第五章第五章 刚体的转动刚体的转动5-1 刚体的平动和转动刚体的平动和转动 刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动。止平行的运动，叫做平动。二二.刚体的三种基本运动形态刚体的三种基本运动形态 在外力的作用下，形状和大小完全不变的物体称在外力的作用下，形状和大小完全不变的物体称为刚体。为刚体。一一.刚体的概念刚体的概念1.平动平动ABABAB 运动中的刚体上的各点都绕运动中的刚体上的各点都绕 作大小不同的圆作大小不同的圆运动，这种运动称为定运动，这种运动称为定 转动。转动。2.转动转动点点轴轴点点轴轴如车轮的转动：如车轮的转动：ABoABoABoABoABoABoABoABoABoABo 平动平动+ +转动转动= =平面平行运动，如火车轮子的运动：平面平行运动，如火车轮子的运动：3.平面平行运动平面平行运动OABoABoABoABo三三.刚体定轴转动的角量描述刚体定轴转动的角量描述角角位置：位置：1.角量角量t 时刻时刻时刻时刻角加速度：角加速度：角位移：角位移：角速度：角速度：P(t)xO时间内时间内角量与线量的对应关系：角量与线量的对应关系：2.角量与线量的关系角量与线量的关系R21是定值的转动称为：是定值的转动称为：匀角速转动匀角速转动匀变速转动匀变速转动是定值的转动称作：是定值的转动称作：O匀变速直线运动与刚体匀变速转动的对应关系：匀变速直线运动与刚体匀变速转动的对应关系： 为恒值为恒值 为恒矢为恒矢 3.运动规律运动规律例例1. .一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为，一飞轮作减速运动，其角加速度与角速度关系为， ，k为比例系数，设初始角速度为为比例系数，设初始角速度为 。求：。求：飞轮角速度与时间的关系；飞轮角速度与时间的关系；当角速度由当角速度由 时时所需的时间及在此时间内飞轮转过的圈数。所需的时间及在此时间内飞轮转过的圈数。解：解：在此时间内飞轮转过的圈数在此时间内飞轮转过的圈数注：注：5-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量表示式：表示式：一一.力对转轴的力对转轴的力矩力矩1.定义：定义：转轴到力的作用点的矢径与转轴到力的作用点的矢径与作用力的差积。作用力的差积。正负规定：正负规定： 若力矩使刚体沿若力矩使刚体沿时针方向转动，时针方向转动，M为为 。正正逆逆顺顺负负大小：大小：方向：方向：由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定的方向由右手螺旋法则确定的方向由右手螺旋法则确定 （与（与 的方向一致）的方向一致）2.说明说明合力矩合力矩 合力的力矩合力的力矩合力矩合力矩= =各力的力矩和（代数和）各力的力矩和（代数和）中心力（过转轴的力）的中心力（过转轴的力）的 力矩力矩00。 合力为零，合力矩不一定为零合力为零，合力矩不一定为零 合力矩为零，合力不一定为零合力矩为零，合力不一定为零力不在垂直于转轴的平面内，力不在垂直于转轴的平面内， 只有只有 对转轴力矩有贡献。对转轴力矩有贡献。一对作用力与反作用力的力矩和等于零，一对作用力与反作用力的力矩和等于零， 质点组对任一轴的内力矩之和为零。质点组对任一轴的内力矩之和为零。二二.转动定律转动定律矢量式：矢量式：基本思想：基本思想：把刚体看作质元把刚体看作质元 的集合。的集合。1.推导推导切向式：切向式：对整个刚体：对整个刚体：以以 遍乘切向式：遍乘切向式：刚体所受的合外力矩：刚体所受的合外力矩： 内力矩和内力矩和 =定义：定义：转动定律转动定律为刚体的转动惯量为刚体的转动惯量2.牛顿第二定律与转动定律的对应关系牛顿第二定律与转动定律的对应关系物理量：物理量：M规规 律：律：mJ刚体刚体质点质点刚体刚体质点质点牛顿第二定律牛顿第二定律转动定律转动定律不一定不一定问：问：M大，是否大，是否 大？大？大，是否大，是否M大？大？不一定不一定问：刚体所受合外力为零时，它一定不会转动起来吗？问：刚体所受合外力为零时，它一定不会转动起来吗？不一定不一定该定律不但对固定轴该定律不但对固定轴( (转轴转轴) )成立，对质心轴也成立。成立，对质心轴也成立。该定律是力矩的瞬时作用规律。该定律是力矩的瞬时作用规律。