第十一章第十一章 正交设计试验正交设计试验 资料的方差分析资料的方差分析 在实际工作中在实际工作中 ，常常需要同时考察，常常需要同时考察 3个或个或3个以上的试验因素个以上的试验因素 ，若进行全面，若进行全面试验，则试验的规模将很大试验，则试验的规模将很大 ，往往因试，往往因试验条件的限制而难于实施验条件的限制而难于实施 。 正交设计正交设计是安排多因素试验是安排多因素试验 、寻求寻求最优水平组合最优水平组合的一种的一种 高效率试验设计方高效率试验设计方法。法。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正正 交交 设设 计计 是利用是利用正交表正交表来安排来安排多因素试多因素试验验、分析试验结果分析试验结果的一种设计方法的一种设计方法。它从多因。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况分析了解全面试验的情况 ，找出最优水平组找出最优水平组合。合。下一张 主 页 退 出 上一张 例如，例如，例如，例如， 研究氮研究氮研究氮研究氮、磷、钾肥施用量、磷、钾肥施用量、磷、钾肥施用量、磷、钾肥施用量对某小麦品种产对某小麦品种产对某小麦品种产对某小麦品种产量的影响：量的影响：量的影响：量的影响： A A因素是氮因素是氮因素是氮因素是氮肥施用量肥施用量肥施用量肥施用量，设，设，设，设A A1 1、A A2 2、A A3 3 3 3个水平个水平个水平个水平 ； B B因素是因素是因素是因素是磷肥施用量磷肥施用量磷肥施用量磷肥施用量，设，设，设，设B B1 1、B B2 2、B B3 3 3 3个水平个水平个水平个水平 ； C C因素是因素是因素是因素是钾肥施用量钾肥施用量钾肥施用量钾肥施用量，设，设，设，设C C1 1、C C2 2、C C3 3 3 3个水平。个水平。个水平。个水平。 这是一个这是一个这是一个这是一个3 3因素因素因素因素每个因素每个因素每个因素每个因素3 3水平的试验水平的试验水平的试验水平的试验 ，各因素的，各因素的，各因素的，各因素的水平之间全部可能的组合有水平之间全部可能的组合有水平之间全部可能的组合有水平之间全部可能的组合有2727种。种。种。种。 下一张 主 页 退 出 上一张 如果如果进行全面试验进行全面试验 ，可以分析各因素的，可以分析各因素的效应效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大作量大 ，由于受试验场地、经费等限制而难，由于受试验场地、经费等限制而难于实施于实施 。 如果试验的如果试验的主要目的主要目的是寻求最优水平组是寻求最优水平组合，则可利用正交设合，则可利用正交设计来安排试验来安排试验。 下一张 主 页 退 出 上一张 正交设计的正交设计的基本特点基本特点是：是：用部分试验来代用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂现交互作用的混杂。下一张 主 页 退 出 上一张 如如对对于于上上述述3因因素素每每个个因因素素3水水平平试试验验，若若不不考考虑虑交交互互作作用用，可可利利用用正正交交表表L9(34)安安排排，试试验验方方案案仅仅包包含含9个个水水平平组组合合，就就能能反反映映试试验验方方案案包包含含27个个水水平平组组合合的的全全面面试试验验的的情情况况，找找出出最佳的生产条件。最佳的生产条件。 一一、正交设计的基本原理正交设计的基本原理 下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-1 11-1 33试验试验的全面的全面试验试验方案方案C1C2C3A1B1A1B1C1A1B1C2A1B1C3B2A1B2C1A1B2C2A1B2C3B3A1B3C1A1B3C2A1B3C3A2B1A2B1C1A2B1C2A2B1C3B2A2B2C1A2B2C2A2B2C3B3A2B3C1A2B3C2A2B3C3A3B1A3B1C1A3B1C2A3B1C3B2A3B2C1A3B2C2A3B2C3B3A3B3C1A3B3C2A3B3C3 下一张 主 页 退 出 上一张 图图图图11-1 311-1 3因素每个因素因素每个因素因素每个因素因素每个因素3 3水平试验点的均衡分布图水平试验点的均衡分布图水平试验点的均衡分布图水平试验点的均衡分布图 正正交交设设计计就就是是从从全全面面试试验验点点（水水平平组组合合）中中挑挑选选出出有有代代表表性性的的部部分分试试验验点点（水水平平组组合合）来来进进行行试试验验。图图1中中标标有有 9个个试试验验点点，就就是是利利用用正正交交表表L9(34)从从27个个试试验验点点中中挑挑选选出出来来的的9个试验点。即：个试验点。即： (1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3 (4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1 (7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2下一张 主 页 退 出 上一张 上述选择上述选择 ，保证了，保证了A因素的每个水平与因素的每个水平与B因素因素 、 C 因因 素的各个水平在试验中各搭配一素的各个水平在试验中各搭配一次。次。 从图从图1中可以看到，中可以看到，9个个试验点分布是均衡试验点分布是均衡的的 ，在立方体的每个平面上，在立方体的每个平面上 有且仅有有且仅有3个试验个试验点；每两个平面的交线上有且仅有点；每两个平面的交线上有且仅有1个试验点。