第一章 集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系考纲要求考纲研读1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系 (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.1.集合是由元素组成的，从集合中元素的特征出发，可找到元素与集合及集合与集合之间的关系2对于集合的运算，可充分借助于韦恩(Venn)图或数轴的直观性3对于与集合运算有关的新概念问题，通过信息迁移构造出符合要求的情景是关键.1集合的含义与表示互异性无序性(1)集合元素的三个特征：_、_和_(2)元素与集合的关系是_或_，用符号“_”或“_”表示描述法(3)集合的表示法：_、_、图示法(4)常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N)；整数集 Z；有理数集 Q；实数集 R.确定性属于不属于列举法2集合间的基本关系AB若 aA，则 aB(1)对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中任何一个元素都是集合 B 的元素，则称集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A，记作 AB 或 BA.用符号表达即“_”(2)空集及其性质空集是任何集合的_，其中“任何集合”当然也包括了，故有.子集真子集空集是任何非空集合的_，即 A(而 A)(3)子集的有关性质AB_.AB，BC_.AC若集合 A 有 n 个元素，则 A 的子集数为_.2nAB 且 BA3集合的运算及其性质(1)集合的运算x|xA 且 xB交集：AB_并集：AB_补集：U A_(2)集合的运算性质并集的性质：AA、AAA、ABBA、ABA BA.交集的性质：A、AAA、ABBA、ABA AB；补集的性质：AU AU、AU A、U (U A)A、U (AB)(U A)(U B)、U (AB)(U A)(U B)x|xA 或 xBx|xU 且 x A1已知全集 UR，则正确表示集合 M1,0,1和 Nx|x2x0关系的韦恩(Venn)图是()B2集合 A(x，y)|xy0，B(x，y)|xy2，则 AB是( )CA(1，1)B.x1y1C(1，1)D1，13(2011 年四川)若全集 M1,2,3,4,5，N2,4，则M N()BAC2,4B1,3,5D1,2,3,4,5D4设集合 Ax|x3，Bx|x25x40，则 AB( )ACx|2x1Bx|3x1B 5(2011届广东汕头水平测试)设全集U0,1,2,3,4，A0,3,4，B1,3，则(UA)B( ) A2 B1,2,3C1,3 D0,1,2,3,4解析：UA1,2，B1,3，(UA)B1,2,3考点1集合间的基本关系例1：集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1(1)若 BA，求实数 m 的取值范围；(2)当 xR 时，没有元素 x 使 xA 与 xB 同时成立，求实数 m 的取值范围需m12，2m15，可得2m3. 综上m3 时有BA.解析：(1)当m12m1，即m2 时，B.满足BA.当 m12m1，即m2 时，要使BA 成立，(2)xR，且Ax|2x5，Bx|m1x2m1，没有元素 x 使 xA 与 xB 同时成立即 AB.若 B即 m12m1，得 m2 时满足条件若 B，则要满足条件有：m12m1，m15，或m12m1，2m12，解得m4.综上所述，有m2 或m4.(1)空集是任何集合的子集，因此当 BA 时需考虑 B的情形；(2)当AB时也需考虑 B的情形，如果当集合B 不是空集，要保证 BA，可以利用数轴，这样既直观又简洁；(3)虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况讨论，在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论结果的并集，因此本题还是综合性很强的【互动探究】1(2011 年安徽)设集合 A1,2,3,4,5,6，B4,5,6,7，则满足 SA 且 SB的集合 S 的个数为()BA57B56C49D8D2(2011 年浙江)若Px|x1，则( )APQBQPCR PQDQR P考点2集合的运算例2：设全集 Ux|x20 的质数，MU N3,5，NU M7,19，(UM)(UN)2,17，求集合 M 与 N.解析：如图D1，由(U M)(U N)2,17，可知M，N 中没有元素2,17.图D1由NU M7,19，可知N 中有元素7,19，M中没有元素7,19.由MU N3,5，可知M 中有元素3,5，N中没有元素3,5.剩下的元素11,13 不在MU N、NU M、(U M)(U N)三部分中，只能11(MN)，13(MN)M3,5,11,13，N7,11,13,19集合问题大都比较抽象，解题时若借助Venn 图进行数形分析，往往可将问题直观化、形象化，使问题灵活、直观、简捷、准确地获解，当然本题还要注意的就是1 既不是质数也不是合数【互动探究】3(2011年全国)设集合U1,2,3,4，M1,2,3，N2,3,4，则U(MN)()DA1,2B2,3C2,4D1,4BA1,4,5,6C4B1,5D1,2,3,4,54(2011 年安徽)集合U1,2,3,4,5,6，S1,4,5，T2,3,4，则 S(U T)等于( )考点3 与集合有关的新概念问题图 111Ax|0x2Bx|12D根据图形语言可知定义的 A#B 可转化为 A#BA B(AB)所以需要求出和，借助数轴求出并集与交集解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出【互动探究】5部分实数构成的集合 A 满足：任两个不同元素的和仍然是 A 的元素；任两个不同元素的积仍然是 A 的元素；任一元素的 n 次幂仍然是 A 的元素(nN)这样的有限集 A 有()BA无限多个B2 个C3 个D4 个 6定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB设A 1,2，B0,2，则集合A*B的所有元素之和为( ) A0 B2 C3 D6D易错、易混、易漏1不清楚集合元素的性质致误 正解：1x0，x1；x2,111x1100lg(x1)1.AB0,1故选C.C【失误与防范】对于集合问题，首先要确定集合的元素是什么(数集、点集或某类图形)，然后确定处理此类问题的方法本题很容易错误地认为是求两函数定义域的交集，实际上集合A是函数1对连续数集间的运算，要借助数轴的直观性，进行合理转化；对离散数集间的运算，要借助 Venn 图，这是数形结合思想的具体体现2本小节的重点是交集与并集的概念只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程(x2)(x1)0 的解集，则是求方程 x20 和 x10 的解集的并集；求不等式组的解集是求各个不等式的解集的交集，求不等式(x2)(x1)0 的解集，则是求x20，x10，x10的解集的并集1注意利用分类讨论的思想解决集合之间的关系和含有参数的问题如在 AB 的条件下，须考虑 A和 A两种情况，要时刻注意对空集的讨论2在集合的运算过程中要注意集合元素具有互异性3属于符号“”、不属于符号“ ”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系符号“ ”“”、包含于(被包含)关系符号“”或“”，它们只能用在两个集合符号之间对此，必须引起充分注意，不能用错，不要出现把 aa表示成 aa或 a a之类的错误；又如0是含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合，因此，有0，不能写成0或0