第十八章 平行四边形小结和复习小结和复习 第十八章 平行四边形四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形四边形四边形两组对边两组对边分别平行分别平行平行四边形平行四边形矩形矩形一个角是直角一个角是直角菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一个角是直角一个角是直角一个角是直角一个角是直角1.1.四边形与特殊四边形的四边形与特殊四边形的关系关系关关 系系 图图要点回眸要点回眸四边形平行四边形矩形菱形正方形四边形两组对边平行四边形矩形一对边平行且对边平行且相等相等对边平行且对边平行且相等相等对边平行对边平行且四边相等且四边相等对边平行对边平行且四边相等且四边相等对角相等对角相等邻角互补邻角互补四个角四个角都是直角都是直角对角相等对角相等邻角互补邻角互补四个角四个角都是直角都是直角对角线互相平分对角线互相平分对角线互相平对角线互相平分且相等分且相等对角线互相垂直平对角线互相垂直平分，且每一条对角分，且每一条对角线平分一组对角线平分一组对角对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分且相等，每一条对角且相等，每一条对角线平分一组对角线平分一组对角中心对称中心对称图形图形中心对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形中心对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形中心对称图形中心对称图形轴对称图形轴对称图形2.几种特殊四边形的性质：几种特殊四边形的性质：对边平行且相等对边平行且对边平行对边平行对角相等四个角对角相3.几种特殊四边形的常用判定方法：几种特殊四边形的常用判定方法：1.定义：两组对边分别平行的四边形定义：两组对边分别平行的四边形 2.两组对边分别相等的四边形两组对边分别相等的四边形3.一组对边平行且相等的四边形一组对边平行且相等的四边形 4.对角线互相平分的四边形对角线互相平分的四边形1.定义：有一角是直角的平行四边形定义：有一角是直角的平行四边形 2.三个角是直角的四边形三个角是直角的四边形3.对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形1.定义：一组邻边相等的平行四边形定义：一组邻边相等的平行四边形 2.四条边都相等的四边形四条边都相等的四边形 3.对角线互相垂直的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2.有一组邻边相等的矩形有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形有一个角是直角的菱形3.几种特殊四边形的常用判定方法：1.定义：两组对边分别平行题型一题型一平行四边形的性质与判定平行四边形的性质与判定2如图如图 ，在平行四边形，在平行四边形 ABCD中，已知中，已知ODA90， AC10 cm，BD6 cm，则，则AD的长为（的长为（ ）A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm A1.如图，如图，口口ABCD与与口口DCFE的周长相等，且的周长相等，且BAD=60，F=110，则，则DAE的度数为的度数为 第第1题图题图第第2题图题图25考题分类考题分类题型一平行四边形的性质与判定2如图 ，在平行四边形 AB3如图如图,ABCD中，点中，点O是是AC与与BD的交点，过点的交点，过点O的直线的直线与与BA、DC的延长线分别交于点的延长线分别交于点E、F.(1)求证：求证：AOECOF；解：解：(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AOOC，ABCD.EF.又又AOECOF.AOECOF(AAS)(2)请连接请连接EC、AF，则，则EF与与AC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并说明理由是矩形？并说明理由3如图,ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线(2)连接连接EC、AF，则，则EF与与AC满足满足EFAC时，四边形时，四边形AECF是矩形是矩形理由如下：理由如下：由由(1)可知可知AOECOF，OEOF.AOCO，四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形EFAC，四边形四边形AECF是矩形是矩形(2)连接EC、AF，则EF与AC满足EFAC时，四边形A题型二题型二特殊平行四边形的性质与判定应用特殊平行四边形的性质与判定应用1.如图如图1，在矩形，在矩形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，点，点E，F分别是分别是AO、AD的中点，若的中点，若AB=6cm ,BC=8cm,则则AEF的周长的周长= cm.ABCDFEO92如图如图2， P 是菱形是菱形 ABCD 对角线对角线 BD 上的一点，上的一点，PEAB 于点于点 E，PE4 cm，则点，则点 P 到到 BC 的距离是的距离是_cm.4题型二特殊平行四边形的性质与判定应用1.如图1，在矩形ABC3如图如图1 四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ACD=30，BD=6cm,那么那么BAD= ，AB= cm, AC= cm.6064.如图如图 2，在正方形，在正方形 ABCD 中，中，E为对角线为对角线 AC 上的一点，连上的一点，连接接EB，ED.延长延长 BE 交交 AD 于点于点 F，若，若DEB140，那么，那么AFE 的度数是的度数是 .655.如如图3，四，四边形形ABCD是菱形，是菱形，对角角线AC=8，DB=6，DEBC于点于点E，则DE的的长为 .ABCDO图图1图图2图图34.83如图1 四边形ABCD是菱形，ACD=30，BD=66.过正方形过正方形ABCD对角线对角线BD上的一点上的一点P，作，作PEBC于于E，PFCD于于F.求证：求证：AP=EF.ABCDEFP证明：证明：连结连结AC、PC四边形四边形ABCD是正方形是正方形BD垂直且平分垂直且平分ACPA=PCPEBC，PFCD，BCD=90四边形四边形PECF是矩形是矩形EF=PCAP=EF6.过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PEBC于E，题型三题型三特殊平行四形的综合应用特殊平行四形的综合应用1.如图，在如图，在ABC中，分别以中，分别以AB,AC,BC为边在为边在BC的同侧作的同侧作等边三角形等边三角形ABD,ACE,BC F。（1）求证：四边形）求证：四边形DAEF是平行四边形；是平行四边形；（1）证题思路：）证题思路：先要证明先要证明FDBCAB（SAS）可得）可得AC=DF，再由，再由AEC是等边三角形，是等边三角形，则有则有AC=AE，所以有，所以有AE=DF；同理可；同理可证得证得AD=EF，故命题得证。，故命题得证。题型三特殊平行四形的综合应用1.