个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试验的基本情况。验的基本情况。 下一张 主 页 退 出 上一张 二、正交表及其特性 (一) 正交表 表表 11-2 是是L8(27)正交表，其中正交表，其中 “L”代代表正交表；表正交表；L 右下角的数字右下角的数字“8”表示有表示有8行，行，用这张正交表安排试验包含用这张正交表安排试验包含8个处理个处理 (水平组合水平组合) ；括号内的底数；括号内的底数“2” 表示因素的水平数，括表示因素的水平数，括号内号内 2的指数的指数“7”表示有表示有7列，列，用这张正交表用这张正交表最多可以安排最多可以安排7 7个个2 2水平因素水平因素。 下一张 主 页 退 出 上一张 下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-2 L8(27)正交表正交表 2水平正交表还有水平正交表还有L4(23)、L16(215)等；等； 3水平正交表有水平正交表有L9(34)、L27(313) 、 等。等。 (二二) 正交表的特性正交表的特性 1 1、任一列中，不同数字出现的次数相同、任一列中，不同数字出现的次数相同 例如例如L8(27)中不同数字只有中不同数字只有1和和2，它们各，它们各出现出现4次；次；L9(34)中不同数字有中不同数字有1、2和和3，它们，它们各出现各出现3次次 。下一张 主 页 退 出 上一张 2 2、任两列中，同一横行所组成的数字对出任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相同现的次数相同 例如例如例如例如 L L8 8(2(27 7) )的任两列的任两列的任两列的任两列中中中中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；各出现两次；各出现两次；各出现两次；L L9 9(3(34 4) )任两列任两列任两列任两列中中中中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现各出现各出现各出现1 1次。即次。即次。即次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的相等，表明任意两列各个数字之间的相等，表明任意两列各个数字之间的相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀搭配是均匀搭配是均匀搭配是均匀的。的。的。的。 下一张 主 页 退 出 上一张 用正交表安排的试验，具有用正交表安排的试验，具有均衡分散均衡分散和和整整齐可比齐可比的特点。的特点。 均衡分散均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因是指用正交表挑选出来的各因素素 水水 平平 组合在全部水平组合中的分布是均衡组合在全部水平组合中的分布是均衡的的 。 由由 图图11-1可以看出，在立方体中可以看出，在立方体中 ，任一，任一平面内都包含平面内都包含 3 个个 试验点，试验点， 任两平面的交线任两平面的交线上都包含上都包含1个试验点。个试验点。 下一张 主 页 退 出 上一张 整齐可比整齐可比是指每一个因素的各水平间具是指每一个因素的各水平间具有可比性。有可比性。 因为正交表中每一因素的任一水平下都因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消。如在抵消。如在A、B、C 3个因素中，个因素中，A因素的因素的 3 个水平个水平 A1、A2、A3 条件下各有条件下各有 B、C 的的 3 个不同水平，即：个不同水平，即： 下一张 主 页 退 出 上一张 在在这这9个个水水平平组组合合中中，A因因素素各各水水平平下下包包括括了了B、C因因素素的的3个个水水平平，虽虽然然搭搭配配方方式式不不同同，但但B、C皆皆处处于于同同等等地地位位，当当比比较较A因因素素不不同同水水平平时时，B因因素素不不同同水水平平的的效效应应相相互互抵抵消消，C因因素素不不同同水水平平的的效效应应也也相相互互抵抵消消。所所以以A因因素素3个个水水平平间间具具有有可可比比性性。同同样样，B、C因因素素3个个水水平平间间亦具有可比性亦具有可比性。下一张 主 页 退 出 上一张 (三) 正交表的类别 1 1、相相同同水水平平正正交交表表 各各列列中中出出现现的的最最大大数数字相同的正交表称为相同水平正交表。字相同的正交表称为相同水平正交表。 L4(23)、L8(27)、L12(211)等等各各列列中中最最大大数数字为字为2，称为两水平正交表；，称为两水平正交表； L9(34)、L27(313)等等各各列列中中最最大大数数字字为为3，称为称为3水平正交表。水平正交表。 下一张 主 页 退 出 上一张 2、 混合水平正交表混合水平正交表 各列中出现的最各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为大数字不完全相同的正交表称为 混合水平正混合水平正交表。交表。 L8(4124)表中有一列最大数字为表中有一列最大数字为4，有，有4列最大数字为列最大数字为2。 也就是说该表可以安排也就是说该表可以安排1个个4水平因素和水平因素和4个个2水平因素。水平因素。 L16(4423)，L16(4212)等都混合水平等都混合水平正交表。正交表。