3.说明说明 式中各量是对于同一式中各量是对于同一 转轴而言。转轴而言。力矩是改变刚体转动状态的外因。力矩是改变刚体转动状态的外因。2.可加性可加性1.定义定义三三.转动惯量转动惯量对分离的质点组：对分离的质点组：转轴转轴质量连续分布的物体对转轴的转动惯量：质量连续分布的物体对转轴的转动惯量：J是刚体转动惯性大小的量度是刚体转动惯性大小的量度3.物理意义物理意义单质点：单质点：与转轴的位置有关。与转轴的位置有关。与刚体的总质量有关；与刚体的总质量有关；与刚体质量的分布有关；与刚体质量的分布有关；4.J与哪些因素有关与哪些因素有关复复 习习力对转轴的力矩力对转轴的力矩转动定律转动定律转动惯量转动惯量rxdx取取ox轴如图所示，取棍上一线轴如图所示，取棍上一线元元dx为质元，为质元，xO转动惯量：转动惯量：例例2.质量为质量为m、长度为、长度为l 的均质细直棍，求对通过其中心的均质细直棍，求对通过其中心O且与棍斜交成且与棍斜交成 角的轴的转动惯量。角的轴的转动惯量。5. J 计算应用举例计算应用举例至转轴的距离：至转轴的距离：解：解：其质量：其质量：当当 ， 即为棍对过它的即为棍对过它的 中心且与棍垂直的转轴的转动惯量。中心且与棍垂直的转轴的转动惯量。 刚体对某轴的转动惯量刚体对某轴的转动惯量 J，等于，等于刚体对通过质心的平行轴的转动刚体对通过质心的平行轴的转动惯量惯量 , , 加上刚体质量加上刚体质量m乘以两乘以两平行轴之间的距离平行轴之间的距离d 的平方。即的平方。即过棒一端过棒一端 、仍与棍斜交成、仍与棍斜交成 角的轴的转动角的轴的转动 惯量惯量 。讨论：讨论：由平行轴定理：由平行轴定理：rxdxxOd为棍对过棍一端、为棍对过棍一端、 且与且与讨论：讨论：棍垂直的轴的转动惯量。棍垂直的轴的转动惯量。 rxdxxOd例例3.如图，均质大圆盘质量为如图，均质大圆盘质量为M，半径为，半径为R，对于过圆心，对于过圆心O点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为MR2/2。如果在大。如果在大圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为圆盘中挖去图示的一个小圆盘，其质量为m，半径为，半径为r，且且 R = 2r。求挖去小圆盘后剩余部分对于过。求挖去小圆盘后剩余部分对于过O点且垂直于点且垂直于盘面的转轴的转动惯量。盘面的转轴的转动惯量。解：解：所以实心部分对所以实心部分对O轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：大圆盘对大圆盘对O轴的转动惯量：轴的转动惯量：J1 = MR2/2小圆盘对小圆盘对O轴的转动惯量：轴的转动惯量： J2=mr 2/2 + mr 2= 3mr 2/2RrMmOR例例4. .求半径为求半径为R，质量为，质量为m的均匀半圆环相对于图中所示轴的均匀半圆环相对于图中所示轴线的转动惯量。线的转动惯量。取弧元取弧元ds，rds解：解：解：解：对象：对象：受力分析：如图所示受力分析：如图所示依牛顿第二定律与转动定律列方程依牛顿第二定律与转动定律列方程h 例例5.一质量为一质量为 、半径为、半径为R的定滑轮上面绕有细绳，绳的的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮上一端固定在滑轮上, ,另一端挂有一质量为另一端挂有一质量为 的物体而下的物体而下垂，略去轮轴处的摩擦，求物体垂，略去轮轴处的摩擦，求物体 由静止下落由静止下落h高度时高度时的速度和此时轮的角速度。的速度和此时轮的角速度。m1：m2：刚体刚体质点质点找关系找关系 解方程解方程 h例例6.质量为质量为5kg的一桶水悬于绕在辘轳上的绳子下端，辘的一桶水悬于绕在辘轳上的绳子下端，辘轳可视为一质量为轳可视为一质量为 10 kg 的圆柱体，桶从井口由静止释的圆柱体，桶从井口由静止释放，求桶下落过程中的张力。辘轳绕轴转动时的转动惯放，求桶下落过程中的张力。辘轳绕轴转动时的转动惯量为量为MR2/2，其中，其中M和和R分别为辘轳的质量和半径，摩擦分别为辘轳的质量和半径，摩擦忽略不计。忽略不计。mMR解：解： 对象对象M+mM：m：解得：解得：例例7. 