推理与证明解读浙江省教育厅教研浙江省教育厅教研室室张张 金金 良良一、内容解读 “推推理理与与证明明”是是数数学学的的基基本本思思维过程程，也也是是人人们学学习和和生生活活中中经常常使使用用的的思思维方方式式。推推理理一一般般包包括括合情推理和演合情推理和演绎推理。推理。内容结构 推理与证明推理与证明 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理 归纳归纳 类比类比 直接证明直接证明 间接证明间接证明 综合法综合法 分析法分析法 数学归纳法数学归纳法 反证法反证法 思维方法思维方法 数学文化数学文化 推推理理与与证明明贯穿穿于于高高中中数数学学的的整整个个体体系系，它它的的学学习是是新新课标教教材材的的一一个个亮亮点点，是是对以以前前所所学学知知识与与方方法的法的总结、归纳，并，并对后后继学学习起到引起到引领的作用。的作用。 合情推理合情推理 合合情情推推理理是是根根据据已已有有的的事事实和和正正确确的的结论（包包括括定定义、公公理理、定定理理等等）、实验和和实践践的的结果果，以以及及个个人人的的经验和和直直觉等等推推测某某些些结果果的的推推理理过程程。归纳、类比比是是合合情情推推理理常常用用的的思思维方法。方法。 演演绎推理推理 演演绎推推理理是是根根据据已已有有的的事事实和和正正确确的的结论（包包括括定定义、公公理理、定定理理等等），按按照照严格格的的逻辑法法则得到新得到新结论的推理的推理过程。程。例例 大前提大前提:马有四条腿马有四条腿;小前提小前提:白马是马白马是马;结论结论:白马有四条腿白马有四条腿.它是从一般到特殊的推理它是从一般到特殊的推理.演绎推理的主要形式就是演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.用三段论证明用三段论证明合情推理与演合情推理与演绎推理的作用推理的作用 合合情情推推理理具具有有猜猜测和和发现新新结论、探探索索和和提提供供解解决决问题的的思思路路和和方方法法的的作作用用；演演绎推推理理则具具有有证明明结论，整整理理和和建建构构知知识体体系系的的作作用用，是是公公理理体体系系中的基本推理方法。中的基本推理方法。合情推理与演合情推理与演绎推理的关系推理的关系合合情情推推理理和和演演绎推推理理之之间联系系紧密密、相相辅相相成成。证明明通通常常包包括括逻辑证明明和和实验、实践践证明明，数数学学结论的的正正确确性性必必须通通过逻辑证明明来来保保证，即即在在前前提提正确的基正确的基础上，通上，通过正确使用推理正确使用推理规则得出得出结论。课标要求（1）合情推理与演）合情推理与演绎推理推理 了了解解合合情情推推理理的的含含义，能能利利用用归纳和和类比比等等进行行简单的的推推理理，体体会会并并认识合合情情推推理理在在数数学学发现中的作用中的作用. 体体会会演演绎推推理理的的重重要要性性，掌掌握握演演绎推推理理的的基基本方法，并能运用它本方法，并能运用它们进行一些行一些简单的推理的推理. 了了解解合合情情推推理理与与演演绎推推理理的的之之间的的联系系与与差差别. 二、省教学指导意见解读二、省教学指导意见解读（2）直接）直接证明与明与间接接证明明 了了解解直直接接证明明的的两两种种基基本本方方法法：分分析析法法和和综合法；了解分析法与合法；了解分析法与综合法的思考合法的思考过程与特点。程与特点。 了了解解间接接证明明的的一一种种基基本本方方法法反反证法法；了解反了解反证法的思考法的思考过程与特点。程与特点。（3）数学）数学归纳法法 了了解解数数学学归纳法法的的原原理理，能能用用数数学学归纳法法证明一些明一些简单的数学命的数学命题。（4）数学文化）数学文化 通通过对实例例的的介介绍（如如欧欧几几里里得得几几何何原原本本、马克克思思资本本论、杰杰弗弗逊独独立立宣宣言言、牛牛顿三定律），体会公理化思想。三定律），体会公理化思想。 介介绍计算算机机在在自自动推推理理领域域和和数数学学证明明中中的的作用。作用。基本要基本要求求1了解合情推理的含义、结构、和基本本类型。了解合情推理的含义、结构、和基本本类型。2结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。发现中的作用。3结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；4通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。发展要求1、了解不完全归纳法，并根据不完全归纳法猜想一些结论、了解不完全归纳法，并根据不完全归纳法猜想一些结论2、了解一般意义下的类比、了解一般意义下的类比说 明类比推理注意避免类比推理注意避免“机械类比机械类比”，即仅从表面相似或偶然相似的情，即仅从表面相似或偶然相似的情况进行类比。导致错误。况进行类比。导致错误。省教学指导意见解读省教学指导意见解读合情推理与演绎推理基本基本要求要求1了解直接证明的两种基本方法：分析法了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过和综合法；了解分析法与综合法的思考过程与特点。程与特点。2了解间接证明的一种基本方法了解间接证明的一种基本方法反证反证法；了解反证法的思考过程与特点。