下一张 主 页 退 出 上一张 三、正交设计方法 【例例111】 某水稻栽培试验选择了某水稻栽培试验选择了3个水个水稻优良稻优良品种品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青二九矮、高二矮、窄叶青 ， 3种种密度密度(B)： 15、20、25（万苗万苗/666.7m2）；）；3种种施氮量施氮量(C)： 3、5、8（kg/666.7m2），），试采试采用正交设计安排一个试验方案。用正交设计安排一个试验方案。 (一一) 确定试验因素及其水平确定试验因素及其水平, 列出因素列出因素水水平表平表 下一张 主 页 退 出 上一张 水水 平平因因 素素品种品种(A) 密度密度(B) 施氮量施氮量(C)1二九矮二九矮(A1)15(B1)3(C1)2高二矮高二矮(A2)20(B2)5(C2)3窄叶青窄叶青 (A3)25(B3)8(C3)表表11-3 因素水平表因素水平表下一张 主 页 退 出 上一张 (二) 选用合适的正交表 根根据据因因素素、水水平平及及需需要要考考察察的的交交互互作作用用的多少来选择合适的正交表。的多少来选择合适的正交表。 选选用用正正交交表表的的原原则则是是：既既要要能能安安排排下下试试验验的的全全部部因因素素(包包括括需需要要考考查查的的交交互互作作用用)，又又要要使使部部分分水水平平组组合合数数（处处理理数数）尽尽可可能能地地少。少。下一张 主 页 退 出 上一张 一般情况下，试验因素的水平数应恰好一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括需要考查交互作用）应不大于正交数（包括需要考查交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；表记号中括号内的指数；各因素及交互作用各因素及交互作用的自由度之和要小于所选的自由度之和要小于所选 正交表正交表 的的 总总 自由自由度度，以便估计试验误差。，以便估计试验误差。 若各因素及交互作用的自由度之和等于若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可所选正交表总自由度，则可采用有重复正交采用有重复正交试验试验来估计试验误差。来估计试验误差。下一张 主 页 退 出 上一张 此此例例有有3个个3水水平平因因素素，若若不不考考察察交交互互作作用用，则则各各因因素素自自由由度度之之和和为为因因素素个个数数 (水水平平数数-1) = 3 (3-1) =6，小小于于L9(34)总总自自由由度度 9-1=8，故可以选用，故可以选用L9(34)； 若若要要考考察察交交互互作作用用，则则应应选选用用L27(313)，此此时时所所安安排排的的试试验验方方案案实实际际上上是是全全面面试试验验方方案案。 下一张 主 页 退 出 上一张 (三) 表头设计 表头设计就是把挑选出的因素和要考察表头设计就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。上。 在不考察交互作用时，各因素可随机安在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按该排在各列上；若考察交互作用，就应按该正正交表的交互作用列表交表的交互作用列表安排安排 各各 因因 素与交互作素与交互作用。用。 下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-4 表头设计表头设计列列 号号1234因因 素素ABC空空 此例不考察交互作用，可将品种此例不考察交互作用，可将品种(A)、密度密度(B)和施氮量和施氮量 (C)依次安排在依次安排在L9(34)的第的第1、2、3列上，第列上，第4 列列 为空列，见表为空列，见表2-4。 因素数因素数因素数因素数 列列列列 号号号号 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 A A B BABAB1 1ABAB2 2 3 3 A A BC BC1 1 B BACAC1 1 C CABAB1 1ABAB2 2ACAC2 2BCBC2 2 4 4 A A BC BC1 1 BD BD1 1 CD CD1 1 B BACAC1 1ADAD1 1CDCD2 2 C CABAB1 1ADAD2 2BDBD2 2 D DABAB2 2ACAC2 2BCBC2 2 L9（34）表头设计表头设计 L8(27) 表表头设计头设计因素数因素数列列 号号12345673ABABCACBC4ABABCDCACBDBCADD4ABCDABCBDACDBCAD5ADEBCDABCECBDACBEDAEBCEAB (四) 列出试验方案 把正交表中安排因素的各列把正交表中安排因素的各列(不包含欲考不包含欲考察的交互作用列察的交互作用列)中的每个数字依次换成该中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个因素的实际水平，就得到一个正交试验方案正交试验方案。 下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-5 正交试验方案正交试验方案试验号因 素ABC12311(二九矮) 1(15)1(3)21(二九矮) 2(20)2(5)31(二九矮) 3(25)3(8)42(高二矮) 1(15)2(5)52(高二矮) 2(20)3(8)62(高二矮) 3(25)1(3)73(窄叶青) 1(15)3(8)83(窄叶青) 2(20)1(3)93(窄叶青) 3(25)2(5)下一张 主 页 退 出 上一张