质量为质量为M1=24kg的鼓形轮，可绕水平光滑固定的轴转的鼓形轮，可绕水平光滑固定的轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为 M2=5kg 的圆的圆盘定滑轮悬有盘定滑轮悬有 m=10kg 的物体。求当重物由静止开始下降的物体。求当重物由静止开始下降了了h=0.5m时，时，物体的速度；物体的速度；绳中张力。（设绳与定滑绳中张力。（设绳与定滑轮之间无相对滑动，鼓轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横轮之间无相对滑动，鼓轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为截面的水平光滑轴的转动惯量分别为mRM1M2解：解：对象：对象：M1、 M2 、m受力分析：受力分析：如图如图列方程列方程（书（书 P125 5-15）M1：M2：m：求解联立方程得求解联立方程得:mRM1M2例例8. .质质量量m、长长为为l的的均均质质细细杆杆，可可绕绕其其一一端端的的水水平平固固定定轴轴O转转动动，将将杆杆从从水水平平位位置置释释放放，如如图图。试试求求：转转到到任任一一角角 时，杆的角加速度时，杆的角加速度 等于多少？等于多少？此时的角速度此时的角速度 等于多少？等于多少？杆杆进行受力与受力矩分析进行受力与受力矩分析依转动定律列方程依转动定律列方程l解：解：O对象：对象：由由 lO讨论：讨论：越小，越小， 值越大；值越大； 越大，越大， 值越大。值越大。当当 时，时，例例9. 以以20Nm的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速由零增大到内该轮的转速由零增大到100rev/min，此时移去该力矩，此时移去该力矩，转轮在摩擦力矩的作用下，经转轮在摩擦力矩的作用下，经100s而停止，试推算此转轮而停止，试推算此转轮对其固定轴的转动惯量。对其固定轴的转动惯量。解：解：有外力矩作用时有外力矩作用时 由转动定律有由转动定律有无外力矩作用时无外力矩作用时 解得：解得：其中其中M=20Nm，m2复复 习习转动定律：转动定律：5-3 刚体定轴转动动能刚体定轴转动动能 力矩的功力矩的功 一一. .转动动能转动动能 二二.力矩的功力矩的功x质点：质点：1.力矩的功力矩的功O力作的元功：力作的元功：刚体：刚体：（转动动能）（转动动能）（平动动能）（平动动能）力矩所作的元功：力矩所作的元功： 2.转动动能定理转动动能定理合合外外力力矩矩对对刚刚体体所所作作的的功功，等等于于刚刚体体转转动动能的增量。动动能的增量。转动动能定理：转动动能定理：力矩所作的功：力矩所作的功： xO应用该定理时只需分析始态与末态。应用该定理时只需分析始态与末态。 是相对量。是相对量。3.说明说明转动动能定理的表达式为标量式。转动动能定理的表达式为标量式。例例8. .质质量量m、长长为为l的的均均质质细细杆杆，可可绕绕其其一一端端的的水水平平固固定定轴轴O转转动动，将将杆杆从从水水平平位位置置释释放放，如如图图。试试求求：转转到到任任一一角角 时，杆的角加速度时，杆的角加速度 等于多少？等于多少？此时的角速度此时的角速度 等于多少？等于多少？例例10.用转动动能定理求解例用转动动能定理求解例8。解：解：由转动动能定理有：由转动动能定理有：l杆杆对象：对象：O3.机械能守恒定律机械能守恒定律只有保守力作功时，机械能守恒。即只有保守力作功时，机械能守恒。即重力势能：重力势能：为刚体质心处的重力势能为刚体质心处的重力势能例例11.用机械能守恒定律求解例用机械能守恒定律求解例8中中 的。的。在杆转动的过程中，由于只有重力作功，故机械在杆转动的过程中，由于只有重力作功，故机械能能守恒。取杆的水平位置为势能零点，有守恒。取杆的水平位置为势能零点，有l例例8. .质质量量m、长长为为l的的均均质质细细杆杆，可可绕绕其其一一端端的的水水平平固固定定轴轴O转转动动，将将杆杆从从水水平平位位置置释释放放，如如图图。试试求求：转转到到任任一一角角 时，杆的角加速度时，杆的角加速度 等于多少？等于多少？此时的角速度此时的角速度 等于多少？等于多少？解：解：O1.质点的角动量质点的角动量2.刚体的角动量刚体的角动量 5-4 绕定轴转动的刚体的角动量和绕定轴转动的刚体的角动量和 角动量守恒定律角动量守恒定律一一.