且，并且x0，那么，那么x叫做叫做a的算术平方根。一个正数的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。 (2)表示方法不同：正数表示方法不同：正数a的平方根表示为的平方根表示为 ； 正数正数a的算术平方根为的算术平方根为 。(3)平方根等于本身的数是平方根等于本身的数是0； 算术平方根等于本身的数是算术平方根等于本身的数是0或或1。 2、平方根与算术平方根之间的联系、平方根与算术平方根之间的联系 (1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个是平方根中的非负的那一个 。知道一个数的算术平方根，就可。知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它的负的平方根。以立即写出它的负的平方根。(2)存在条件相同：非负数才有平方根和算术平方根。存在条件相同：非负数才有平方根和算术平方根。(3)0的平方根和的平方根和0的算术平方根都是的算术平方根都是0 （1）因为）因为，所以，所以是是的平方根；的平方根；（2）时时，0；0。一、概念理解填空题：一、概念理解填空题：（3）0的平方根可以理解成：的平方根可以理解成：；。所以概括为所以概括为。000小试牛刀小试牛刀巩固练习巩固练习:二、选择题：二、选择题：1、在、在0、9、2、（、（2）2中，有平方根的是（中，有平方根的是（）A、1个个B、2个个C、3个个D、4个个2、数、数16的平方根是（的平方根是（）A、4B、C、4D、4或或43、数、数0.25的平方根是（的平方根是（）A、0.5B、0.05C、0.5D、0.5或或0.54、数（、数（6）2的平方根是（的平方根是（）A、6B、6C、6或或6D、无平方根、无平方根CDDC判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（1）9的平方根是的平方根是3;()（2）49的平方根是的平方根是7；()（3）（）（2）2的平方根是的平方根是2；（；（）（4）1是是1的平方根的平方根;（）（5）若）若X2=16则则X=4（）（6）7的平方根是的平方根是49.()负数没有平方根负数没有平方根难点解析难点解析1.什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？2.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？3.如何求一个数的平方根？如何求一个数的平方根？4.平方根有什么性质？平方根有什么性质？5.平方根与算术平方根有什么异同？平方根与算术平方根有什么异同？学习小结：本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？ 本节课本节课你有哪些收获？你有哪些收获？1 平方根的概念（二次方根）平方根的概念（二次方根）2 开平方运算开平方运算3 平方根的性质平方根的性质4正数正数a的平方根可以用符号的平方根可以用符号“ a”表示，表示， 读作读作“正负根号正负根号a”5 符号符号“ a ” 只有只有a 0时有意义，时有意义， a 0时无意义。时无意义。6 平方根与算术平方根的联系与区别。平方根与算术平方根的联系与区别。一、作业本：习题习题13.1 13.1 第3题第8题二、电脑上： 第十三章第一节算术平方根作业 作业再再见见632（1）100的平方根是的平方根是，的平方根是的平方根是；（2）16的平方根是的平方根是，的平方根是的平方根是；（3）0的平方根是的平方根是；9的平方根是的平方根是。练习：练习：不存在不存在（1）为什么）为什么100、16等数有两个平方根？这两个等数有两个平方根？这两个平方根有什么关系？平方根有什么关系？（2）为什么负数的平方根是不存在？）为什么负数的平方根是不存在？根据以上练习回答下面两个问题：根据以上练习回答下面两个问题：（3）0的平方根情况又如何叙述？的平方根情况又如何叙述？例例1求下列各数的平方根求下列各数的平方根:（1）81（2）（3）（4）0.49（5）169分析分析问：解题思想方法是？问：解题思想方法是？答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。即求出平方等于即求出平方等于81的所有数。的所有数。解：解：（1） 即即8181的平方根是的平方根是（2） 的平方根是的平方根是即即注意：注意：等于等于9；等于等于9例例2下列各数有平方根吗？