法；了解反证法的思考过程与特点。发展发展要求要求了解比较法、放缩法。了解比较法、放缩法。说说 明明 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2 23 3数学归纳法数学归纳法基本基本要求要求1了解数学归纳法的原理，了解数学归纳法的原理，2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题能用数学归纳法证明一些简单的数学命题发展发展要求要求1了解其它数学归纳法的原理了解其它数学归纳法的原理2灵活掌握数学归纳法在解决较复杂的与自然数灵活掌握数学归纳法在解决较复杂的与自然数n有关命题有关命题中的应用。中的应用。说说 明明 通通过对已已学学知知识的的回回顾，进一一步步体体会会合合情情推推理理、演演绎推推理理以以及及二二者者之之间的的联系系与与差差异异；体体会会数数学学证明明的的特特点点，了了解解数数学学证明明的的基基本本方方法法，包包括括直直接接证明明的的方方法法（如如分分析析法法、综合合法法、数数学学归纳法法）和和间接接证明明的的方方法法（如如反反证法法）；感感受受逻辑证明明在在数数学学以以及及生生活中的作用，养成活中的作用，养成严谨习惯。三、教学定位三、教学定位四、教学建议四、教学建议1、课时分配（、课时分配（8课时）课时）2.1.1 合情推理合情推理1课时课时2.1.2 演绎推理演绎推理2课时课时2.2.11综合法综合法1课时课时2.2.12分析法分析法1课时课时2.2.2 反证法反证法1课时课时2.2.3 数学归纳法数学归纳法1课时课时小结小结1课时课时2、重难点确立、重难点确立2.1节重点是了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简节重点是了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用单的推理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论三段论”进行简单进行简单的推理。的推理。 难点是用归纳和类比进行推理，作出猜想，用三段难点是用归纳和类比进行推理，作出猜想，用三段论作出简单的推理。论作出简单的推理。2.2节重点是结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种节重点是结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法基本方法综合法、分析法，了解间接证明的一种方法综合法、分析法，了解间接证明的一种方法反证法；了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点。难反证法；了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点。难点是根据问题特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、点是根据问题特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不的证明方法结合使用。特点，选择适当的证明方法或把不的证明方法结合使用。归纳推理 归纳推推理理是是针对一一类事事物物S而而言言的的，如如图所所示示： S 的的部部分分事事物物A和和B共共同同具具有有的的某某种种特特性性，是是否否可可以以推推广到整个广到整个S？这就是一个从局部到整体的推理就是一个从局部到整体的推理过程。程。3 3、对几个重要知识板块教学思考、对几个重要知识板块教学思考平面几何中归纳法平面几何中归纳法代数中的归纳法代数中的归纳法类比推理 类比比推推理理是是针对的的两两类事事物物，如如图所所示示，在在A和和B两两类事事物物中中，A类中中有有性性质P成成立立，B类中中也也有有性性质P成成立立，A类中中还有有性性质Q成成立立，那那么么B类中中是是否否也也具具有有性性质Q成成立立呢呢？通通过两两类事事物物的的类比比可可以以对事事物物的的性性质有有更更深深刻刻的的理理解解，并并且且可可以帮助以帮助进行行逻辑推理。推理。类比的风险类比的风险直接证明综合法所证结论所证结论直接证明分析法在已知条件下新结果是否成立要证明的结论要证明的结论否定要证明的结论否定要证明的结论把把“否定要证明的结论否定要证明的结论”作为条件作为条件结合相关公理、定理或已得的结论结合相关公理、定理或已得的结论得出新的结论得出新的结论结束结束是否与已知条件、是否与已知条件、公理、定理矛盾公理、定理矛盾否是间接证明反证法 4 4、整体把握、整体把握l演绎推理与合情推理并重演绎推理与合情推理并重l以实际问题与已学问题为以实际问题与已学问题为主要素材开展教学主要素材开展教学l长期渗透、控制难度长期渗透、控制难度在在“合情推理合情推理”和和“演绎推理演绎推理”教学中，要通过具体实例理解合教学中，要通过具体实例理解合情推理与演绎推理，不追求对概念情推理与演绎推理，不追求对概念的抽象表述。的抽象表述。补充的实例也应以补充的实例也应以“已经学过已经学过的数学实例和生活中的实例的数学实例和生活中的实例”为准，为准，对证明的问题的难度也要加以控制。对证明的问题的难度也要加以控制。 再再 见见直接证明数学归纳法