抽象函数与解题策略 2024/9/912024/9/92那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。抽象函数的定义：2024/9/93； 抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，对应的是指数函数对应的是对数函数等等。 当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。2024/9/94 抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。 2024/9/95面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎合理赋值，化抽象为具体；作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；利用函数的性质；分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题；构造与联想。 2024/9/96面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎合理赋值，化抽象为具体；作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；利用函数的性质；分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题；构造与联想等。 2024/9/97是奇函数2024/9/98策略一：赋予特殊值策略一：赋予特殊值例题1、设函数（，且任意实数满足（1）求证：；（2）求证：为偶函数；（3）已知在上为增函数，解不等式），对2024/9/99证明：（1）令令2024/9/910（2）令令，即为偶函数。2024/9/911（3）又或由（2）知f(x)为偶函数，又在上为增函数2024/9/912或2024/9/913例题2、设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。策略二：恒等变形策略二：恒等变形2024/9/914分析：这同样是没有给出函数表达式的（T为非零常数）则为周期函数，抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出且周期为T。2024/9/915证明：已知 得2024/9/916由（3）得由（3）和（4）得上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。2024/9/917例题3、f(x)是定义在R上的函数，且若f(1)=2，求f(2005)的值。，（f(x)0，1）。2024/9/918解：已知2024/9/919解：f(x)是以4为周期的周函数，则2024/9/920例题4、设f(x)是定义在实数集R上的函数，；求证：f(x)是奇函数，又是周期函数。且满足下列关系：。2024/9/921证明：已知又（1）2024/9/922证明：（2）即f(x)是以40为周期的周期函数2024/9/923证明：由（1）式由（2）式综上所述，f(x)是奇函数，又是周期函数。即f(x)是奇函数2024/9/924例题5、已知函数f(x)对于x0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非减函数。（1）证明f(1)=0；（2）若f(x)+f(x2)2成立，求x的取值范围。策略三：利用函数的性质策略三：利用函数的性质2024/9/925解：(1)令x=2,y=1，则f(21)=f(2)+f(1)(2)由已知f(x)+f(x2)=f(x22x) 2，又2=1+1=f(2) +f(2)=f(4) f(1)=0又f(x)为非减的函数f(x22x)f(4)2024/9/926解：x22x4即x22x40x1+或x1已知f(x)对x0有意义，且x20 x22024/9/927策略四：分类讨论策略四：分类讨论例题6、（新）设f(x)是定义在R上的函数，时，且对任意的实数求证：对于任意，都有。当x、y，均有2024/9/928证明：令若，令与已知矛盾2024/9/929当时，综上所述，对于任意，都有。2024/9/930例题7、若对任意实数x和常数a都有成立，试判断f(x)是不是周期函数？为什么？策略五：构造与联想策略五：构造与联想2024/9/931看作是的一个原型，而的周期是的四倍，故可猜想4a是的一个周期可以把分析：观察已知的抽象关系式，可以联想到极其相似它与2024/9/932证明：2024/9/933即f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期。2024/9/934例题8、对每一实数对x、y，函数f(t)满足。若，试求满足的整数t的个数。2024/9/935解：令，得令，得，又令，得2024/9/936令，得（）即当y为正整数时，由，2024/9/937，即对于一切大于1的正数t恒有又由（）式下证明，当整数时，恒有：2024/9/938由（）式即同理可得2024/9/939相加，即当整数时，恒有综上所述，满足的整数只有2024/9/940综合例题解析综合例题解析例题9、设函数定义在R上，当时，且对任意，有，当时。（1）证明2024/9/941 （2）证明：在R上是增函数；若，求满足的条件。，（3）设2024/9/942解：（1）令得或，当时，有，这与当时，矛盾，。若2024/9/943（2），则，由已知得，由若时，由2024/9/944 2024/9/945（3）由得由得（2）2024/9/946从（1）、（2）中消去得因为 即2024/9/947例题10、已知定义在R上的函数（1）值域为，且当时，；，均满足：试回答下列问题： 满足：（2）对于定义域内任意的实数2024/9/948（1）试求的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若函数存在反函数，求证：2024/9/949解：（1）在中，令，即2024/9/950解：函数的值域为 。也即：2024/9/951解：在中，令，得函数为奇函数（2）由（1）知，2024/9/952解：（）式2024/9/953解：，且，则且函数在R上单调递减。2024/9/954解： （3）由（2）知函数在R上单调递减，则函数必存在反函数，则也为奇函数，且在上单调递减，且当时，2024/9/955解：由（2）中（）式得2024/9/956解： 令，则，则上式可改写为:不难验证：对于任意的上式都成立。（根据一一对应）2024/9/957解：2024/9/958解：2024/9/959例题11、设是定义在区间上的函数，且满足条件：(i)(ii)对任意的，都有。2024/9/960（1）证明：对任意的，都有（2）证明：对任意的，都有（3）在区间上是否存在满足题设，且使得；条件的奇函数2024/9/961若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。2024/9/962已知对任意的，有，（1）证明：2024/9/963（2）证明：时，对任意的，命题成立；当时，由可知，不妨设当2024/9/964（2）证明：都有综上所述，对任意的，都有2024/9/965（3）解： 答：满足条件的函数不存在。假设存在函数满足条件，理由如下：2024/9/966解：，为奇函数又2024/9/967解：，矛盾，即假设不成立，所以，满足条件的函数不存在。2024/9/9682024/9/969