如图，在ABC中，分别以A1.如图，在如图，在ABC中，分别以中，分别以AB,AC,BC为边在为边在BC的同侧作的同侧作等边三角形等边三角形ABD,ACE,BC（2）探究下列问题）探究下列问题当当ABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？是矩形？当当ABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？是菱形？当当ABC满足什么条件时，以满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四边形不存为顶点的四边形不存在？在？当当ABC满足什么条件时，平行四边形是正方形满足什么条件时，平行四边形是正方形.BAC=150AB=ACBAC=60AB=AC且且BAC=1501.如图，在ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同2如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为2的正方形，点的正方形，点G是是BC延延长线上一点，连接长线上一点，连接AG，点，点E、F分别在分别在AG上，连接上，连接BE、DF，12，34.(1)证明：证明：ABEDAF；(2)若若AGB30，求，求EF的长的长2如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线平行四边形小结与复习题型四题型四中点四边形及三角形中位线中点四边形及三角形中位线解题小结：依次连接四边形各边中点所得到的新四边形解题小结：依次连接四边形各边中点所得到的新四边形(即即中点四边形）的形状与原四边形对角线的关系中点四边形）的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等、垂直、相等且垂直相等且垂直)有关有关1.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是边分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件即的中点，请添加一个条件即 ，使得四边形使得四边形EFGH为菱形为菱形.AC=BD题型四中点四边形及三角形中位线解题小结：依次连接四边形各边中1.如图如图1，在四边形，在四边形ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AP、BP的中点，的中点，当点当点P在线段在线段CD上从点上从点C向点向点D移动时，线段移动时，线段EF的长度将的长度将 （填（填“变大变大”、“变小变小”或或“不变不变”）.2.已知：如图已知：如图2，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形的中点求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形图图2对应训练：对应训练：不变不变1.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AP、BP的中 1.如图在边长为如图在边长为2cm的正方形的正方形ABCD中，点中，点Q为为BC边的中边的中点，点点，点P为对角线为对角线AC上一动点，连接上一动点，连接PB、PQ,则则 周长的最小值是周长的最小值是 cm (结果不取近似值）结果不取近似值）.A D PB Q C题型五题型五特殊平行四边形的对称性特殊平行四边形的对称性2如图如图 在平面直角坐标系中，菱形在平面直角坐标系中，菱形 OACB 的顶点在原点，的顶点在原点，点点 C 的坐标为的坐标为(4,0)，点，点 B 的纵坐标是的纵坐标是1，则顶点，则顶点 A 的坐的坐标是标是 .yxoABC(2,1) 1.如图在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为题型六题型六创新作图类创新作图类创创新新作作图图尺尺规规作作图图1.如如图图，已已知知AOB，OA=OB，点点E在在OB边边上上，四四边边形形AEBF是是矩矩形形请请你你只只用用无无刻刻度度的的直直尺尺在在图图中中画画AOB的的平平分线分线 (请保留画图痕迹）请保留画图痕迹）.AFOBEP题型六创新作图类创新作图尺规作图1.如图，已知AOB，OA2.如如图图，在在正正方方形形ABCD中中，点点M是是BC边边上上任任意意一一点点，请请你你仅仅用用无无刻刻度度直直尺尺、用用连连线线的的方方法法，分分别别在在图图（1）、图图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在图（）在图（1）中，）中，AB边上求作一点边上求作一点N，连接，连接CN，使，使CN=AM ； （2）在图（）在图（2）中，）中，AB边上求作一点边上求作一点Q，连接，连接CQ，使，使CN/AM ； ABCDM图（图（1）ABCDM图（图（2）NEON2.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅1.四边形与特殊平行四形的关系；四边形与特殊平行四形的关系； 2.平行四边形与特殊平行四形的性质与判定；平行四边形与特殊平行四形的性质与判定； 3.三角形中位线与中点四边形；三角形中位线与中点四边形； 4.特殊平行四边形的对称性；特殊平行四边形的对称性； 5.与特殊平行四边形有关的创新作图与特殊平行四边形有关的创新作图. 复习归纳复习归纳1.四边形与特殊平行四形的关系； 2.平行四边形与特殊平行四1将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，平， 得到的图形是得到的图形是（ ） (第1题)C课后演练课后演练1将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺 A第第3题图题图BA第3题图B2D2D6.如果平行四边形的两邻边分别为如果平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必，那么其对角线必 ()A大于大于1 B小于小于7C大于大于1且小于且小于7 D小于小于7或大于或大于1C6.如果平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必C8.矩形矩形ABCD中，中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使，若将矩形折叠，使C点与点与点点A重合，求折痕重合，求折痕EF的长的长.解题要点：解题要点：1.先利用勾股定理求出先利用勾股定理求出AC=5；2.设设BE=x,则则CE=4-x,由折叠可知由折叠可知AE=CE=4-x,在在RtABE中利用中利用勾股定理建立方程求得勾股定理建立方程求得x=7/8;3.EF是折痕，是折痕，AC被被EF垂直平分，垂直平分，在在RtAEO中，求得中，求得EO=15/8；4.EF=15/4.8.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点 答案答案 略略答案答案 4答案 略答案 4答案答案 8答案答案 4n答案 8答案 4n