角动量（动量矩）角动量（动量矩） L的方向与的方向与 的方向相同。的方向相同。3. 的角动量量纲相同的角动量量纲相同质点质点刚体刚体二二.刚体对转轴刚体对转轴角动量定理角动量定理冲量矩冲量矩 （角冲量）（角冲量）质点的角动量定理：质点的角动量定理：刚体对转轴的角动量定理：刚体对转轴的角动量定理：合外力矩的冲量矩合外力矩的冲量矩 = 角动量的增量。角动量的增量。三三. .角动量守恒定律角动量守恒定律1. .守恒律守恒律若刚体所受的合外力矩为零，则其若刚体所受的合外力矩为零，则其总角动量保持不变。总角动量保持不变。角动量守恒定律：角动量守恒定律：质点的角动量守恒定律：质点的角动量守恒定律：不变，不变，2.说明说明条件分析：条件分析：即力矩的和为零。即力矩的和为零。.一个一个J不变，不变， 不变，不变，J变，变， 变，变，角动量守恒的几种情况角动量守恒的几种情况.几个几个若人所受的若人所受的 ，则人的，则人的角动量也守恒。角动量也守恒。.推广至人推广至人刚体刚体质点质点角动量守恒。角动量守恒。系统的角系统的角动量守恒动量守恒质点质点刚体刚体例例12. .一根长为一根长为 、质量为、质量为 的均匀细棒，其一端挂在的均匀细棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静此于竖直位置。今有一子弹质量一个水平光滑轴上而静此于竖直位置。今有一子弹质量为为 、以水平速度、以水平速度 射入棒下端距轴高度为射入棒下端距轴高度为a处如图。处如图。子弹射入后嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置子弹射入后嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置 ，求子弹的水平速度求子弹的水平速度 的大小？的大小？第二阶段第二阶段棒棒 刚体刚体子弹子弹 质点质点a过程分析：过程分析：第一阶段第一阶段解：解：对象：对象：列方程列方程解得：解得： 角动量守恒。角动量守恒。 只有重力作功，故机械能守恒。只有重力作功，故机械能守恒。第一阶段：第一阶段：第二阶段：第二阶段：a例例13.如图所示，半径为如图所示，半径为R、质量为、质量为m的水平转台，以角速的水平转台，以角速度度 绕中心处的铅直轴转动。台上站有绕中心处的铅直轴转动。台上站有4人，质量各等人，质量各等于转台质量的于转台质量的 ；2人站于台边人站于台边A处，处，2人站于距圆心人站于距圆心 的的B处。今台边处。今台边2人相对圆台以速度人相对圆台以速度 循转台转向沿圆周循转台转向沿圆周走动，同时另走动，同时另2人相对圆台以速度人相对圆台以速度 逆圆台转向沿圆周逆圆台转向沿圆周走动，求圆台这时的角速度走动，求圆台这时的角速度 等于多少？等于多少？ BORA解：解： 对象：对象：条件分析：条件分析：转台转台 刚体刚体4个人个人 质点组质点组 受重力及轴的支托力，受重力及轴的支托力， 且皆与转轴平行，知且皆与转轴平行，知由于系统只由于系统只以地面为参考系以地面为参考系状态分析：状态分析： 转台转台台边台边2 2人人台中台中2 2人人转转 台台台边台边2 2人人台中台中2 2人人，故系统角动量守恒。，故系统角动量守恒。人走动前人走动前人走动后人走动后BORA依角动量守恒定律列方程依角动量守恒定律列方程解得：解得：结论结论： 多物体组成的系统的角动量可叠加多物体组成的系统的角动量可叠加例例14.一块宽一块宽L、质量、质量M=1kg的均匀薄木板，可绕水平固定的均匀薄木板，可绕水平固定轴无摩擦地自由转动。当木板静止在平衡位置时，有一轴无摩擦地自由转动。当木板静止在平衡位置时，有一质量为质量为m =1010-3kg的子弹垂直击中木板的子弹垂直击中木板A点，点，A离转轴离转轴的距离的距离 l ，子弹击中木板前的速度为，子弹击中木板前的速度为500ms-1，穿出木板后的速度为，穿出木板后的速度为200ms-1。求：。求：子弹给予木子弹给予木板的冲量，板的冲量，木板获得的角速度。（木板绕轴的转动惯木板获得的角速度。（木板绕轴的转动惯量量J = ML2/3）OAL解：解： 子弹的冲量为子弹的冲量为 子弹给予木板的冲量为：子弹给予木板的冲量为：l 子弹射入并穿出木板，系统的角动量守恒。子弹射入并穿出木板，系统的角动量守恒。 