第九章 常微分方程数值解法1 、引言 微分方程的数值解：设方程问题的解微分方程的数值解：设方程问题的解y(x)的存在区间是的存在区间是a,b，令，令a= x0 x1 xn =b,其中其中hk=xk+1-xk , 如是等距如是等距节点节点h=(b-a)/n , h称为步长。称为步长。y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数值方法求得值方法求得y(x)在每个节点在每个节点xk上上y(xk)的近似值，用的近似值，用yk表示，表示，即即yky(xk)，这样，这样y0 , y1 ,.,yn称为微分方程的数值解。称为微分方程的数值解。 微分方程离散化常用方法2 尤拉（Eular)方法用分段的折线逼近函数,此为“折线法”而非“切线法”，除第一个点是曲线上的切线，其它都不是。2、Euler方法的误差估计3、 总体方法误差(1) 总体方法误差(2)4、微分方程数值解的稳定性Euler法的绝对稳定区域二、向后（后退的）Euler 方法向后Euler 方法收敛条件与截断误差向后Euler 法的稳定性三、梯形公式梯形公式的收敛性梯形公式的稳定性四、改进的尤拉公式 梯形公式虽然提高了精度，但使算法复杂。而在实际计算中只迭代一次，这样建立的预测校正系统称作改进的尤拉公式。尤拉两步公式3.龙格库塔方法一、Runge-Kutta法的基本思想（1）Runge-Kutta法的基本思想（2）Runge-Kutta法的基本思想（3）二、二阶龙格库塔方法三、三阶龙格库塔方法四、四阶龙格库塔方法五、变步长的龙格库塔方法R-K方法的绝对稳定区域线性多步公式的导出二、常用的线性多步公式利用数值积分方法求线性多步公式5.预测校正系统 用显式公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正，得到近似值yn+1这样一组计算公式称为预测校正系统。 一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预测校正系统有两种：用局部截断误差进一步修正预测校正公式5. 常微分方程组与高阶方程的数值解2) 方程组的 R-k 法二、化高阶方程为一阶方程组