如果有，求出它的下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。平方根；如果没有，请说明理由。（1）64（2）0（3）（）（4）2解解：（1）因为）因为64是负数，所以是负数，所以64没有平方根没有平方根（2）0有一个平方根，它是有一个平方根，它是0；（3）因为（）因为（4）2=16所以（所以（4）2的平方根就是的平方根就是16的平方根的平方根因此的（因此的（4）2平方根是平方根是三、判断题：三、判断题：（1）114的平方根是的平方根是12与与12；（2）256的平方根是的平方根是16；（3）256的平方根是的平方根是16；（4）5是是25的一个平方根；的一个平方根；（5）5是是25的一个平方根；的一个平方根；（6）1的平方根是的平方根是1；（7）1的平方根是的平方根是1；（8）1是是1的平方根；的平方根；（9）（）（1）2的平方根的平方根1。小结小结1、如果、如果，那么，那么就叫做就叫做的平方根，用的平方根，用来来表示。当表示。当时，有两个平方根，即时，有两个平方根，即，表表示示的正平方根，的正平方根，表示负平方根。表示负平方根。2、开平方与平方、开平方与平方达标训练：达标训练：(1)49(1)49的平方根是（的平方根是（的平方根是（的平方根是（ ），算术平方根是（），算术平方根是（），算术平方根是（），算术平方根是（ ）；）；）；）；(2)0.09(2)0.09的的的的平方根是（平方根是（平方根是（平方根是（ ），算术平方根是（），算术平方根是（），算术平方根是（），算术平方根是（ ）；）；）；）； (3)(3)若若若若 是是是是x x的一个平方根，那么的一个平方根，那么的一个平方根，那么的一个平方根，那么x x的另一个平方根是的另一个平方根是的另一个平方根是的另一个平方根是（ ）；）；）；）；(4)(4)平方根等于它本身的数是（平方根等于它本身的数是（平方根等于它本身的数是（平方根等于它本身的数是（ ），算术平方根等于），算术平方根等于），算术平方根等于），算术平方根等于它本身的数是（它本身的数是（它本身的数是（它本身的数是（ ）；）；）；）；(5) (5) 一个数的平方等于一个数的平方等于一个数的平方等于一个数的平方等于 0.01 0.01 ，这个数是（，这个数是（，这个数是（，这个数是（ ）；）；）；）；(6) (-5)(6) (-5)2 2= =(7)(7)求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：0.810.81， ，0 0，81 81 7 70.30.30.10.170，100.35判断：判断：（1 1）5 5是是2525的算术平方根；的算术平方根；（2 2）-6-6是是 36 36 的算术平方根；的算术平方根；（3 3）0 0的算术平方根是的算术平方根是0 0；（4 4）0.010.01是是0.10.1的算术平方根；的算术平方根；（5 5）-5-5是是-25-25的算术平方根。的算术平方根。对对错错对对错错错错6（2）已知正方形面积是）已知正方形面积是22，那么它的边长是多少，那么它的边长是多少？从问题中产生新的课题从问题中产生新的课题: :S=22？！？！？！？！？！？！？！？！（1）已知正方形面积是）已知正方形面积是42，那么它的边长是多少？，那么它的边长是多少？从问题中产生新的课题从问题中产生新的课题: :S=422222（3）已知正方形面积是）已知正方形面积是a2，那么它的边长是多少？，那么它的边长是多少？从问题中产生新的课题从问题中产生新的课题: :S=a2？！？！？！？！？！？！？！？！（2）已知正方形面积是）已知正方形面积是22，那么它的边长是多，那么它的边长是多少？少？（3）已知正方形面积是）已知正方形面积是a2，那么它的边长是多少？，那么它的边长是多少？S=a2S=22前面的两个问题解决了吗前面的两个问题解决了吗? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根平方根或二次方根二次方根。这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。例如，3和-3是9的平方根，简记为3是9的平方根。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。所以平方与开平方互为逆运算，根据这种运算关系，可以求一个数的平方根。平方开平方+1-1+2-2+3-3+1-1+2-2+3-3149149例题：求下列各数的平方根（1）100（2）（3）0.25归纳正数有个平方根，它们 ；0的平方根是；负数 。两互为相反数0没有平方根