解得：解得：OALl质点平动质点平动刚体定轴转动刚体定轴转动速度速度加速度加速度质量质量 m角速度角速度角加速度角加速度转动惯量转动惯量牛顿第二定律牛顿第二定律转动定律转动定律动量动量角动量角动量动量定理动量定理角动量定理角动量定理质点平动和刚体定轴转动的比较质点平动和刚体定轴转动的比较力矩力矩角动量角动量质点平动质点平动刚体定轴转动刚体定轴转动力的功力的功力矩的功力矩的功平动能平动能转动能转动能动能定理动能定理转动动能定理转动动能定理重力势能重力势能重力势能重力势能机械能守恒定律机械能守恒定律只有保守力作功，只有保守力作功，机械能守恒定律机械能守恒定律只有保守力作功，只有保守力作功，动量守恒定律：动量守恒定律：角动量守恒定律：角动量守恒定律：本章小结本章小结主要公式：主要公式：转动惯量转动惯量刚体的角动量刚体的角动量力矩力矩角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律转动定律转动定律基本要求：基本要求：了解转动惯量概念，理解刚体绕定轴转动的了解转动惯量概念，理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体绕定轴转动情况下的角动量转动定律和刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。守恒定律。复复 习习功功力矩作的功：力矩作的功：转动动能定理转动动能定理力作的功：力作的功：机械能守恒定律机械能守恒定律只有保守力作功时，只有保守力作功时，角动量定理角动量定理质点：质点：刚体：刚体：角动量守恒定理角动量守恒定理角动量角动量质点：质点：刚体：刚体：复复 习习角量与线量的关系：角量与线量的关系：复复 习习转动定律转动定律转动惯量转动惯量功功力矩作的功：力矩作的功：转动动能定理转动动能定理力作的功：力作的功：机械能守恒定律机械能守恒定律只有保守力作功时，只有保守力作功时，d R例例5.求质量为求质量为m，半径为，半径为R的细圆环对过环心垂直于环面的的细圆环对过环心垂直于环面的转轴的转动惯量。转轴的转动惯量。圆环的线密度为圆环的线密度为dl解：解： =m/2 R环上取小质元环上取小质元 dm ，则，则 dm= dl = Rd 下图中，滑轮两边张力不相同下图中，滑轮两边张力不相同 ，两物体的加速度相，两物体的加速度相同。（绳不可伸长）同。（绳不可伸长）Mm1m2MMm1m2应用该定理时只需分析始态与末态。应用该定理时只需分析始态与末态。 是相对量。是相对量。3.说明说明转动动能定理的表达式为标量式。转动动能定理的表达式为标量式。机械能守恒定律：机械能守恒定律： 只有保守力作功时，只有保守力作功时，刚体对转轴的角动量：刚体对转轴的角动量：刚体的角动量定理：刚体的角动量定理：刚体的角动量守恒定理：刚体的角动量守恒定理：例例9.两类冲击摆如图所示。两类冲击摆如图所示。(a)中中M长为长为l的均质杆，而的均质杆，而(b)中中M由长为由长为l的轻绳悬挂。现有质量为的轻绳悬挂。现有质量为m的子弹以速度的子弹以速度 水平射入水平射入M下端后不穿出。求下端后不穿出。求(a)、(b)两种情况下，子弹两种情况下，子弹m陷入陷入M后共同的速度大小。后共同的速度大小。lmM(a)Mm(b)解：解：系统系统(a)系统的动量不守恒，角系统的动量不守恒，角动量守恒。动量守恒。 设相撞后的设相撞后的共同角速度为共同角速度为 ，则，则 设子弹设子弹m陷入陷入M后共同后共同的速度大小为的速度大小为 v v，则，则(b)系统的动量在水平方向守恒。系统的动量在水平方向守恒。子弹子弹m陷入陷入M后共同的速度大小为：后共同的速度大小为：例例10.有一半径为有一半径为R的匀质圆形水平台可绕通过盘心且垂直的匀质圆形水平台可绕通过盘心且垂直于盘面的竖直轴于盘面的竖直轴 转动，转动惯量为转动，转动惯量为J。台上一人质量。台上一人质量为为m，当他站在离转轴，当他站在离转轴r 处处(r R)，转台与人以角速度，转台与人以角速度 旋转；当人走到台边缘时，转台与人一起转动的角速度旋转；当人走到台边缘时，转台与人一起转动的角速度 为多少？为多少？R解：解：人从人从r走到走到R处的过程中，他所处的过程中，他所受的合外力矩为零，转台所受受的合外力矩为零，转台所受的力矩也为零，故系统的角动的力矩也为零，故系统的角动量守恒。量守恒。or作业：作业：